2018学年高考毕业班调研测试 高三数学试卷(理科)（考试时间：120分钟，满分150分）一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分)1、若()1i bi +是纯虚数，是虚数单位，则实数b =_______．2、函数y =_______．(用区间表示) 3、已知△ABC 中，2AB =u u u r ，3AC =u u u r ，0AB AC ⋅<u u u r u u u r，且△ABC 的面积为32，则BAC ∠=_______．4、双曲线2241x y -=的一条渐近线与直线10tx y ++=垂直，则t =________．5、已知抛物线24y x =上一点(0,M x ，则点M 到抛物线焦点的距离为________．6、无穷等比数列首项为1,公比为()0q q >的等比数列前n 项和为nS ，则lim 2n n S →∞=，则q =________．7、在一个水平放置的底面半径为3的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R ，则R =________．8、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生， 则不同的选法共有________种．9、在平面直角坐标系xOy 中，将点(2,1)A 绕原点O 逆时针旋转4π到点B ，若直线OB 的倾斜角为α，则cos α的值为_______． 10、已知函数()22x xf x a -=-⋅的反函数是()1f x -，()1f x -在定义域上是奇函数，则正实数a =________．11、把极坐标方程sin cos ρθθ=+化成直角坐标标准方程是__________．12、在621x x ⎛⎫++⎪⎝⎭展开式中常数项是_______．(用数值回答)13、在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，若点P 是棱上一点，则满足2PA PC '+= 的点P 的个数_______．14、若数列{}n a 前n 项`和n S 满足()2*1212,n nS S nn n N -+=+≥∈,且1ax=，{}n a 单调递增，则x 的取值范围是_______．(第13题）二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的 角的范围是（ ）．A ．(0,35⎤⎦ B ．(00,90⎤⎦ C ．)035,90⎡⎣ D ．0035,90⎡⎤⎣⎦ 16、已知22log ,log ,2x y 成等差数列，则(),M x y 的轨迹表示的图像为（ ）．A ．B ．C ．D ．17、设z z C z z z z z 1212122222402，，，∈-+==||，那么以|z1|为直径的圆的面积为( ) ．A ．πB ．4πC ．8πD ．16π 18、方程935x x b ++=()b R ∈两个负实数解,则b 的取值范围为（ ）．A ．()3,5B ．()5.25,5--C ．[)5.25,5-D ．前三个都不正确三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、平面ABC 外的一点P ，,,AP AB AC 两两互相垂直，过AC 的中点D 作ED ⊥面ABC ，且1ED =，2PA =，2AC =，连,BP BE ，多面体B PADE -的体积是．(1)画出面PBE 与面ABC 的交线，说明理由； （2）求面PBE 与面ABC 所成的锐二面角的大小．ADCPE20、已知椭圆:C()012222>>=+babyax的长轴长是短轴长的两倍，焦距为32．（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点O的直线与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，问：直线是否定向的，请说明理由．21、如图所示，,A B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P．垃圾发电厂P的选址拟满足A B P可看成三个点）：以下两个要求（,,①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大）．现估测得,A B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨．设50PA x =>．(1)求cos PAB ∠(用x 的表达式表示) ；(2)垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？22、（1）已知120x x <<，求证：112211x x x x +>+；(2)已知()()31lg 1log 2f x x x=+-,求证：()f x 在定义域内是单调递减函数；(3)在(2)的条件下，求集合(){}221419980,M n f n n n Z=--≥∈的子集个数.居民生活区 第21题图北23、数列{}n a ，{}n b 满足1111221111122n n n n n na ab b a b ++⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅+⋅⎪⎩，0,011>>b a .（1）求证：{}n n b a ⋅是常数列；（2）若{}n a 是递减数列，求1a 与1b 的关系； （3）设114,1a b ==，当2n ≥时，求n a 的取值范围.高三数学试卷(文科)（考试时间：120分钟，满分150分）一. 填空题(本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分)1、若()1i bi +是纯虚数，是虚数单位，则实数b =_______．2、函数y =_______．(用区间表示) 3、已知△ABC 中，2AB =u u u r，3AC =u u u r ，0AB AC ⋅<u u u r u u u r，且△ABC 的面积为32，则BAC ∠=_______．4、双曲线2241x y -=的一条渐近线与直线10tx y ++=垂直，则t =________．5、已知抛物线24y x =上一点(0,M x ，则点M 到抛物线焦点的距离为________．6、无穷等比数列首项为1,公比为()0q q >的等比数列前n 项和为nS ，则lim 2n n S →∞=，则q =________．7、在一个水平放置的底面半径为3的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R ，则R =________． 8、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生， 则不同的选法共有________种．9、在平面直角坐标系xOy 中，将点(2,1)A 绕原点O 逆时针旋转4π到点B ，若直线OB 的倾斜角为α，则cos α的值为_______．10、已知函数()22x xf x a -=-⋅的反函数是()1f x -，()1f x -在定义域上是奇函数，则正实数a =________． 11、已知1,0x y ≥≥，集合{(,)|4}A x y x y =+≤,{(,)|0}B x y x y t =-+=，如果A B φ⋂≠,则的取值范围是_______．12、在412x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中常数项是_______．(用数值回答)13、如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直 角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积为_______．14、若数列{}n a 满足142n n a a n ++=+()*1,n n N ≥∈ ,且1a x=，{}n a 单调递增，则x 的取值范围是_______．（第13题）二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只主视图俯视图左视图有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的 角的范围是（ ）．A ．(00,35⎤⎦ B ．)035,90⎡⎣ C ．()00,90D ．0035,90⎡⎤⎣⎦ 16、下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）.A ．()2(8)223x x x +>++ B ．)32(282++<+x xxC ．823212+<++x x x D ．218322>+++x x x 17、若复数z满足关系z i z z 则,12|4||2|22=-++对应的复平面的点Z的轨迹是 （ ）． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．直线18、方程935x x b ++=()b R ∈有一个正实数解,则b 的取值范围为（ ）．A ．()5,3-B ．()5.25,5--C ．[)5,5-D ．前三个都不正确三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19、平面ABC 外的一点P ，,,AP AB AC 两两互相垂直，过AC 的中点D 作ED ⊥面ABC ，且1ED =，2PA =，2AC =，连,BP BE，多面体B PADE -的体积是．(1)画出面PBE 与面ABC 的交线，说明理由；（2）求BE 与面PADE 所成的线面角的大小．ADBCPE20、已知椭圆:C ()012222>>=+b a b y a x 的长轴长是短轴长的两倍，焦距为32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设,A B 是四条直线b y a x ±=±=,所围成的两个顶点,P 是椭圆C上的任意一点,若OP mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，求证：动点(),Q m n 在定圆上运动．21、如图所示，,A B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P．垃圾发电厂P的选址拟满足A B P可看成三个点）：以下两个要求（,,①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大）．现估测得,A B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨．设50PA x =>．(1)求cos PAB ∠(用x 的表达式表示) ；(2)垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？22、（1）已知120x x <<，求证：112211x x x x +>+；(2)已知()()31lg 1log 2f x x x=+-,求证()f x 在定义域内是单调递减函数；(3)在(2)的条件下，求集合(){}221419980,M n f n n n Z=--≥∈的子集个数.居民生活区 第21题图北23、数列{}n a ，{}n b 满足1111221111122n n n n n na ab b a b ++⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅+⋅⎪⎩，0,011>>b a .（1）求证：{}n n b a ⋅是常数列；（2）若{}n a 是递减数列，求1a 与1b 的关系； （3）设114,1a b ==，32log 2n n n a c a +=-，求{}n c 的通项公式．2016年4月奉贤区二模数学参考答案一、填空1、02、[)0,+∞3、56π4、12±5、46、1 27、328、349、1010、1a=11、22111222x y⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12、58113、6 14、()2,3二、选择15、D 16、A 17、B 18、B文科参考答案1、02、[)0,+∞3、56π4、12±5、46、1 27、328、349、1010、1a =11、[]4,2- 12、7013、14、()1,3二、选择15、D 16、B 17、A 18、A三、解答题19、(1)根据条件知:PE 与AD 交点恰好是C1分,C PE C ∈∴∈面PBE ,,C AC C ∈∴∈面ABC2分B ∈面PBE,B ∈面ABC3分 面PBE与面ABC的交线BC5分(2)(理) ,,AP AB AC 两两互相垂直,BA ⊥面EDAP 7分多面体B PADE -的体积是()1132PA DE AD BA ⨯+⨯⨯=9分BA ∴=10分建立空间直角坐标系,设平面的法向量是()1,,n x y z u r3B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ，()0,2,0C()0,1,0D ()0,1,1E()0,0,2P 23BP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，,1,13BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r1203n BP x z ⋅=-+=u r u u u r 103n BE x y z ⋅=-++=u r u u u r)1n ∴=u r11分面ABC 的法向量()20,0,1n =u u r1212cos n nn n θ⋅==⋅u r u u r u r u u r =12分所以面PBE 与面ABC所成的锐二面角大小arccos513分注：若作出二面角得2分，计算再3分(2)(文) ,,AP AB AC 两两互相垂直,BA ⊥面EDAP 7分多面体B PADE -的体积是()11323PA DE AD BA ⨯+⨯⨯=9分BA ∴=10分 连接AEAE 是BE 在面EDAP 的射影BEA ∠是BE 与面PADE 所成的线面角．11分计算AE =tan BAE ∠==12分BEA ∠是BE 与面PADE 所成的线面角arctan3． 13分20、解：（1）由已知得 2222222a b c a b c =⨯⎧⎪=⎨⎪=+⎩3分解得2,1a b == 5分A DBCPE∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．6分（2）(理)由题意可设直线的方程为：()0y kx m km =+≠，联立2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得：()()222144410k x kmx m +++-=7分 计算()2216410k m ∆=-+>8分此时设()()1122,,,M x y N x y ，则122814kmx x k +=+，()21224114m x x k -=+9分 于是()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ 10分又直线,,OM MN ON 的斜率依次成等比数列，∴()2212122121212k x x km x x m y y k x x x x +++⋅==11分∴22222810,0,144k m m m k k-+=≠∴=+Q12分所以是不定向的， 13分 方向向量()2,1d =±u r13分 (2)文 可得()()2,1,2,1A B -8分 设(),P p P x y ，则2214PP x y +=9分()()2P P x m n y m n ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩11分2212m n ∴+=13分21、解：（1）由条件①，得505303PA PB ==1分5,3PA x PB x=∴=Q ，3分则222(5)16(3)cos 2165x x PAB x +-∠=⨯⨯6分8cos 105x PAB x∠=+8分（2）sin PAB ∠=9分 所以点P到直线AB的距离sin h PA PAB =∠10分5h x =11分==12分8cos 1,1,28105x PAB x x ∠≤∴+≤∴≤≤Q所以当234x =，即x =时，h取得最大值15千米.13分即选址应满足PA =千米，PB =千米.14分22、(1)解：任取210x x <<，则()()()211211222211111x x x x x x x x x x +-++-=++()21221x x x x -=+ 3分210x x <<，所以()212201x x x x ->+4分 ∴212111x x x x >++5分 (2)∵212111x x x x >++,∴2121lg 11lgx xx x >++.6分12()()f x f x -=)1lg()1lg(21+-+x x -)log (log 212313x x -=11lg21++x x -213log 21x x7分=11lg21++x x -1119109222log log log x x x x x x >-109log 9log 101101,log log log 10log 9log 10log 9t t t t t t t t t -<<-=-=⋅log 90,log 100,log 9log 100,log 9log 100t t t t t t <<⋅>->Qlog 9log 1001,0log 10log 9t t t t t -<<∴>⋅1110922log log 0x xx x ∴-> 8分∴>-)()(11x f x f 0∴)(x f 为),0(+∞上的减函数9分(3)注意到0)9(=f∴当9>x 时，0)9()(=<f x f ，当90<<x 时，0)9()(=>f x f ，∴0)(=x f 有且仅有一个根9=x .1 由)9()1998214(0)1998214(22f n n f n n f ≥--⇒≥--∴⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--019982149199821422n n n n13分⇔92231071007n n n -≤≤⎧⎪⎨>+<-⎪⎩或 14分 ∴223=n 或9-=n ，15分 ∴}223,9{-=MM的子集的个数是4.16分 23、(1)12n n na ab +=+1分112n n n n na b b a b ++=2分12n n n n na b b a b +∴=+3分1122n n n n a b b a ++∴=4分1111....b a b a b a n n n n ===∴-- 5分{}n n b a ⋅是常数列；6分(2) {}n a 是递减数列,10n n a a +-<112111111222b a a a a b a --=+-=<11a b ∴>7分2232220,2b a a a a b --=<∴>,()2111111112,02a b a b a b a b +>∴->+猜想1110,2n nn n n n b a a a a b a b +--=<∴>⇒>恒成立8分()()2112122224k k k kk k k k k k k k k k a b a b a b b a a b a a a b +++++----+-===<+ 9分 11a b ∴>时{}n a 是递减数列10分（3）、（理）整理得1142n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11分252a =12分1230000n a a a a ∴>⇒>⇒>⇒>L 13分2n ≥，()2121122022nn n n na a a a a +-⎛⎫-=+-=> ⎪⎝⎭ 14分12n a +∴> 15分2144222nn n n nn n na b a a a a a a +----===16分2,n a >Q 10n n a a +∴-< {}n a ∴单调递减，2n a a ∴≤17分52,2n a ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦18分 （3）（文）11c = 11分 22c = 12分()212122n n n a a a +--= 13分()212122n n na a a +++= 14分2112222n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪++⎝⎭15分133122log 2log 22n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪++⎝⎭16分12n nc c += 17分12n n c -= 18分。