2020届江苏省南通中学高三上学期期中数学试题一、填空题1．已知{}{}1,21,2,,4A m B =-=-，且{}2,A B ⋂=则实数m 的值为________________. 【答案】4【解析】由{}2A B ⋂=可知2是集合A 中的元素，列出方程求解m 即得. 【详解】{}{}1,2,2A m A B =-⋂=Q ，22m ∴-=，解得4m =.故答案为：4 【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.2．若复数z 满足()1(2i z i -=为虚数单位)，则z =________________.【解析】将()12i z -=变形为21z i=-，再由商的模等于模的商求解即得. 【详解】由题得，21z i =-，则有2211z i i ====--.【点睛】本题考查复数的乘除运算和模的计算公式，是基础题.3．命题“x R ∃∈，使得10xsinx -≤”的否定是________________. 【答案】x R ∀∈,都有10xsinx ->【解析】根据特称命题的否定是全称命题即得. 【详解】由题得，Q “x R ∃∈”的否定是“x R ∀∈”，“使得10xsinx -≤”的否定是“10xsinx ->”，∴命题“x R ∃∈，使得10xsinx -≤”的否定是：x R ∀∈,都有10xsinx ->.故答案为：x R ∀∈,都有10xsinx -> 【点睛】本题考查命题的否定，是基础题. 4．函数2cos 23y sin x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期是________________. 【答案】π【解析】先整理函数，再由2T πω=即得.【详解】由题得，2cos(2)23y x sin π=-+，则有222T πππω===. 故答案为：π 【点睛】本题考查函数cos()y A x b ωϕ=++的最小正周期，是基础题. 5．若12log 11aa <-，则a 的取值范围是 ． 【答案】()4+，∞ 【解析】试题分析：由题中隐含条件可得：1201a >-，可得1a >，则由12log log 1a a a a <-，根据对数函数的单调性可得121a a <-，可解得4a >.【考点】1.对数函数的性质;2.解不等式6．已知奇函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，当[]0,2x ∈时，()2f x x =，则()9f -= ．【答案】2-【解析】试题分析：由题设可得)2()2()2(+-=--=+-x f x f x f ,即)2()2(--=+x f x f ,由此可得设)()4(x f x f -=+,所以)()8(x f x f =+,即函数是周期为8的周期函数,故(9)(9)(1)f f f -=-=-212=-⨯=-.【考点】函数的图象、周期性和对称性.7．设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差为,d 若{}n a 和都是等差数列，则当11a =，d =________________.【答案】2【解析】根据已知用1a 和d 表示出1a ，2a ，3a ，可得1S ，2S ，3S ，由是等差数列可得关于d 的方程，解方程即得. 【详解】由题意知11a =，21a d =+，312a d =+，所以有11S =，22S d =+，333S d =+.又=2d =.故答案为：2 【点睛】本题考查利用等差数列的性质求公差，属于基础题.8．锐角三角形ABC 中，已知2221sin A sin B sinAsinBcosC +-=，那么角C =________________.【答案】2π 【解析】利用正弦定理化简已知等式，再由余弦定理可得c 边和三角形外接圆半径R 的关系，再去解C ∠即得. 【详解】由正弦定理sin 2a A R =，sin 2b B R=，且2221sin A sin B sinAsinBcosC +-=，可得2222221444a b ab cosC R R R +-=，即2222cos 4a b ab C R +-=，根据余弦定理有2222cos a b ab C c +-=，故2c R =，再由正弦定理得sin 12cC R ==，故2C π∠=. 故答案为：2π【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属于中档题.9．已知函数()3221f x x ax a x =+-+在[]1,1-上单调递减，则a 的取值范围是__________．【答案】(][),33,-∞-+∞U【解析】求出函数()f x 的导函数，由函数()f x 在[]1,1-上单调递减，等价于()0f x '≤在[]1,1-上恒成立，根据二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】∵()3221f x x ax a x =+-+，∴()2232f x x ax a =+-'．又函数()f x 在[]1,1-上单调递减，∴()22320f x x ax a =-'+≤在[]1,1-上恒成立，∴()()221320{1320f a a f a a -=--≤=+-'≤'，即22230{230a a a a +-≥--≥， 解得3a ≤-或3a ≥．∴实数a 的取值范围是(][),33,-∞-⋃+∞． 故答案为 (][),33,-∞-⋃+∞. 【点睛】本题主要利用导数研究函数的单调性及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围，10．已知非零向量,a b v v 的夹角为3π，c a kb =-v vv ，则a cvv 的最大值为________________.【答案】1【解析】根据已知先求22a cv v ，设a x =v ，b y =v，则()()22222222212cos 13a x x y y c x kx a kb a y k y k kb k x x π-===⎛⎫-+-+ ⎪-⎭⋅⎝v v v v v v ，当0k =时，显然1a c =vv ，当0k ≠时，将221y y k k x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭看成关于y k x 的二次函数，利用换元法求出该函数的最小值，可得22acv v 的最大值，即得.【详解】设a x =v ，b y =v ，可得()()222222222222212cos 13a x x x x kxy k y y y c x k a kb a kb xy k y k k x x π====-+⎛⎫-+-⎝-+⎪⋅- ⎭v v v v v v .（1）当0k =时，则1a c=v v ；（2）当0k ≠时，又,a b v v 是非零向量，则0,0x y >>故设y k q x =于是有2222111113124q q y y k k q x x ==-+⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12q =时，22a c v v 有最大值43，即a c v v 最大值为23.综上，a c v v 的最大值为1或23. 故答案为：1或23【点睛】本题考查向量数量积以及利用二次函数求最大值，注意0k =的情况容易被忽略. 11．如图，ABC V 中，CO 为边AB 上的中线，2CG GO =u u u v u u u v .若//BD AG u u u v u u u v，且(27)AD AB AC R λλ=+∈u u u v u u u v u u u v，则λ的值为________________.【答案】97【解析】根据已知，可由向量,AB AC u u u v u u u v分别表示出,BD AG u u u v u u u v，再由//BD AG u u u v u u u v可得含有λ的等式，又,AB AC u u u v u u u v不共线，可得方程组，计算即得。

【详解】由题得，2211133233AG AC CG AC CO AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，而//BD AG u u u v u u u v ，则有常数k ，使得BD k AG =u u u v u u u v，而()217BD AD AB AB AC λ=-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，故()2111733AB AC k AB AC λ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u uv u u u v 即21337k k AB AC λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v ，又,AB AC u u u v u u u v 不共线，可得1032037k k λ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：9767k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故97λ=. 故答案为：97【点睛】本题考查向量几何运算和向量共线，属于中档题。

12．设函数()21,212x x f x =-+数列{}n a 是公差为2的等差数列，且满足()()()122019 ...0,f a f a f a +++=则10091011a a =________________.【答案】4-【解析】已知()f x 是单调递增函数，那么()f x C +也是单调递增函数，构造函数()()()()()210092()221009g x f x f x f x f x f x =-⨯++-++++++⨯L L ，()g x 也是单调递增函数，由{}n a 是公差为2的等差数列，可计算得()10100g a =，那么1010a 是函数()0g x =的唯一零点，再由()()0f x f x +-=，可得1010a 的值，又10101001009011112,2a a a a -=+=，即得.【详解】由题得，()2111212221x x xf x =-=-++是单调递增函数，则复合函数()f x C +（其中为任意常数）也单调递增.设()()()()()210092()221009g x f x f x f x f x f x =-⨯++-++++++⨯L L ，则()g x 为单调递增函数.又{}n a 是公差为2的等差数列，则()()()()()101010101010101010101010210092()221009g a f a f a f a f a f a =-⨯++-++++++⨯L L ，整理得()()()()1010122019...0g a f a f a f a =+++=，那么1010a 是函数()0g x =的唯一零点.而()()()()()210092100922()g x f x f x f x f x f x =-⨯++⨯++-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L ， 又()()212121102122122121x x x x x x x f x f x --=+--+-=-+=++++，则()()()()()0210092100922(0)0g f f f f f =-⨯+⨯++-++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L 由1010a 是()0g x =的唯一零点，可知10100a =，可得()1009101122 4.a a =-⨯=- 故答案为：4- 【点睛】本题是一道考查函数和数列的综合题，有一定难度. 13．设G 为ABC ∆的重心，若,BG CG BC ⊥=+AB AC 的最大值为______.【答案】【解析】【详解】设BC 的中点为D ，因为BG CG ⊥，故BCG ∆是直角三角形，所以122GD BC ==. 又因为G 为ABC ∆的重心，所以32AD GD ==. 由三角形的中线长公式可得()22221224AD AB AC BC =+-，所以22222211221022AB AC AD BC +=+=⋅+⋅=⎝⎭.所以AB AC +≤=AB AC =时等号成立.故AB AC +的最大值为14．数列{}n a 满足113a =，且对于任意的*21,,n n n n N a a a +∈=+则2019111n na =+∑的整数部分是________________. 【答案】2【解析】根据21n n n a a a +=+可将11n a +化为111n n a a +-，再由裂项相消法对2019111n na =+∑进行化简，结合数列{}n a 的单调性，可得.【详解】()()211211111111n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++--====-+++⎡⎤⎣⎦，故2019201911112020202011111131n n n nn a a a a a a ==+⎛⎫=-=-=- ⎪+⎝⎭∑∑，210n n n a a a +-=>Q ，{}n a ∴单调递增，又113a =，21n n n a a a +=+则2222222271123456111166133a a a a a a a a a a ⎛⎫=++++++>+=+= ⎪⎝⎭，那么202071a a >>，20201233a ∴<-<，从而2019111n n a =+∑的整数部分是2. 故答案为：2 【点睛】本题考查数列的递推公式以及裂项相消法，有一定难度.二、解答题15．在ABC V 中，设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .且满足cos 3sinA sinC C sinB =+ （1）求角B 的大小；（2）若,,a b a c +成等比数列，求sin sin AC的值. 【答案】（1）3π（2）12【解析】（1）根据()sin sin B C A +=对cos 3sinA sinC C sinB =+进行化简整理，即得；（2）由已知可得()2b a ac =+，再由余弦定理可得关于,a c 的等式，计算即得. 【详解】（1）由题得，()sin sin sin cos 3B C A B sinC C ⎛⎫+==+ ⎪ ⎪⎝⎭，整理得sin cos cos sin sin cos sin 3B C B C C B C B +=+，则有cos sin sin B C C B =，cos B B ∴=，即tan B =3B π=.（2）若,,a b a c +成等比数列，则有()2b a ac =+，又222b a c ac =+-，故()22a a c a c ac +=+-，化简得22c ac =，则sin 1.sin 2A a C c == 【点睛】本题考查余弦定理和等比中项，是常考题型.16．在平面直角坐标系xOy 中，点(),0,2A cos sin A πθθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭点关于原点O 对称的点为,B 二次函数2y x ax b =++的图像经过点A 和点,B 回答以下问题： （1）用θ表示,a b 和2y x ax b =++的图像的顶点的纵坐标；（2）证明：若二次函数2y x ax b =++的图像上的点(),P x y 满足x cos θ>，则向量OP uuu v 与OA u u u v的数量积大于1.（3）当变θ化时，求()1中二次函数顶点纵坐标y 的最大值，并求出此时θ的值.【答案】（1）22tan cos 4θθ--（2）见详解（3）34-，4π【解析】（1）根据A 点坐标得出B 点坐标，将A,B 坐标代入2y x ax b =++，解得,a b代入2y x ax b =++，配方即得；（2）用坐标表示出OP OA ⋅u u u v u u u v ，根据cos (0)2x πθθ><<和函数单调性，即得；（3）由cos 0θ>和基本不等式可得。