2
tg20
2 xy x
y
mm
ax in
x
y
±
（x
2
y
2
）2
2 xy
0 0极值正应力就是主应力！
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max在剪应力相对的项限内，
且偏向于x 及y大的一侧。
y
2
主 单元体
x
令:d d
0
1
tg212xxy y
y
xy 1
Ox
mmainx
± （x
y
2
）2 2 xy
014 , 即极值剪应力面与主面 成450
（4）最大切应力
max
1
2
2
22.1MPa
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§7-4 二向应力状态分析——图解法
y
n
x
2
y
x
2
y
c
os2
xysin2
y
xy
x
x
2
y
s
in2
xyc
os2
Ox
对上述方程消去参数（2），得：
x
y
xy
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 xy
n
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y n 二、应力圆的画法
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例 分析受扭构件的破坏规律。
解：确定危险点并画其原
C
yx
始单元体
M
C
xy
x y 0
xy
T WP
xy
求极值应力
y
yx
m m
ax in
x
y
2
（ x
2
y
）2
2 xy
Ox
2 xy
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1 ; 20; 3
tg20
2 xy x
y
0
45
max min
平面应力状态的普遍形式：在常见的受力
构件中，在两对平面上既有正应力σ又有 切应力τ。可将该单元体用平面图形来表
示。
y
x xy
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σ、τ正负号规定：
y
σ——拉为正，压为负；
τ——以对微单元体内任意一点取矩 为顺时针者为正，反之为负；
x xy
单元体各面上的已知应力分量 x 、 xy 和 y 、 yx ，
（ x
2
y
）2
2 xy
tg212xxy y 010
破坏分析
低碳钢 : s 240 MPa ; s 200 MPa
低碳钢
灰口铸铁: Lb 98 ~ 280MPa yb 640 ~ 960MPa;b 198 ~ 300MPa
铸铁
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例 图示应力状态（单位：Mpa），求：（1）斜截 面上的应力；（2）主应力的大小；（3）主平面方位， 并在单元体上绘出主平面位置和主应力方向；（4） 最大切应力。
确定任一斜截面上的未知应力分量，从而确定该点 处的主应力和主平面。
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一、任意斜截面上的应力
规定： 截面外法线同向为正； a绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。
y
n
x
y
xy
Ox
x
y xy
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y 设：斜截面面积为A，由分离体平衡得：
n
x
Fn 0
y
xy
A x A cos2 xy A cos sin
Ox
y Asin 2 yx Asin cos 0
x
y
2
x
y
2
cos2
xy sin 2
x
同理：
y xy
n
x
y
2
sin 2
xy
cos2
二、极值应力
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令 : d
d
0
x y
sin 20 2 xy cos20 0
由此的两个驻点：
、
01
（ 01
）和两各极值：
重要结论
不仅横截面上存在应力， 斜截面上也存在应力；不仅要 研究横截面上的应力，而且也 要研究斜截面上的应力。
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应力
指明
哪一个截面上？ 哪一点？
过一点不同方向面上应力的集 合，称之为这一点的应力状态。
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应力表示——单元体：
①dx、dy、dz（微小的正六面体） ②单元体某斜截面上的应力就代表了构件内
解：（1）易知 30
x 40MPa xy 10MPa
y 20MPa
，
1 2
(
x
y
)
1 2
(
x
y ) cos2
x sin 2
26.4MPa
1 2
(
x
y )sin 2
x cos2
13.66MPa
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（2）主应力大小
max
1 2
(
x
y)
( x
y )2
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第七章 应力和应变分析
§7-1 应力状态概述
§7-2
二向和三向应力状态的实例
§7-3 二向
应力状态分析——解析法
§7-4 二向应力
状态分析——图解法
§7-5 三向应力状
态
§7-8 广义胡克定律
§7-9 复杂应力状态的应变能密度
§7-
10 强度理论概论
§7-11
四种常用强度理论
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对应点同方位截面上的应力。
P B
A
B
D
C
dz
dx
dy
C
B、C——单向受力，τ＝0
A——纯剪切， σ＝0
D
D——既有 σ，又有τ
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主平面——单元体的三个相互垂直的面上都无切应 力。 主应力——主平面上的正应力（也是单元体内各截 面上正应力的极值）。 通过结构内一点总可找到三个相互垂直的截面皆为 主平面。
对应的有三个主应力，相应的用 1 、 2 、 3 来
表示，它们按代数值的大小顺序排列，即
1 2 3
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简 单 应 力 状 态— 单 向 应 力 状 态 （ 只 有 一个 不 等 于 零 的 主 应 力
复
杂
应
力
状
态—
平 面 应 力 状 态 （ 有 两 个不 等 于 零 的 主 应 力 ）
a xy x
建立应力坐标系，如下图所 示，（注意选好比例尺）
y
在坐标系内画出点A( x，
Oa n D(xa , a)
4
x2
44.1MPa
min
1 2
(xy)来自( xy )24
x2
15.9MPa
故，1 44.1MPa， 2 15.9MPa， 3 0MPa
（3）主平面方位
tan 20
2 x x y
1
0 67.5 或157 .5
法线与x轴夹角为67.5º的主平面上对应的是2。
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§7-1 应力状态概述
问题的提出: 为什么塑性材料拉伸时会出现滑移线？ 为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
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p cos 0 cos2
p
sin
0
2
sin 2
单向应力状态
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sin 2 cos 2
纯剪切应力状态
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空 间 应 力 状 态 （ 三 个 主应 力 都 不 等 于 零 ）
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§7-2 二向和三向应力状态的实例
F
D 2
p D2
p 44
D
FN
0
pl D sind
2
plD
2 l plD 0
pD 2
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§7-3 二向应力状态分析——解析法