介电常数的测定0419 PB04204051 刘畅畅实验目的了解多种测量介电常数的方法及其特点和适用范围，掌握替代法，比较法和谐振法测固体电介质介电常数的原理和方法，用自己设计与制作的介电常数测试仪，测量压电陶瓷的介电常数。
数据处理与分析（一）原理：介质材料的介电常数一般采用相对介电常数r ε来表示，通常采用测量样品的电容量，经过计算求出r ε，它们满足如下关系：00r CdSεεεε==式中ε为绝对介电常数，0ε为真空介电常数，1208.8510/F m ε-=⨯，S 为样品的有效面积，d为样品的厚度，C 为被测样品的电容量，通常取频率为1kHz 时的电容量C 。
（二）实验过程及数据处理 压电陶瓷尺寸：直径：0.9524.7840.063D mmv mm ==厚度：0.950.2720.043H mmv mm==一．根据所给仪器、元件和用具，采用替代法设计一台简易的介电常数测试仪，测量压电陶瓷的介电常数r ε。
在实验中采用预习报告中的图()a 连接电路，该电路为待测电容Cx 、限流电阻0R 、安培计与信号源组成的简单串联电路。
接入Cx ，调节信号源频率和电压及限流电阻0R ，使安培计读数在毫安范围内恒定（并保持仪器最高的有效位数），记下Ix 。
再换接入Cs ，调节Cs 与Rs ，使Is 接近Ix 。
若Cx 上的介电损耗电阻Rx 与标准电容箱的介电损耗电阻Rs 相接近，即Rx Rs ≈，则Cx Cs =。
测得的数据如下：输出频率 1.0002~1.0003kHz 输出电压 20VIx=1.5860mA Is=1.5872mA Cs=0.0367F R=1000μΩIs Ix ≈。
此时Rx Rs ≈，有Cx Cs ≈。
所以Cx = Cs = 0.0367 F μ。
63212223001200.0367100.272102339.264024.784108.8510 3.1422r Cd CH C N m SD εεεεεπ------⨯⨯⨯=====⋅⋅⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭二．用比较法设计一台简易的介电常数测试仪，测量压电陶瓷的介电常数r ε。
在Rx Rs ≈的条件下，测量Cx 与Cs 上的电压比VsVx即可求得Cx ： VsCx Cs Vx=⨯（Vs 可以不等于Vx ） 测得的数据如下：输出频率 1.0003~1.0004kHz 输出电压 20VVx = 3.527V Vs = 3.531V Cs = 0.0367F R = 1000μΩRx Rs ≈。
Cx 与Cs 上的电压比3.5270.9988673.531Vs Vx == 683.5270.036710 3.6658103.531Vs Cx Cs F Vx --∴=⨯=⨯⨯=⨯8321222300120 3.6658100.272102336.586924.784108.85103.1422r CdCH C N m SD εεεεεπ------⨯⨯⨯=====⋅⋅⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭三．用谐振法设计一台简易的介电常数测试仪，测量压电陶瓷的介电常数r ε。
由已知电感L （取1H ），电阻R （取1k Ω）和待测电容Cx 组成振荡电路，改变信号源频率使RLC 回路谐振，伏特计上指示最大，则电容可由下式求出：2214Cx f Lπ=式中f 为频率，L 为已知电感，Cx 为待测电容。
测得的数据如下：max 3.953792.4610001V Vf Hz R L H===Ω=8222211 4.03761044 3.14792.461Cx F f L π-===⨯⨯⨯⨯ 8321222300120 4.0376100.272102573.572924.784108.85103.1422r Cd CH C N m SD εεεεεπ------⨯⨯⨯=====⋅⋅⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭四．用谐振替代法设计一台简易的介电常数测试仪，测量压电陶瓷的介电常数r ε。
每个直接测量量各测６次，并作误差分析，计算结果的合成不确定度。
将电感器的一端与待测电容Cx 串联，调节频率f 使电路达到谐振，此时电容上的电压达到极大值，固定频率0f ，用标准电容箱Cs 代替Cx ，调节Cs 使电路达到谐振，电容上的电压再次达到极大值，此时Cx Cs =。
测得的数据如下：对以上数据进行处理并作不确定度分析： ⑴r ε的计算值610.032283i i Cs Cs F μ===∑0.032283Cx Cs F μ∴==63212223001200.032283100.272102057.723724.784108.8510 3.1422r Cd CH C N m SD εεεεεπ------⨯⨯⨯=====⋅⋅⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⑵Cs 的不确定度： 平均值：610.032283ii Cs Cs F μ===∑标准差：41.169110F σμ-==⨯A类不确定度：454.772610A u F μ--===⨯ 取0.95P =时，查表得，6n =， 2.57P t = 542.57 4.7726101.226610A P A t u F μ--∴∆==⨯⨯=⨯71R ⨯型电容箱准确度：100.10.5100.010.65100.0012100.00015F F F F μμμμ⨯=±%⨯=±%⨯=±%⨯=±%B 类不确定度：()350.650.0120.00150.0001910910F μ--∆±⨯+⨯+⨯%=±⨯%=±⨯仪=∆∆=Q 估仪55910310B u F μ--∴=∆±⨯/3=±⨯仪/C= 取0.95P =时，查表得置信因子 1.96P k = 551.96310 5.8810B P B Pk u k F μ--∆∴∆===±⨯⨯=±⨯仪C合成不确定度：41.360310U F μ-===⨯0.95P =⑶Cs 的结果表达式：()23.2280.01410Cs F μ-=±⨯ 0.95P =亦即：()23.2280.01410Cx F μ-=±⨯ 0.95P =⑷利用不确定度的合成和传递求r ε的不确定度()23.2280.01410Cx F μ-=±⨯ 0.95P = ()24.7840.063D mm =± 0.95P = ()0.2720.043H mm =± 0.95P =由：()2000/2r Cd CHS D εεεεεπ=== 可得：()()2ln ln ln /2rCH D εεπ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⇒()()0ln ln ln ln 2ln /2r C H D εεπ⎡⎤=+-+⎣⎦⇒()/22/2rr d D d dC d HC HD εε=+-⨯ ⇒()/22/2rrd D d dC d HC HD εε=++⨯ ⇒()/22/2rr D C H C H D εε∆∆∆∆=++⨯ 220.014100.0430.06320.1675213.228100.27224.784rrεε--∆⨯∴=++⨯=⨯ 2120.1675212057.7237344.7119r C N m ε--∴∆=⨯=⋅⋅ ⑸r ε的结果表达式：()32122.060.3410r C N m ε--=±⨯⋅⋅ 0.95P =⑹误差分析实验中直接测量量有0f 、1R V 、2R V 、Cs 四个。
任何一个量测得不准确都有可能引起最终r ε结果的误差。
首先调节频率f 使电路达到谐振，此时电容上的电压达到极大值，由于多用电表上的示数在较小范围内不停浮动，所以确定电压极大值时只是近似地认为在某一个值处有唯一的稳定值，这时便有了0f 与1R V 的误差，并会影响到2R V ，因为2R V 需要达到与1R V 几乎相同的极大值。
然后固定频率0f ，用标准电容箱Cs 代替Cx ，调节Cs 使电路达到谐振，电容上的电压再次达到极大值，同样由于多用电表示数的浮动，会使2R V 的值产生误差。
Cs 是旋钮调节，由于不能连续调节，决定了2R V 值不能连续变化，只能在实验中取最接近极大值1R V 的那个值。
并且有时很难使2R V 与1R V 相同。
而且已经固定的0f 也是不断变化的，多个值不停地浮动变化，带来了测量值和结果的误差。
五．比较不同测量方法的优缺点和适用范围。
1. 替代法当实验室无专用测量电容的仪器，但有标准可变电容箱或标准可变电容器时，可采用替代法设计一简易的电容测试仪来测量电容。
这种方法的优点是对仪器的要求不高，由于引线参数可以抵消，故测量精度只取决于标准可变电容箱或标准可变电容器读数的精度。
若待测电容与标准可变电容的损耗相差不大，则该方法具有较高的测量精度。
当待测的电容量较小时，用替代法测量，标准可变电容箱的有效位数损失太大，所以这是这种方法的缺点。
2. 比较法当待测的电容量较小时，可用比较法测量，此时电路中引入的参量少，测量精度与标准电容箱的精度密切相关，考虑到Cs 和Rs 均是十进制旋钮调节，故无法真正调到Vs Vx =，所以用比较法只能部分修正电压差带来的误差。
3. 谐振法与谐振替代法谐振法测量电容的原理是引入了振荡电路，由已知电感L ，电阻R 和待测电容Cx 组成振荡电路，改变信号源频率使RLC 回路谐振。
当待测电容Cx 较小时，线圈和引线的分布电容，伏特计的输入电容等都对测量结果有影响，信号源频率的波动和读数精度都将对测量结果有很大的影响，若不采取其它措施，将导致式2214Cx f Lπ=计算的电容产生很大的误差，而且待测电容Cx 越小，测量误差越大。
这时可采用谐振替代法来解决。
谐振替代法的特点是电路简单、测量方便、测量精度与电感L 和信号源频率f 的测量精度无关，只取决于标准电容箱Cs 的精度，在保证线路状态不变的情况下，可消除分布电容和杂散电容的影响。