第十七章 勾股定理单元测试（题数： 20 道 测试时间： 45 分钟 总分： 100 分）班级： _______ 姓名： ________ 得分： ________、单选题（每小题 3分，共 24 分）1．在△ ABC 中， AB= 2 ，BC= 5，AC= 3，则（ ）A. ∠ A=90B. ∠ B=90C. ∠ C=90D. ∠ A=∠B5．如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为 13cm ，则图中所有的正方形的面积之和为（） A. 169 cm 2 B. 196 cm 2C. 338cm 2D. 507 cm 26．如图，一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 A 点沿纸箱表面爬到 B 点，那么它所爬行的 最短路线的长是（） A. 2B. 3C. 5D. 2 7 ．在直角三角形中，有两边分别为 3 和 4 ，则第三边是（） A. 1 B. 5 C. 7 D. 5 或 78．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S 1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以 该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2， ⋯ ，按照此规律继续下去，则 S 9 的值为（ ） 2．如图，在 Rt △ABC 中，∠ B ＝90°， BC ＝15， AC ＝17，以 AB 为直径作半圆，则此半圆的A. 1B. 2C. 3D. 4 4．已知 VABC中， A 1 B 1 C ，则它的三条边之比为（ 23 A. 1:1: 2C. 1: 2: 3D. 1:4:1_______ 米．14．如图，数轴上点A 所表示的实数是 ______________第 6 题图、填空题（每小题 4分，共 24 分） 9．在△ ABC 中，∠ A=30°，∠ B=45°， 10．如图，一圆柱形容器（厚度忽略不计） ，已知底面半径为 6cm ，高为 16cm.现将一根长度为 25cm 的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是 ________ cm.ACB 90o ， AC BC ， BE CE ， AD CE ，垂足分别为 E ， D ，AC 13 ， BE 5，则 DE ________ .12．若△ ABC 的三边 a 、b 、c 满足 a-5 (b -12) 2 c-13 0，则△ ABC 的面积为13．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ ACB 为直角，已知滑竿 AB 长 2.5米，顶点 A 在 AC 上滑 动，量得滑竿下端 B 距 C 点的距离为 1.5 米，当端点 B 向右移动 0.5米时，滑竿顶端 A 下滑三、解答题（共 52 分）15．（8 分）学完勾股定理之后， 同学们想利用升旗的绳子、 卷尺，测算出学校旗杆的高A ．（1）6B ．（1）7C ．（ 2 ）6D ．（ 2 ） 7 22第 8 题图AC= ，则 BC= ___________ 第 11 题图 第 13 题图11．如图， 第 10 题图度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端 5 米处，发现此时绳子底端距离打结处约 1 米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．16．（8分）如图所示，在四边形ABCD 中，AB =2 5，BC=2，CD=1，AD=5，且∠ C=90°，求四边形ABCD 的面积.17．（8 分）已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ ABC 的形状.18．（8 分）已知：如图，四边形ABCD 中，∠ ACB=90°，AB=15,BC=9,AD=5,DC=13, 求证：△ ACD 是直角三角形．19．（10 分）如图所示，某公路一侧有A、 B 两个送奶站， C 为公路上一供奶站，CA 和CB 为供奶路线，现已测得AC＝8km，BC＝15km，AB＝17km，∠1＝30°，若有一人从 C 处出发，沿公路边向右行走，速度为 2.5km/h，问：多长时间后这个人距 B 送奶站最近？20．（10 分）如图，点O为等边三角形ABC 内一点，连接OA，OB，OC，以OB 为一边作∠ OBM ＝60°，且BO＝BM，连接CM，OM.（1）判断AO 与CM 的大小关系并证明；（2）若OA＝8，OC＝6，OB＝10，判断△ OMC 的形状并证明．参考答案1．A【解析】∵ AB2+AC2=BC2，∴∠ A=90°.故选 A.2．D【解析】在直角三角形中，AB= =8, 所以S= .故选 D.3．C【解析】过点 D 作DE⊥ AB 于E，∵ AD 平分∠ BAC，∴CD=DE，在Rt△ ACD 和Rt△ AED 中，AD＝AD ，CD＝DE ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL ），∴AE=AC=6，由勾股定理得，AB= AC2BC2 =10，∴BE=AB-AE=10-6=4，设CD=DE=x，则BD=8-x，在Rt△ BDE 中，DE2+BE2=BD 2，x 2+4 2= （8-x ）2，解得x=3 ，即CD 的长为 3 ．故选 C. 4．B11 【解析】∵△ ABC 中，∠ A ∠B= ∠C ， 23∴∠ B=2∠A ，∠ C=3∠A ，又∵∠ A+∠ B+∠C=180°，∴∠ A+2∠ A+3∠A=180°，解得∠ A=30°，∴∠ B=60°，∠ C=90°，设 BC= x ，则 AB= 2x ，由勾股定理可得： AC= 3x ， ∴△ABC 的三边之比为： BC:AC:AB=1: 3:2 .故选 B.5．D【解析】如图，∵ S A S B S 2 ， S C S D ∴所有正方形的面积之和= S A S B S C S D S 1 S 2 =507（cm 2）． 故选 D ．6．C 【解析】∵展开后由勾股定理得： ∴AB= 5 ， 故选 C ．7．D解析】当 4是斜边时，由勾股定理得第三边为42 32 7 ；当第三边是斜边时，由勾股定理得第三边为 32 42 5. 2S 3= S 1 2S 2 2S 3=3S 1 3 132 S 3 ， S 2 S 3 S 1 ，故选 D.8．A．解析】如图所示．∵正方形ABCD 的边长为2，△ CDE 为等腰直角三角形，∴ DE 2+CE2=CD 2，DE =CE，∴ S2+S2=S1．观察发现规律：S1=22=4，S2= 1 S1=2，S3= 1 S2=1，S4= 1 S3= 1，2 2 2 2 由此可得S n=（1）n﹣3．2当n=9 时，S9=（1）9﹣3=（1）6，22故选 A ．9．1 【解析】作CD ⊥AB，∵∠ A=30°，AC= ，∴CD= ，∵∠ B=45°，∴BD=CD= ，∴ BC= =1.0,故答案为 1.10．5cm【解析】如图，由题意可知：△ ACD 中， AC=12，CD=16，∠ ACD =90°， ∴AD= 162 122 20 ， ∴玻璃棒露在容器外面部分最短为： 25 20=5（ cm ）. 故答案为： 5.11．7【解析】∵ AC=13，AC=BC ，BE ⊥CE ， AD ⊥CE ，∴BC=13，∠ BEC=∠ CDA=∠ACB=90°，∴∠ BCE+∠ ACD=∠ ACD+∠ CAD =90°，∴∠ BCE=∠ CAD ，∴△ BCE ≌△ CAD ，∴CD=BE=5，∵在△ BCE 中，∠ BEC=90°，BC=13， BE=5，∴CE= 132 52 12 ，∴DE=CE-CD=12-5=7.故答案为： 7.12．302【解析】因为 a 5 b 12 2 c 13 0, 根据非负数的非负性质可得 : a 5 0, b 12 0, c 13 解得a=5,b=12,c=13,因为5212225 144 169 132 ,所以a2b2c2,根据勾股定理逆定理可得: △ABC 是直角三角形,11所以△ ABC 的面积等于1a b 15 12 30,22故答案为:30.13．0.5【解析】结合题意可知AB=DE=2.5 米，BC=1.5 米，BD =0.5 米，∠ C=90°，∴ AC= = =2（米）.∵BD=0.5 米，∴CD=2 米，∴ CE= = =1.5（米），∴AE=AC-EC=0.5（米）．故答案为：0.5.14．【解析】由勾股定理，得斜线的为= ，由圆的性质，得点表示的数为，故答案为：.15．12 米.【解析】根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设出旗杆的高度，再利用勾股定理解答即可．解：设旗杆的高度为x 米，则绳子的长度为（x+1）米，由勾股定理，得x2+52=（x+1 ）2解得x=12 答：旗杆的高度为12 米．16．四边形ABCD 的面积是 6.【解析】连接BD ，根据勾股定理可计算出BD 的长度，再由勾股定理逆定理可判断出ABD △ 为直角三角形，分别计算出△ ABD 和△BCD 的面积，求和即可.解：连接BD ，∵∠ C=90°，∴△BCD 为直角三角形，∴BD 2=BC 2+CD 2=22+12=（ 5 ）2，BD >0，∴BD= 5 ，在△ ABD 中，∵AB 2+BD 2=20+5=25 ，AD 2=52=25，∴AB 2+BD 2=AD 2，∴△ ABD 为直角三角形，且∠ ABD =90°，∴四边形 ABCD 的面积是 6.17．见解析【解析】移项，配成三个完全平方；三个非负数的和为 0，则都为 0；已知 a 、b 、 c ，利用勾 股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形 .解：由已知可得 a 2－10a+25+b 2－24b+144+c 2－26c+169=0, 配方并化简得 ,（a －5）2+（b －12）2+（c －13）2=0.∵（a －5）2≥ 0b,（－ 12）2≥ 0,c （－ 13）2≥ 0.∴ a － 5=0, b － 12=0,c － 13=0.解得 a=5,b=12,c=13.又∵ a 2+b 2=169=c 2,∴△ABC 是直角三角形 .18．见解析【解析】试题分析：首先利用勾股定理计算出 AC 长，再利用勾股定理的逆定理证明DAC 90 ，可得 VACD 是直角三角形．证明： Q AB 15,BC 9, ACB 90o ，AC 152 92 12，Q 52 122 132，AD 2 AC 2 CD 2，DAC 90o ，∴△ACD 是直角三角形 .19．3h.【解析】首先根据勾股定理逆定可证明△ ABC 是直角三角形，然后计算出∠ BCD 的度数，再 根据直角三角形的性质算出 DC 的长，然后根据速度和路程可计算出多长时间后这人距离 B 送奶站最近．∴S 四边形 ABCD = S △ ABD + S △ BCD解：过B作BD⊥公路于D．∵82+152=172，∴AC2+BC2=AB2，∴△ ABC 是直角三角形，且∠ ACB=90°．∵∠ 1=30°，∴∠ BCD =180°-90 °-30 °=60°．在Rt △ BCD 中，∵∠ BCD =60°，∴∠ CBD =30°，11∴CD= BC= ×15=7.5（km）．22∵7.5 ÷2.5=3 （h），∴3小时后这人距离 B 送奶站最近．20．（1） AO＝CM （2）△OMC 是直角三角形【解析】（1）先证明△ OBM 是等边三角形，得出OM =OB ，∠ ABC=∠OBC，由SAS 证明△AOB≌△ CMB ，即可得出结论；（2）由勾股定理的逆定理即可得出结论．解：（1）AO=CM．理由如下：∵∠ OBM =60°，OB=BM ，∴△ OBM 是等边三角形，∴OM=OB=10，∠ ABC=∠OBC=60°，∴∠ ABO =∠CBM ．在△ AOB 和△ CMB 中，∵OB=OM，∠ABO=∠CBM ，AB=BC，∴△ AOB≌△ CMB （SAS），∴OA=MC；（2）△ OMC 是直角三角形；理由如下：在△ OMC 中，OM 2=100 ，OC2+CM2=62+82=100，∴OM 2=OC2+CM2，∴△ OMC 是直角三角形．。