考点10 基本不等式1、掌握基本不等式2ba ab +≤。

2、能用基本不等式证明简单不等式。

3、能用基本不等式求最值问题。

基本不等式是江苏数学考纲要求的c 级要求，是江苏高考试卷重点考查的模块之一，在全国各地也经常考查到。

基本不等式是求函数最值得一种重要的方式，纵观近五年江苏高考不难发现基本不等式经常与三角函数、直线和圆等结合求函数的最值。

在高考中属于中档题或者难题·因此在复习中要引起学生的重视。

在学习中，要掌握运用基本不等式求函数的最值，要注意以下几点： ①掌握基本不等式满足的条件：一正、二定、三相等。

②掌握基本不等式的一些常见变形，最终都要化成 d bxcax ++的形式。

③掌握基本不等式的一些常见题型和方法技巧，如三元变二元，二元变一元。

以及双换元等。

在多次运用基本不等式的时一定要保证等号成立的条件。

1、【2020年山东卷】.已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A. 2212a b +≥B. 122a b ->C. 22log log 2a b +≥-D.≤【答案】ABD【解析】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b -->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD2、【2020年江苏卷】已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴42222221144+5555y y x y y y y -+=+=≥，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 故答案为：45. 3、【2020年天津卷】.已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4 【解析】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++882422a b a b a b a b++=+≥⨯=++，当且仅当a b +=4时取等号， 结合1ab =,解得23,23a b =-=+，或23,23a b =+=-时，等号成立. 故答案为：44、【2019年高考天津卷理数】设0,0,25x y x y >>+=，则xy的最小值为__________．【答案】43【解析】方法一：(1)(21)2212662x y xy y x xy xy xy xy xy xy++++++===+. 因为0,0,25x y x y >>+=， 所以2522x y x y +=≥⋅， 即5252,028xy xy ≤<≤，当且仅当522x y ==时取等号成立. 又因为6622243xy xy xy xy +≥⋅=，当且仅当62xy xy =，即=3xy 时取等号，结合258xy ≤可知，xy 可以取到3，故(1)(21)x y xy ++的最小值为43.方法二：0,0,25,x y x y >>+=0,xy ∴>2212=43xy xy xy xy xy===+≥. 当且仅当3xy =时等号成立，故xy的最小值为43.5、【2018年高考天津卷理数】已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为 . 【答案】 【解析】由可知，且，因为对于任意x ，恒成立，结合基本不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.6、【2018年高考江苏卷】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________． 【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.7、【2017年高考天津卷理数】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________．【答案】4【解析】4422414111444a b a b ab ab ab ab ab ab+++≥=+≥⋅=，（前一个等号成立的条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时成立，当且仅当222224a b ==时取等号）． 【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b +∈R ，2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．8、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________． 【答案】30【解析】总费用为600900464()42900240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．题型一 运用基本不等式求函数最值1、（2020届山东省泰安市高三上期末）若()3log 21a b +=+2+a b 的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．3D ．163【答案】C【解析】∵()3log 21a b +=+∴()33log 21log a b ab +=+()3log 3ab =， ∴23a b ab +=，且0a >，0b >， ∴123a b+=， ∴()112223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭122143b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭5233b a a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭5233≥+⋅3=， 当且仅当b aa b =且123a b+=即1a b ==时，等号成立； 故选：C ．2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数()f x 在R 上单调,若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值是( ) A ．1 B ．92C ．9D ．18【答案】A【解析】奇函数()f x 在R 上单调，()()490f a f b +-=，则()()()499f a f b f b =--=- 故49a b =-即49a b +=()()11111141452451999b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4b a a b =即3,32a b ==时等号成立 故选：A3、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△ABC 中，点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE +x AB y AC =+，则14x y+的最小值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．92【答案】D【解析】如图可知x ，y 均为正，设=m ,AD AB nAC AE AB AC λμ+=+，:,,,B D E C 共线， 1,1m n λμ∴+=+=，()()AD AE xAB y AC m AB n AC λμ+=+=+++，则2x y m n λμ+=+++=，1411414149()5(52)2222y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则14x y +的最小值为92，故选D. 4、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）设 a R ∈，则“0a >”是“222a a+≥的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由0a >得，2a a +≥=，所以是充分条件；由2a a+≥0a >，所以是必要条件，故“0a >”是“2a a+≥的充要条件．答案选C ．5、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）设实数a 、b 满足0b >，且2a b +=.则18a a b+的最小值是（ ） A ．98B ．916C ．716D ．14【答案】C【解析】由题意可知，0a ≠.当0a >时，111981616161616a ab a b a a b a b a b ++=+=++≥+=， 当且仅当16b a a b=且2a b +=，即25a =，85b =时取等号，当0a <时，111781616161616a ab a b a a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=--=-+-+-≥-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当16b aa b=且2a b +=时取等号， 综上可得，18a a b +的最小值716. 故选：C.6、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）若正实数x ，y 满足ln(2)ln ln x y x y +=+，则2x y +取最小值时，x =（ ） A ．5 B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】∵ln(2)ln ln ln x y x y xy +=+=；∴2x y xy +=，且0x >，0y >；∴211x y+=；∴2122(2)()4x x y x y x y y +=++=++215549y x +≥+=+=， 当且仅当22x yy x=，即3x y ==时取等号. 故选：B .7、（2020届北京市中国人民大学附属中学高三上学期期中模拟统练（七)数学试题） 已知0a >，0b >，且1a b -=，则12a b+的最小值为_____.【答案】2【解析】0a >，0b >，由1a b -=得1a b =+，1122222a b b b ∴+=++≥+=+当且仅当2b =时，等号成立，因此，12a b +的最小值为2.故答案为：2.8、（2020届北京市陈经纶学校高三上学期数0月份月考试卷）已知0,0x y >>，且2520x y +=.则xy 的最大值是_________. 【答案】10【解析】252020x y +=≥⇔≤当且仅当25x y =，即5,2x y ==时，等号成立 则10xy≤，即xy 的最大值是10故答案为：109、（2020x =______. 【答案】4112915=+--=1=4x =时，等号成立. 故答案为：410、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）函数2245()(1)1x x f x x x -+=>-的最小值是__________.【答案】【解析】由于1x >，故10x ->，故()()3211f x x x =-+≥=-()3211x x -=-，即1x =+故填：11、（2020·全国高三专题练习（理））已知圆()()22212x y -+-=关于直线()10,0ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为__________． 【答案】9【解析】由题意可知直线过圆心，即21a b +=()2121222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当22a bb a=时，又()0,0a b >> 即a b =时等号成立， 故21a b+的最小值为9. 故答案为：912、（2020届江苏省七市第二次调研考试）若1x >，则91211x x x +++-的最小值是______. 【答案】8 【解析】1x >，91211x x x ∴++=+-911162811x x x x +++-+≥+=+-，当且仅当911x x +=+且111x x -=-，即2x =时，等号成立.2x ∴=时，91211x x x +++-取得最小值8. 故答案为：813、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）已知,x y 为正实数，则292y xx x y++的最小值为______.【答案】4. 【解析】解：令0yt x=>，则()2999222444222y x t t x x y t t +=+=++-≥=+++，当且仅当()9222t t +=+，即22y t x ==-时，等号成立，故答案为：4.14、(2019常州期末） 已知正数x ，y 满足x ＋y x ＝1，则1x ＋xy 的最小值为________．【答案】4解法1(直接消元) 由x ＋y x ＝1得y ＝x －x 2，故1x ＋x y ＝1x ＋x x －x 2＝1x ＋11－x ＝1x （1－x ）≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝4，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取“＝”．故1x ＋xy 的最小值为4.解法2(直接消元) 由x ＋y x ＝1得y x ＝1－x ，故1x ＋x y ＝1x ＋11－x ，以下同解法1.解法3(消元，分离常数凑定值) 同解法1，2得1x ＋x y ＝1x ＋11－x ＝1－x ＋x x ＋1－x ＋x 1－x ＝2＋1－x x ＋x1－x ≥4，当且仅当1－x x ＝x 1－x ，即x ＝12时取“＝”．故1x ＋xy 的最小值为4.解法4(“1”的代换) 因为x ＋y x ＝1，所以1x ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x ＝2＋y x 2＋x 2y ≥4，当且仅当y x 2＝x2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝14时取“＝”．故1x ＋xy 的最小值为4.15、(2019镇江期末）已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1x ＋4y ，则x ＋y 的最小值为________． 【答案】3思路分析 本题既可用权方和不等式也可运用“1”的代换求解．解法1 因为x>0，y>0，所以x ＋y ＝12x ＋22y ≥（1＋2）2x ＋y ，得x ＋y ≥3，当且仅当x ＝1，y ＝2时取等号．解法2 x ＋y ＝（x ＋y ）2＝（x ＋y ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4x y ≥5＋24＝3，当且仅当y x ＝4xy ，即x＝1，y ＝2时取等号．16、(2019苏北三市期末） 已知a>0，b>0，且a ＋3b ＝1b －1a ，则b 的最大值为________． 【答案】. 13【解析】由a ＋3b ＝1b －1a ，得1b －3b ＝a ＋1a .又a>0，所以1b －3b ＝a ＋1a ≥2(当且仅当a ＝1时取等号)，即1b －3b ≥2，又b>0，解得0<b ≤13，所以b 的最大值为13.题型二 运用基本不等式处理多元问题1、（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初）已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b )，则a ＋b ＋c 的最小值为_______． 【答案】8 【解析】()4abc a b =+，()4a b c ab+∴=()444448a b a b c a b a b abb a +++=++=+++≥=+= 2、（2020·浙江温州中学高三3月月考）已知正实数,,0x y z >，则12max ,max ,A x y y x ⎧⎫⎧⎫=+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭的最小值为______；123max ,max ,max ,B x y z y z x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭的最小值为______.【答案】 【解析】（1）若12,x y y x ≥≥时，即12xy ≤≤时，2A x x=+≥1x y ==时可取等号，若12,x y y x>>时，即2xy >时，A x y =+≥>， 若12,x y y x >>时，即01xy <<时，由01xy <<知22xy>，所以12A y x =+≥>综上可知A 的最小值为()2当3z x≥时，25B x z z zz≥++≥+≥，当z x y ===时可取等号；当3z x ≤时，32325333x x B x x x z x x ≥++≥++=+≥z x y ===时可取等号；综上所述，B ≥z x y ===时可取等号；故答案为：3、(2019南京、盐城一模）若正实数a ，b ，c 满足ab ＝a ＋2b ，abc ＝a ＋2b ＋c ，则c 的最大值为________．【答案】 87思路分析1 注意到求c 的最大值，所以将参数c 进行分离，为此，可以利用abc ＝a ＋2b ＋c 进行分离得c ＝a ＋2b ab －1＝a ＋2b a ＋2b －1＝1＋1a ＋2b －1，从而将问题转化为求a ＋2b 的最小值；思路分析2 结合abc ＝a ＋2b ＋c 与ab ＝a ＋2b 化简得abc ＝ab ＋c 来进行分离得c ＝ab ab －1＝1＋1ab －1，进而求ab 的最小值．思路分析3 由于所求解的c 与a ，b 有关，而a ，b 不对称，因此，将2b 看作一个整体，则它与a 就是对称的，根据对称原理可以猜想得到问题的答案．解法1 由abc ＝a ＋2b ＋c 得，c ＝a ＋2b ab －1＝a ＋2b a ＋2b －1＝1＋1a ＋2b －1，由ab ＝a ＋2b 得，1b ＋2a ＝1，所以a ＋2b ＝(a ＋2b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a ＝4＋a b ＋4b a ≥4＋2a b ·4b a ＝4＋4＝8，故c ≤87.解法2 因为abc ＝a ＋2b ＋c ，ab ＝a ＋2b ，所以abc ＝ab ＋c ，故c ＝ab ab －1＝1＋1ab －1，由ab ＝a ＋2b 利用基本不等式得ab ≥22ab ，故ab ≥8，当且仅当a ＝4，b ＝2时等号成立，故c ＝1＋1ab －1≤1＋18－1＝87.解法3(对等性猜测) 因为已知条件可以改写为“12·a ·2b ＝a ＋2b ，12·a ·2b ·c ＝a ＋2b ＋c ”，故a 与2b 对等，不妨设a ＝2b ，解得a ＝2b ＝4，c ＝87，故c 的最大值为87.4、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a ，b ，c ∈R )的解集为{x |3<x <4}，则c 2＋5a ＋b 的最小值为________．【答案】. 4 5【解析】思路分析 先根据一元二次不等式的解集，确定a<0，以及a ，b ，c 的关系，再将所求c 2＋5a ＋b 运用消元法，统一成单变量a 的函数问题，运用基本不等式求最值．依题意得a<0，且3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，即⎩⎪⎨⎪⎧－ba ＝7，c a ＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－7a ，c ＝12a ，所以c 2＋5a ＋b ＝144a 2＋5a －7a ＝144a 2＋5－6a ＝(－24a)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－6a ≥2（－24a ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫5－6a ＝45，当且仅当144a2＝5，即a ＝－512时取等号，所以所求最小值为4 5.题型三 运用基本不等式求函数含参的问题1、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10 B ．12C ．16D ．9【答案】D 【解析】由已知0a >，0b >，若不等式41m a b a b+≥+恒成立， 所以41()m a b a b ⎛⎫≤++⎪⎝⎭恒成立， 转化成求41()y a b a b ⎛⎫=++⎪⎝⎭的最小值，414()559b a y a b a b a b ⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭，所以9m ≤．故选：D ．2、(2019扬州期末） 已知正实数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，若x ＋y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为_________．【答案】. (－∞，9] m ≤x ＋y 恒成立，m ≤(x ＋y)min .解法1(消元法) 由x ＋4y －xy ＝0，得y ＝x x －4，因为x ，y 是正实数，所以y>0，x>4，则x ＋y ＝x ＋xx －4＝x ＋x －4＋4x －4＝x ＋4x －4＋1＝(x －4)＋4x －4＋5≥2（x －4）·4x －4＋5＝9，当且仅当x ＝6时，等号成立，即x ＋y 的最小值是9，故m ≤9.解法2(“1”的代换) 因为x ，y 是正实数，由x ＋4y －xy ＝0，得4x ＋1y ＝1，x ＋y ＝(x ＋y)·⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1y ＝4yx ＋xy ＋5≥24y x ·xy ＋5＝9，当且仅当x ＝6，y ＝3时，等号成立，即x ＋y 的最小值是9，故m ≤9.解法3(函数法) 令t ＝x ＋y ，则y ＝t －x ，代入x ＋4y －xy ＝0，得x 2－(3＋t)x ＋4t ＝0.Δ＝(t ＋3)2－16t ＝t 2－10t ＋q ≥0，得t ≤1或t ≥9.又y ＝xx －4>0，且x>0，则x>4，故t>4，从而t ≥9.所以m ≤9.3、(2018南京、盐城一模）若不等式k sin 2B ＋sin A sin C>19sin B sinC 对任意△ABC 都成立，则实数k 的最小值为________．【答案】100思路分析本题首先用正弦定理将三角函数转化为边，然后再利用三角形中的边的不等关系，消元后转化为二元问题研究．二元问题的最值问题，可以用基本不等式来处理．解法1(函数的最值) 因为k sin 2B ＋sin A sin C>19sin B sin C ，所以由正弦定理可得kb 2＋ac>19bc ，即k>19bc －ac b 2.因为△ABC 为任意三角形，所以a>|b －c|，即19bc －ac b 2<19bc －|b －c|cb 2＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2＋18⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ，0<cb ≤1，－⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ，c b >1.当0<c b ≤1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2＋18⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ≤19；当c b >1时，－⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ≤100，即19bc －|b －c|cb 2的最大值为100，所以k ≥100，即实数k 的最小值为100. 解法2(基本不等式) 因为k sin 2B ＋sin A sin C>19sin B sin C ，所以由正弦定理可得kb 2＋ac>19bc ，即k>19bc －ac b 2.又19bc －ac b 2＝c b ⎝ ⎛⎭⎪⎫19－a b .因为c<a ＋b ，所以c b <1＋a b ，即c b ⎝ ⎛⎭⎪⎫19－a b <⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a b ⎝ ⎛⎭⎪⎫19－a b ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－a b 24＝100(要求最大值，19－a b 至少大于0)．当且仅当1＋a b ＝19－a b ，即ab ＝9时取等号．。