二、例题精讲
例1．（1）设函数
（2）（2001上海理，1）设函数f（x）＝ ，则满足f（x）= 的x值为。
变式题：（2006山东文2）设 （）
A．0B．1C．2 D．3
例2．（2006安徽文理15）
（1）函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则 __________；
（2）函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则 __________。
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示。
5．映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B”。
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
例10．（2006湖南理20）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为： 为 ，要求清洗完后的清洁度为 。有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为 。设用 单位质量的水初次清洗后的清洁度是 ，用 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是 ，其中 是该物体初次清洗后的清洁度。
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
7．分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；
8．复合函数
若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。
3．两个函数的相等：
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
“函数”是数学中最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容与方法。由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练。
思维ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ结:
1．求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知 求 或已知 求 ：换元法、配凑法；
①直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；
二次函数 的定义域为R，
当a>0时，值域为{ }；
当a<0时，值域为{ }。
②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；
③分式转化法（或改为“分离常数法”）
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4） 满足某个等式，这个等式除 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。
2．求函数定义域一般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；
（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；
例3．试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）= ，g（x）= ；
（2）f（x）= ，g（x）=
（3）f（x）= ，g（x）=（ ）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）= ，g（x）= ；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。
例4．求下述函数的定义域：
（1） ；
（2）
例5．已知函数 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
(1) ；(2) 。
例6．求下列函数的值域：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） ；
（7） ；（8） ；（9） 。
例7．（1）已知 ，求 ；
（2）已知 ，求 ；
（3）已知 是一次函数，且满足 ，求 ；
（4）已知 满足 ，求 。
例8．（2006重庆理21）已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2+x)=f(x)－x2+x。
第二讲函数概念与表示
一、知识要点
1..函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
6．常用的函数表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：
①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；
②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。
①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。
(Ⅰ)分别求出方案甲以及 时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
(Ⅱ)若采用方案乙, 当 为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小? 并讨论 取不同数值时对最少总用水量多少的影响。
例11．（1）设 ，其中a、b、c、d是常数。
如果 求 ；
（2）若不等式 对满足 的所有m都成立，求x的取值范围。
（3）已知 的定义域求 的定义域或已知 的定义域求 的定义域：
①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；
②若已知 的定义域 ，其复合函数 的定义域应由 解出。
3．求函数值域的各种方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。
（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1)；又若f(0)=a,求f(a)；
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0。求函数f(x)的解析表达式。
例9．（2003北京春，理文21）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。