高三数学周末卷 2020.2.29数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合A ={024}，，，B ={20}-，，则集合A ∪B = ▲ ．【答案】 {-2，0，2，4}2． 已知复数z 满足(34i)5z +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为 ▲ ．【答案】353． 某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产量之比为2: 1: 3．现用分层抽样的方法抽取1个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的产品有18件，则样本容量n 的值为 ▲ ． 【答案】 544． 执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值是18，则输入的x 的值为 ▲ ．【答案】 65. 函数2ln(2)y x x =+-的定义域是 ▲ ．【答案】(12)-，6. 从2个白球，2个红球，1个黄球中随机取出2个球，则取出的2球中不含红球的概率是 ▲ ．【答案】3107. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214x y -=的两条渐近线和一条准线围成的三角形的面积为 ▲ ． 【答案】858． 已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为2，△DEF 为过各侧棱中点的截面，O 为上底面A 1B 1C 1内一点，则多面体O -DEF -ABC 的体积为 ▲ ． 【答案】439. 若函数()π()sin 3f x x ω=+(03)ω<<图象的一条对称轴为π3x =，则函数()f x 的最小正周期为 ▲ ． 【答案】4πRead xIf 4x ≤ Then2y x ←+ Else3y x ← End if Print y（第4题）10．若直线20(00)ax by a b -+=>>，和函数log (2)1(01)c y x c c =++>≠且的图象均恒过同一个定点，则4ab a b +的最大值为 ▲ ．【答案】2911．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，{a 2n －1}是公差为d 的等差数列，{a 2n }是公比为q 的等比数列，且a 1＝a 2＝a ，S 2：S 4：S 6＝1：3：6，则daq 的值是 ▲ ．【答案】212. 如图放置的正三角形ABC ，AB =4，A ，B 分别在x 轴、y 轴的正半轴 上滑动，则OA OC ⋅的最大值是 ▲ ． 【答案】1213．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的方程：22(1)4x y +-=.过点()00P x x ，存在直线l 被圆C截得的弦长为，则实数0x 的取值范围是 ▲ ． 【答案】0001x x ≤或≥14. 已知函数30()|2|0⎧>=⎨++<⎩x x f x ax x x ，，，，若函数(1)(1)=-+-y f x f x 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】(2)+∞，二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．（本小题满分14分）如图，四棱锥V -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，VC ⊥平面BDE ， E 是棱VC 的中点.（1）求证：VA ∥平面BDE ； （2）求证：平面VAC ⊥平面BDV .【解】（1）连结OE ．因为底面ABCD 是菱形，所以O 为AC 的中点，（第15题）ACDOVEx又因为E 是棱VC 的中点，所以VA ∥OE . ……………………3分 又因为OE平面BDE ，VA平面BDE ，所以VA ∥平面BDE ． ……………………6分 （2）因为VC ⊥平面BDE ，又BD ⊂平面BDE ，所以VC ⊥BD ． ……………………8分 因为底面ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ． ……………………10分 又VO ∩AC =O ，VO ，AC平面VAC ，所以BD ⊥平面VAC . ……………………12分 又因为BD平面BDV ，所以平面VAC ⊥平面BDV . ……………………14分16． （本小题满分14分）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0002A ωϕπ>><，，≤）的图象如图所示． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足()2f α=，()3744ππα∈，，求sin α的值． 【解】（1）由图象，3A =且周期()7ππ2444T π=+=，即2π4πω=，所以12ω=，所以()1()3sin 2f x x ϕ=+． …………………… 3分因为()f x 的图象经过点()334π，，所以()3π3sin 38ϕ+=，所以()3πsin 18ϕ+=，又因为02ϕπ<≤，则3319888πππϕ+<≤，所以382ππϕ+=，则8πϕ=，所以()1π()3sin 28f x x =+． ……………………6分（2）由()2f α=，得()1π3sin 228α+=，（第15题）即()1π2sin 283α+=．因为()3744ππα∈，,则1π228παπ<+<, 所以()1πcos 28α+==． ……………………8分因为()()()2111cos cos 212sin 428289πππααα⎡⎤+=+=-+=⎢⎥⎣⎦， ……………………10分()()()()111sin sin 22sin cos 4282828ππππαααα⎡⎤+=+=++=⎢⎥⎣⎦．………12分又因为()()()sin sin sin cos cos sin 444444ππππππαααα=+-=+-+=， 所以sin α的值为 ……………………14分【备注】（1）此题源于【苏教版必修4】P 51第15题的改编；（2）第一问中求ϕ时，未交待π4ϕ+的范围扣1分，求错或有增根未舍不得分；（3）第二问中未写公式，每个扣2分.17. (本小题满分14分)如图所示，某公路AB 一侧有一块空地△OAB ，其中OA ＝3 km ，OB ＝3 3 km ，∠AOB ＝90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN ，其中M ，N 都在边AB 上（M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间），且∠MON ＝30°．（1）若M 在距离A 点2 km 处，求点M ，N 之间的距离；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使△OMN 的面积 最小，并求出最小面积．【解】（1）在△OAB 中，因为OA ＝3，OB ＝33， ∠AOB ＝90°，所以∠OAB ＝60°．在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝7， 所以OM ＝7，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝277，在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝ sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝277．在△OMN 中，由MN sin30°＝OM sin ∠ONA ，得MN ＝7277×12＝74． ……………………6分（2）设∠AOM ＝θ，0＜θ＜π3．在△OAM 中，由OM sin ∠OAB ＝OA sin ∠OMA ，得OM ＝332sin(θ＋π3)．在△OAN 中，由ON sin ∠OAB ＝OA sin ∠ONA ，得ON ＝332sin(θ＋π2)＝332cos θ．……………………8分所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON ＝12·332sin(θ＋π3)·332cos θ·12＝2716sin(θ＋π3)cos θ＝278sin θcos θ＋83cos 2θ＝274sin2θ＋43cos2θ＋43 ＝274sin2θ＋43cos2θ＋43＝278sin(2θ＋π3)＋43，0＜θ＜π3． ……………………12分当2θ＋π3＝π2，即θ＝π12时，S △OMN 的最小值为27(2－3) 4．所以应设计∠AOM ＝π12，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－3) 4km 2………14分18．（本小题满分16分）如图，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>，焦点到相应准线的距离为1，点A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点M (x 1，0)， 直线AC 与直线BD 交于点N (x 2，y 2)． （1）求椭圆的标准方程；（2）若2CM MD =，求直线l 的方程； （3）求12x x⋅的值．【解】（1得21c a a c c⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得1a c ⎧=⎨=⎩，所以，椭圆的标准方程为2212x y +=． ……………………4分 （2）由（1）知(01)C ，，设00()D x y ，， 因为2CM MD =，得021y =-，所以012y =-，代入椭圆方程得0x =或，所以1)2D -或1()2D -，N（第18题）所以l的方程为：1y =+或1y x =+． ……………………8分（3）设D 坐标为(x 3，y 3）,由(01)C ，，M (x 1，0)可得直线CM 的方程111y x x =-+，联立椭圆方程得：1221112y x x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，，解得132142x x x =+，2132122x y x -=+．由0)B ，得直线BD的方程：2y x =， ①直线AC方程为1y x =+， ②联立①②得212x x =，从而12x x =2． ……………………16分19. （本小题满分16分）已知函数()()e =-x f x x a （其中R ∈a ，e 为自然对数的底数）． （1）若1=a ，求曲线()=y f x 在1=x 处的切线方程； （2）设函数()()=f xg x x的定义域为(0)+∞，，且()g x 既有极大值又有极小值． ① 求实数a 的取值范围；② 求证：曲线()=y g x 与直线2e =-y 有唯一公共点． 【解】（1）当1=a 时，()(1)e =-x f x x ，所以()e '=x f x x ， 所以1=x 处的切线斜率为(1)e '==k f ，切点为(10)，，所以切线方程为e(1)=-y x ，即e e 0--=x y ． …………4分（2）①因为()e ()-=x x a g x x，所以222(1)e ()e ()e -+⋅---+'==x x xx a x x a x ax a g x x x ， 因为()g x 在(0)+∞，上既有极大值又有极小值， 所以方程()0'=g x 在(0)+∞，上有两个互异实根，所以20-+=x ax a 在(0)+∞，上有两个互异实根． …………6分 记2()=-+h x x ax a ，0>x ，所以24002(0)0⎧=->⎪⎪>⎨⎪=>⎪⎩a a a h a ，，，解得4>a ．经检验，此时()g x 既有极大值又有极小值．所以实数a 的取值范围为(4)+∞，． …………8分 ②当4>a 时，记方程20-+=x ax a 的两根为1212()<x x x x ，，2()()e ϕ=+x g x ． 所以曲线()=y g x 与直线2e =-y 的公共点个数即函数()ϕx 的零点个数． 因为122()()()()e ϕ--''==xx x x x x g x x， …………10分 当10<<x x 时，()0ϕ'>x ；当12<<x x x 时，()0ϕ'<x ；当2>x x 时，()0ϕ'>x ， 所以()ϕx 在1(0)x ，上为增函数；在12()x x ，上为减函数；在2()+∞x ，上为增函数， 所以12111()e ()()e ϕϕ-==+x x a x x x 极大值， …………12分又1212+==x x a x x a ，，所以1211=-x x x ，2111=-x a x ，由21224>+=>x x x a ，得22>x ，所以12121=>-x x x ，所以112<<x ． 所以11211221111()e 1e ()e e 1ϕ--=+=-+-x x x x x x x x ，112<<x ． …………14分 记2e ()e 1φ=-+-xx x ，12<<x ，所以2(2)e ()0(1)φ-=>-xx x x ，即()φx 在(12)，上为增函数，所以()(2)0φφ<=x ，即1()()0ϕϕ=<x x 极大值．结合()ϕx 的单调性易知，()0ϕ<x 在2(0)x ，上恒成立． 又22()()e e 0ϕ=+=>a g a ，由零点存在性定理，知()ϕx 在2()+∞x ，上有唯一零点． 所以曲线()=y g x 与直线2e =-y 有唯一公共点． …………16分 【注】解答中1x 的范围如果写成1112>≠x x 且也可证出结论，亦不扣分．20. （本小题满分16分）在数列{}n a 中，10a =，且对任意*k ∈N ，21k a -,2k a ,21k a +成等差数列，其公差为2k ．（1）证明：4a ，5a ，6a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）记2222323n n n T a a a =++⋯+．证明：3222n n T <-≤(2)n ≥．【解】（1）由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=， 54412a a =+=，65618a a =+=.从而655432a a a a ==，所以4a ，5a ，6a 成等比数列. ……………………3分 （2）由题设可得*21214,k k a a k k +--=∈N所以()()()2112121212331...k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+- ()441...41k k =+-++⨯()*21,k k k =+∈N . 由10a =，得()2121k a k k +=+ ，从而222122k k a a k k +=-=.所以数列{}n a 的通项公式为221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数 ……………………8分（3）证明：由（2）可知()2121k a k k +=+，222k a k =， 以下分两种情况进行讨论： ①当n 为偶数时，设n =2m ()*m ∈N 若1m =，则2222nk kk n a =-=∑，若2m ≥，则()()()22222112211112212214441221nmm m m k k k k k k k k k k k k k k a a a k k k --=====++++=+=++∑∑∑∑∑ ()()21111441111222212121m m k k k k m m k k k k k k --==⎡⎤+⎡⎤⎛⎫=++=++-⎢⎥ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑()11312211222m m n m n⎛⎫=+-+-=-- ⎪⎝⎭. 所以223122nk k k n a n =-=+∑，从而22322,4,6,8,....2nk kk n n a =<-<=∑ ……………………12分②当n 为奇数时，设()*21n m m =+∈N()()()22222222121213142221nm k k k km m m k k m a a a m m m ==+++=+=--++∑∑ ()11314222121m n m n =+-=---+ 所以2231221nk kk n a n =-=++∑，从而22322,3,5,7,....2nk kk n n a =<-<=∑综合①和②可知，对任意*2,,n n ≥∈N 有3222n n T <-≤. ……………………16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，．并在相应．．．．的答题区域内作答．．．．．．．．．若多做， 则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设点(12)，在矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换作用下得到点(26)，． （1）求矩阵M 的逆矩阵1-M ；（2）若曲线C 在矩阵1-M 对应变换作用下得到曲线22C y x '=：，求曲线C 的方程． 【解】（1）因为0120226a a b b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以a =2，b =3． …………………… 2分 所以2003⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，det()6=M ，所以1310062120036-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ． …………………… 5分 （2）设曲线C 上任意一点()x y ，在矩阵1-M 对应变换作用下得到点()x y ''，， 则102103x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦，所以1213x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩，． …………………… 7分 又点()x y ''，在曲线C '上，所以2()2y x ''=，即29y x =．所以曲线C 的方程为29y x =． ……………………10分B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=， 直线l 的极坐标方程为()π2cos 106ρθ++=，设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，直线l10y -+= …………………… 4分所以圆心到直线的距离为12d = …………………… 6分所以AB == …………………… 10分C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a b c d ，，，都是正实数，且1a b c d +++=，求证:2222111115a b c d a b c d +++++++≥． 【证明】因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2+≥2()1a b c d =+++=，…………………………………………………………5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=，所以2222111115a b c d a b c d +++++++≥． …………………………………………………10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）“股市有风险，入市需谨慎.”某股民新入市，经过初步分析相中A ，B ，C ，D 四只股票．已知 该股民购买A 股票的概率为23，购买B ，C ，D 三支股票的概率都是12，且他是否购买四只股 票相互独立.（1）求该股民至多购买一只股票的概率；（2）用随机变量X 表示该股民购买股票的种数，求X 的概率分布和数学期望()E X ． 【解】（1）记“该股民购买i 只股票”为事件i A ，0,1i =，则()021111(1)(1)(1)(1)322224P A =-⨯-⨯-⨯-=，()31213212115(1)(1)(1)3232224P A C =⨯-+-⨯⨯⨯-=， 所以该股民至多购买一只股票的概率为()()0115124244P A P A +=+=．……………………4分 （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，()()01024P X P A ===，()()15124P X P A ===， ()12223321121132(1)(1)()(1)3223228P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=，()2233332112173()(1)(1)()3223224P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=，()32114()3212P X ==⨯=， ……………………8分所以X 的概率分布为故()0123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………10分 23.（本小题满分10分）已知数列{}n a ，12a =，23a =，满足2211(1)(1)n n n n a n n a n a +--=+--，(2*)n n ∈N ≥，． （1）令1n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；（2）试用数学归纳法证明：对于一切2*n n ∈N ≥，3n >．【解】（1）当2n ≥时，2211(1)(1)n n n n a n n a n a +--=+--， 整理得211(1)()()n n n n n a a n a a +---=-， 即21(1)n n n b n b --=，所以1(2)1n n b bn n n n -=⋅≥- 令nn b c n=，11b =，11c =，1(2)n n c nc n -=≥ 当2n ≥时，12121(1)1!n n n n c c c n n n c c c ---⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅=，即!n c n =． 当1n =时，11c =，符合，所以!n c n =，所以!n b n n =⋅． ……………………4分（2）由（1）得1!n n n b a a n n +=-=⋅， 所以11(1)!!1!1n n a n a n a +-+=-==-=，所以{!}n a n -是常数列，即!1n a n =+.3n>，即证!3n n n n >.下面用数学归纳法证明：（1）当1n =时，11!3>显然成立.（2）假设(*)n k k N =∈时成立，即!3kk k k >，当1n k =+时，11(1)3(1)!(1)!(1)33(1)k k kk k k k k k k k k k k ++++=+⋅>+⋅=⋅+，即证(1)3k k k k +<⋅即可，即证1(1)3(*)k k N k +<∈.因为1221111(1)1k k k k k k C C C k k k k+=+⋅+⋅++⋅2211111r kk k kr kC C C k k k =++⋅++⋅+⋅， 因为当r ≥3时，1(1)(1)1!r k r r k k k r C k r k--+⋅=⋅1111!(1)212r r r r -<=<-⋅， 所以原式11111112482r -<++++++1121()32r -=+-<，得证. ……………………10分。