一次函数、二次函数、函数的零点（一）基本知识回顾及应用举例1. 一次函数.当时，叫做正比例函数，其图象是直线.当时，直线上升，函数为增函数；当时，直线下降，函数为减函数2. 二次函数的解析式的三种形式（1）一般式；（2）顶点式；（3）零点式3. 二次函数的图象是抛物线.当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下.抛物线的顶点坐标为，对称轴方程为.抛物线与轴的交点的横坐标是方程的根，它在轴上截得的线段的长为=.4. 二次方程实根的分布情况，常常根据二次函数的图象与轴的交点的位置来确定.当二次方程在区间内只有一个实根时，有，或；有两个不等实根时，有；在两个区间各有一个实根即时，，.5. 二次函数与一元二次不等式有紧密的联系.图1 图2 图36. 函数零点的概念：对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x ∈D）的零点。

函数零点的意义：函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的实数根，亦即函数y＝f（x）的图象与x 轴交点的横坐标。

即方程f（x）＝0有实数根函数y＝f（x）的图象与x轴有交点函数y＝f（x）有零点。

例：问：二次函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）在什么条件下有两个零点？一个零点？没有零点？7. 例：观察下面函数f（x）＝0的图象（如图4）。

图4①在区间[a，b]上______（有/无）零点；f（a）·f（b）_____0（＜或＞＝。

②在区间[b，c]上______（有/无）零点；f（b）·f（c）_____0（＜或＞＝。

③在区间[c，d]上______（有/无）零点；f（c）·f（d）_____0（＜或＞＝。

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根。

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0及函数在区间[a，b]内单调递增则函数在这个区间内有且只有一个零点。

（变号零点）例1. 求函数f（x）＝ln x＋2x－6的零点个数。

直接画图、两个函数求图象交点个数、利用函数单调性判断等三种方法答案：18. 二分法的思想方法：先找到a、b，使f（a），f（b）异号，说明在区间（a，b）内一定有零点，然后求f[（a+b）/2]，现在假设f（a）<0，f（b）>0，a<b如果f[（a+b）/2]=0，该点就是零点，如果f[（a+b）/2]<0，则在区间（（a+b）/2，b）内有零点，按上述方法再求该区间中点的函数值，这样就可以不断接近零点如果f[（a+b）/2]>0，同上通过每次把f（x）的零点所在的小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。

例2. 若函数唯一的零点同时在区间内，那么下列命题正确的是A. 函数在区间内有零点B. 函数在区间或内有零点C. 函数在区间上无零点D. 函数在区间内无零点本小题主要考查学生在掌握用二分法求相应方程的近似解的基础上，对二分法思想的理解。

答案：C例3. 在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（重量不同），现在只有一台天平，请问：你最多称______次就可以发现这枚假币？本小题主要考查对二分法思想的理解和延伸。

答案：4例4. （1）函数的图象与x轴有交点的充要条件是（）A. a=0且b≠0B. a≠0C. D.（2）已知函数的值恒小于零，那么（）A. m=9B.C.D. m答案：（1）D（2）D例5. （1）二次函数的图象如下图所示试确定下列各式的正负：a；b；c；a－b＋c；b2－4ac；a＋b＋c；（2）方程x2＋（2m－1）x＋4－2m=0的一根大于2、一根小于2，那么实数m的取值范围是.（3）函数的定义域是，则a的取值范围是。

答案：（1）；；；；，（2）（3）（二）巩固提高，题型举例例6. 设二次函数f（x）满足f（x－2）=f（－x－2），且图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为，求f（x）的表达式技巧与方法：待定系数法解：∵f（x－2）=f（－x－2）∴f（x）的对称轴为x=－2设f（x）=a（x+2）2+c ∵图象在y轴上的截距为1∴f（0）=4a+c=1f（x）=0即ax2+4ax+4a+c=0的两个根为x1、x2则|x1－x2|=又∵x1+x2=－4，x1x2=∴|x1－x2|=解得：a=c=－1 ∴例7. 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=－bx，其中a、b、c满足a>b>c，a+b+c=0，（a，b，c∈R）。

（1）求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围。

技巧与方法：利用方程思想巧妙转化。

（1）证明：由消去y得ax2+2bx+c=0Δ=4b2－4ac=4（－a－c）2－4ac=4（a2+ac+c2）=4［（a+c2）∵a+b+c=0，a>b>c，∴a>0，c<0∴c2>0，∴Δ>0，即两函数的图象交于不同的两点。

（2）解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2，则x1+x2=－，x1x2=。

|A1B1|2=（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2∵a>b>c，a+b+c=0，a>0，c<0∴a>－a－c>c，解得∈（－2，－）∵的对称轴方程是。

∈（－2，－）时为减函数∴|A1B1|2∈（3，12），故|A1B1|∈（）。

例8. 函数=x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值为，求的表达式及其最值.技巧与方法：处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；解：函数=x2－2x＋2的对称轴为，分三种情况讨论：①即时，=1；②＞1时，==t2－2t＋2③t＜0时，==（t+1）2－2（t+1）＋2= t2+1综上所述的最值由图象得出：g min=1，无最大值例9. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0。

（1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围。

（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的范围。

技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制。

解：（1）条件说明抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（－1，0）和（1，2）内，画出示意图，得∴（2）根据抛物线与x轴交点落在区间（0，1）内，列不等式组（这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间（0，1）内通过）例10. 已知对于x的所有实数值，二次函数f（x）=x2－4ax+2a+12（a∈R）的值都是非负的，求关于x的方程=|a－1|+2的根的取值范围。

技巧与方法：先由条件求a的取值范围，后分类讨论解：由条件知Δ≤0，即（－4a）2－4（2a+12）≤0，∴－≤a≤2（1）当－≤a＜1时，原方程化为x=－a2+a+6，∵－a2+a+6=－（a－）2+。

∴当a=－时，x mi n=，当a=时，x max=。

∴≤x≤。

（2）当1≤a≤2时，x=a2+3a+2=（a+）2－∴当a=1时，x mi n=6，当a=2时，x max=12，∴6≤x≤12。

综上所述，≤x≤12。

【模拟试题】1.若不等式（a－2）x2+2（a－2）x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是（）A.（－∞，2B.－2，2C.（－2，2D.（－∞，－2）2.设二次函数f（x）=x2－x+a（a>0），若f（m）<0，则f（m－1）的值为（）A.正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能3. 已知函数，如果值恒为正，那（）A. ；B. ；C. ；D. .4. 已知函数对于一切实数都有，如果方程有且只有两个不相等的实根，那么这两个实数根的和等于（）A. 0 ；B. 2 ；C. 3 ；D. 6 .5. 如果二次函数在区间上是减函数，那么（）A. ；B. ；C. ；D. .6. 已知函数上单调递增，则a的取值范围是（）A. B. C. D.7. 两个二次函数=ax2＋bx＋c与=bx2＋ax＋c的图象只能是（）A . B. C. D.8. 函数的图象的对称轴为x＋2=0，则m= ；顶点坐标为；递增区间为；递减区间为.9. 已知不等式，则a= ；b= .10. 函数=4x2－mx＋5在区间上是增函数，则的取值范围是.11.已知二次函数f（x）=4x2－2（p－2）x－2p2－p+1，若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c，使f（c）>0，则实数p的取值范围是_________。

12.二次函数f（x）的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f（2+x）=f（2－x），若f（1－2x2）<f（1+2x －x2），则x的取值范围是_________。

13. 函数=－x2＋2ax＋1－a在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a的值.【试题答案】1. 解析：当a－2=0即a=2时，不等式为－4＜0，恒成立。

∴a=2，当a－2≠0时，则a满足，解得－2＜a＜2，所以a的取值范围是－2＜a≤2。

答案：C2.解析：∵f（x）=x2－x+a的对称轴为x=，且f（1）>0，则f（0）>0，而f（m）＜0，∴m∈（0，1），∴m－1＜0，∴f（m－1）>0 答案：A3. D4. D5. C6. B7. D8. －2，（－2，3）；（－∞，－2），（－2，+∞）9. a=－12，b=－210. [25，+∞]11. 解析：只需f（1）=－2p2－3p+9>0或f（－1）=－2p2+p+1>0即－3＜p＜或－＜p＜1。

∴p∈（－3，）。

答案：（－3，）12.解析：由f（2+x）=f（2－x）知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x2－2|＜|1+2x－x2－2|，∴－2＜x＜0。

答案：－2＜x＜013. 2或－1（最大值在顶点处、区间端点处）。