函数及其表示
（一）知识梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义：
设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的 x ，在集合B 中都有 的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为__________
(2)函数的定义域、值域
在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量， 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， {}
A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。
(3)函数的三要素： 、 和 (4)区间的概念
. 2．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 3．分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
（二）考点分析 考点1：函数的定义
例1.集合}20|{},40|{≤≤=≤≤=y y B x x A ，下列不表示从A 到B 的函数的是（ ） （A ）x y x f 21:=
→ （B ）x y x f 31:=→（C ）x y x f 3
2
:=→ （D ）x y x f =→:
考点2：判断两函数是否为同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。
例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）2
)(x x f =
，33)(x x g =； （2）x
x x f =
)(，⎩⎨
⎧<-≥=;
01
,
01)(x x x g （3），； （4）12)(2
--=x x x f ，12)(2
--=t t t g
考点3：求函数的定义域
题型1：求有解析式的函数的定义域
（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 根式中被开方数应为非负数；③ 零指数幂中，底数不等于0； ④若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑤ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。
例1.函数()21
43
f x x x =
-+
-的定义域为（ ）
A ．[)(]22+∞-∞- ，，
B ．[)()2,33+∞ ，
C ．(][)()22,33-∞-+∞ ，，
D ．(]2-∞-，
例2、函数x
x x x f -+=
0)1()(的定义域是（ ）
A.{}0|<x x
B. {}0|>x x
C. {}10|-≠<x x x 且
D. {}10|-≠≠x x x 且
练习: (1)
； (2)
； (3).
(4)； (5)； (6).
考点3：求函数的值域
1． 求值域的几种常用方法
（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法， 例1、322
+--=x x y
例2、2
285y x x =-+- （1）]1,1[-∈x （2）]4,1[∈x （3）]8,4[∈x
（2）换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例如 例3、x x y 21-+= 例4、13432)(-+-=x x x f
（3）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。
如求函数32
43
x y x +=
-的值域
例5、
.
（4）分段函数分别求函数值域， 例6、53-++=x x y
例7、函数2
22(03)
()6(20)
x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨+-≤≤⎪⎩的值域是（ ）
A ．R
B ．[)9,-+∞
C ．[]8,1-
D ．[]9,1-
（5）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域
考点4求函数解析式
题型1：用待定系数法求函数的解析式
例1.已知函数()f x 是一次函数,且49)]([+=x x f f ,求()f x 表达式.
例2.已知()f x 是一次函数且()()()()()22315,2011,f f f f f x -=--==则（
）
A ．32x +
B ．32x -
C ．23x +
D ．23x -
例3.二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1.求f(x)的解析式；
题型2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式
例1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f
例2.已知(
)
()11,f
x x f x +=-=则_____________。
题型3：求抽象函数解析式
例1．已知函数)(x f 满足x x
f x f 3)1
(2)(=+，求)(x f
例2、已知：1)(3)(2+=-+x x f x f ，求()f x 表达式.
方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；
（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； （3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f
一、
选择题
1、函数()y f x =的图象与直线x m =的交点个数为（
）
A ．可能无数个
B ．只有一个
C ．至多一个
D ．至少一个
2、设{}{}M=22,02x x N y y -≤≤=≤≤，函数()f x 的定义域为M ，值域为N ，则()f x 的图
象可以是（ ）
3、函数()x
f x x x
=+
的图象是如图中的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4、已知()f x 是一次函数且()()()()()22315,2011,f f f f f x -=--==则（ ）
A ．32x +
B ．32x -
C ．23x +
D ．23x -
5、设函数()()221,1
1,22,1x x f x f f x x x ⎡⎤⎧-≤=⎨⎢⎥+->⎩⎣⎦则的值为（
）
A ．
15
16
B ．2716-
C ．8
9 D ．18
6、函数()2
143
f x x x =-+-的定义域为（
）
A ．[)(]22+∞-∞- ，，
B ．[)()2,33+∞ ，
C ．[)()(]2,332+∞-∞- ，，
D ．(]2-∞-，
7、设()()
()()1,0,00,0x x f x x x π+>⎧⎪
==⎨⎪<⎩
，则(){}
1f f f -⎡⎤⎣⎦的值是（
）
A ．1π+
B ．0
C ．π
D ．1-
二、填空题
8、已知函数()()f x g x 、分别由下表给出：
x
1 2 3
x
1 2 3
y
2 0 x
y
2 2 x
0 -2 B ．
A ．
y
2
x
-2 D ．
y
2
x
-2 0
C ． 1 y
y
y y 1 1
1
0 -1 -1
-1
-1 x
x
x
x
()f x
2 1 1
()f x
3 2 1
则()1f g ⎡⎤⎣⎦的值为____________，当()2g f x =⎡⎤⎣⎦时，x =_______________。
9、已知(
)
()11,f
x x f x +=-=则_____________。
10、已知区间[]2,35a a -+，则a 的取值范围是_____________。
11、函数()2232
x
f x x x -=--的定义域为________________。
三、解答题
13、若函数()()[]2
23,,y f x x a x x a b ==+++∈的图象关于直线1x =对称，求b 的值。
14、已知()f x 是一次函数，且(){}87f f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x 的解析式。
16、求下列函数的值域：
（1）()2
212y x x x =--≤≤ （2）21y x =+。