(2)方 两 都 于 (k为 数 程 根 大 k 常 ）
∆ > 0 b − > k 2a f (k) > 0
(3)x1 < k < x2 (k为 数 常 ）
f (k) < 0
(4)k1 < x1 < x2 < k2 (k1, k2为 数 常 ）
∆ > 0 b k1 < − < k2 2a f (k1 ) > 0 f (k2 ) > 0
k1
k2
f ( k1 ) = 0 或 b k1 + k2 k1 < − 2a < 2
k1
f ( k2 ) = 0 或 k1 + k2 b 2 < − 2a < k 2 k2
(7)m < x1 < n < p < x2 < q (m, n, p, q为 数 常 ）
f 设 ( x) = ax + bx + c(a > 0)
2
元 次 程 一 二 方 ax + bx + c = 0(a > 0)
2
两 为 的 根 x1, x2 ( x1 < x2 )
(1)方 两 都 于 (k为 数 程 根 小 k 常 ）
∆ > 0 b − < k 2a f (k) > 0
二次函数零点的分布
实根分布问题 ax2 +bx + c = 0(a ≠ 0) ★一元二次方程 1、当x为全体实数时的根 、 为全体实数时的根
(1)当 = b2 − 4ac > 0时 ∆ ， 方 有 个 相 的 数 程 两 不 等 实 根
(2)当 = 相 的 数 方 有 个 等 实 根
变式题1m为何实数值时，关于x的方程 x − mx + (3 + m) = 0 为何实数值时，关于 的方程 变式题 为何实数值时 有两个大于1的根 的根. 有两个大于 的根 2 转变为函数，借 转变为函数， 法一：设 由已知得： 法一 设 f ( x) = x − mx + (3 + m) 由已知得：
函数零点
• 一般地，对于函数y=f(x)，我们把使 一般地，对于函数 ，我们把使f(x)=0的实 的实 就做函数y=f(x)的零点 的零点. 数x就做函数 就做函数 的零点 由此得出以下三个结论等价： 由此得出以下三个结论等价：
• 方程 方程f(x)=0有实根 有实根 • 函数 函数y=f(x)的图象与 轴有交点 的图象与x轴有交点 的图象与 • 函数y=f(x)有零点 有零点 函数
(5)x1 < k1 < k2 < x2 (k1, k2为 数 常 ）
f (k1 ) < 0 f (k2 ) < 0
(6)x1， 2有 只 一 根 （ 1, k2） x 且 有 个 在 k 内
k1
f ( k1 ) f ( k2 ) < 0
k2
k1
k2
∆ = 0 或 b k1 < − 2a < k2 2a
f (m) > 0 f (n) < 0 f ( p) < 0 f (q) > 0
(8)方 有 个 相 的 根 方 程 两 不 等 正
∆ > 0 可用韦达定理表达式来书写条件 x + x > 0 1 2 x x > 0 1 2
也可
∆ > 0 b − > 0 2a f (0) > 0
∆ =m 2 − 4(3 + m) ≥ 0 法三： 法三 m + m 2 − 4m − 12 >1 x1 = 2 m − m 2 − 4m − 12 >1 x2 = 2
由求根公式， 由求根公式，转化成含根式的 不等式组
m ≥ 6或m ≤ −2 解不等式组，得 m > 2 解不等式组， ⇒m≥6 m 2 − 4m − 12 < m 2 − 4m + 4
也可
f(0)<0
2
f(x)
x1
x2
0
1
x
∆ = m 2 − 4(m + 3) ≥ 0 ⇒m≥6 f (1) > 0 m >1 2
转化为韦达定理的 不等式组
助于图像，解不 助于图像， 等式组
法二： 法二：
∆ = m 2 − 4(m + 3) ≥ 0 m ≥ 6或m ≤ -2 ⇒ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1 > 0 ⇒ m ≥ 6 ( x1 − 1)( x2 − 1) > 0 ( x − 1) + ( x − 1) > 0 x + x − 2 > 0 2 1 2 1
(3)当 = b2 − 4ac < 0 ， ∆ 时 程 有 数 方 没 实 根
例1.m为何实数值时，关于x的方程 x − mx + (3 + m) = 0 为何实数值时，关于 的方程 为何实数值时 （1）有实根 （2）有两正根 （3）一正一负 ） ） ）
2
解： 寻求等价条件
(1) ∆ = m 2 − 4(3 + m) ≥ 0 ， 2 − 4m − 12 ≥ 0 m 得： ≥ 6或m ≤ −2. m
f ( x)
x1
x2
0
x
(9)方 有 个 相 的 根 方 程 两 不 等 负
可用韦达定理表达式来书写条件
也可
∆ > 0 b − < 0 2a f (0) > 0
f ( x)
x1
x2
0
x
(10)方 有 正 一 根 方 程 一 根 负
可用韦达定理表达式来书写： 可用韦达定理表达式来书写：ac<0
m ≥ 6或m ≤ −2 ∆ ≥ 0 (2) x1 + x2 > 0 得 m > 0 得：m ≥ 6 x x > 0 m + 3 > 0 1 2
m > 6或m < −2 ∆ > 0 得 得：m < −3. (3) x1 x2 < 0 m + 3 < 0
• 判断二次函数的零点分布的关键 判断二次函数的零点分布的关键: 在于作出二次函数的图象的草图， 在于作出二次函数的图象的草图， 根据草图通常从判别式、 根据草图通常从判别式、对称轴 的位置、 的位置、特殊点的函数值这三个 角度列出不等式组求解． 角度列出不等式组求解．
(1)方程 2－2ax＋4＝0的两根均大于 ， 方程x 的两根均大于1， 方程 ＋ ＝ 的两根均大于 求实数a的取值范围 的取值范围． 求实数 的取值范围． (2)方程 2－2ax＋4＝0的一根大于 ， 方程x 的一根大于1， 方程 ＋ ＝ 的一根大于 一根小于1，求实数a的取值范围 的取值范围. 一根小于 ，求实数 的取值范围 (3)方程 2－2ax＋4＝0的一根在 方程x 的一根在(0,1)内， 方程 ＋ ＝ 的一根在 内 另一个根在(6,8)内,求实数 的取值范围． 求实数a的取值范围 另一个根在 内 求实数 的取值范围．