由方程组

x
2
4

y2 3
1，
消去
y
，整理得 (4k 2
3)x 2
16k 2 x
16k 2
12
0，
( ) 解得 x 2 或 x 8k 2 6 ，所以 B 点坐标为 8k2 6，12k ． …………………9 分
4k 2 3
4k2 3 4k2 3
【解】（1）在△ABC 中，因为 a 3，b 2 6 ，B 2A ，
故由正弦定理得
3 sin A

2 sin
6 2A
，于是
2sin Acos sin A
A

26 3
．
所以 cos A 6 ．………………………………………………………………………6 分 3
（2）由（1）知 cos A 6 ，所以 sin A 1 cos2 A 3 ．
8
且 x1 x3 x2 x4 ，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．
6
【答案】 (， 2)
4
【方法
1】函数
f
(x)
有两个零点即方程
a

x

2 x
1有
2
a
25
20
15
10
两个根 x1 ，x2 ，同理方程 a ln x 2x 有两个根 x3 ，x4 ，
5
C1 2
A
5
10
即直线
y

2(x0
1)
y02 x0 2

2(x0
1)(x0 2) x0 2
y02
0，
所以 y02 2(x0 1)(x0 2) ②，………………………………………………………11 分
由①②可得11x02 24x0 4 0 ，即 (11x0 2)(x0 2) 0 ，
的值为
▲
．
【答案】 5π 6
7． 已知{an}为等差数列，其公差为－2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，Sn 为{an}的前 n 项和，则 S10 的值 为▲．
【答案】110 8． 设双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线 y＝x2＋1 相切，则该双曲线的离心率等于 ▲ ．
E
（2）求证：平面 VAC⊥平面 BDE. 【证明】（1）连结 OE. 因为底面 ABCD 是菱形，所以 O 为 AC 的中点，
D
C
O
A
B
（第 16 题）
又因为 E 是棱 VC 的中点，所以VA ∥OE. 又因为 OE 平面 BDE，VA 平面 BDE， 所以VA ∥平面 BDE. ……………………………………………………………………7 分 （2）因为VO ⊥平面 ABCD， 又 BD 平面 ABCD，所以VO ⊥BD， 因为底面 ABCD 是菱形，所以 BD⊥AC， 又VO ∩AC=O，VO ，AC 平面 VAC， 所以 BD⊥平面 VAC. 又因为 BD 平面 BDE，所以平面 VAC⊥平面 BDE. ………………………………14 分
10
3
18．（本题满分 16 分）
如图，半圆 AOB 是某个旅游景点的平面示意图，为了保护景点和方便游客观赏，管理部门规划从
公路 l 上某点 C 起修建游览线路 C-D-E-F，CD、DE、EF 分别与半圆相切，且四边形 CDEF 是等腰
梯形.已知半圆半径 OA＝1 百米，每修建 1 百米游览道路需要费用为 20 万元，设 EF 与圆的切点为

F2 B

8k 2 18 4k 2 3

12k 2 4k 2
3

20k 2 4k 2
18 3

0
．
解得 k 2 9 ．…………………………………………………………………………12 分 10
又因为点 B 在 x 轴上方，所以 k 0 ，
所以 k 3 10 ，所以直线 l 的斜率为 2 10 ．……………………………………14 分
（2）解法一：由（1）可得 F1(1，0) ，F2 (1，0) ，设 B(x0 , y0 ) （ 2 x0 2，y0 0 ），
则 3x02 4y02 12 ①， …………………………………………………………… 7 分
直线 AB 的方程为: y y0 (x 2) ， x0 2
3
3
又因为 B=2A，所以 cos B cos 2A 2 cos2 A 1 1 ， 3
从而 sin B 1 cos2 B 2 2 ． 3
在△ABC 中，因为 A B C π ，
所以 sin C sin(A B) sin Acos B cos Asin B 5 3 ． 9
x2 x 1 1 x2
，x∈(0，1)，
( ) 80 x2 4x 1
因为 f ′(x)＝
，x∈(0，1)，令 f ′(x)＝0，解得 x＝ 2 3 .……………11 分
【答案】 1 2
5． 如图所示的算法中，输出的结果是 ▲ ．
【答案】3
开始
S ←12， x ←1
x6 Y
S ←S x
N 输出 S
x←x2
结束
( 第5题 )
C1 M
A1
B1
C
A
B
( 第9题 )
6．
若函数
f (x) cos(2x ) （ 0 ຫໍສະໝຸດ π）的图象关于直线
x

π 12
对称，则
【方法 2】对于函数 f (x) x2 (a 1)x 2 ，由 x1 x2 2 ，
知两个零点
x1
，x2
异号，而函数
g
(
x)

ln
x

2x
10

a
的两个零点 x3 ，x4 均为正，要使 x1 x3 x2 x4 ，
6
8
（图 1） 10 4
12
142
f(x) = x2 (a + 1)∙x 216
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答．解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤．
15．（本题满分 14 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 a 3，b 2 6 ，B 2A ． （1）求 cosA 的值； （2）求 c 的值．
由 MF2 与 x 轴垂直，知点 M 的横坐标为 1，
( ) 所以 M 点坐标为 1， y0 ．…………………………………………………………9 分 x0 2
( ) 所以 F1M
2 ， y0 x0 2
， F2B (x0 1，y0 ) ，
若 MF1

BF2 ，则 F1M
F2B

5 a x1
18 x3 x2
x4
5
g(x) = ln(x) 2∙x a
2
只需 g(x2 ) ln x2 2x2 a 0 ①，
4
（图 2）
6
又
f
(x2 )

x22
(a
1)x2
2

0
，所以 a

x2

2 x2
1②，将其代入①式，得 ln x2
3x2

2 x2
1
0
，
解得 0 x2 1，再由②式求得 a (， 2) ．（如图 2）
【答案】 5
9． 如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，M 为 A1C1 的中点，已知四棱锥 B1-ACMA1 的体积为 3，则三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 ▲ ． 【答案】6
10. 若函数 f (x) 为定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时， f (x) 2x 4 ，则不等式 xf (x 1) 0 的解集
设 DE 与半圆相切于点 Q， 则由四边形 CDEF 是等腰梯形知，
D
Q
E
OQ⊥l，且 DQ＝QE＝EP，∠QOE＝∠POE，
P
Rt△POE 中，∠POE＝12∠POQ＝12(2π－∠POF) l
CA
O
BF
＝12(2π－θ)＝π4－θ2，
所以 PE＝OP·tan(π4－θ2)＝tan(π4－θ2)， …………………………………………………5 分
【答案】 3
13．在△ABC
中，已知
AB

AC

2BC

BA
，且
BC

1 3
，则△ABC
面积的最大值为
▲
．
【答案】 1 12
10
14．已知函数 f (x) x2 (a 1)x 2 有两个零点 x1 ，x2 ，函数 g(x) ln x 2x a 有两个零点 x3 ，x4 ，
垂直，求直线 l 的斜率．
y B
M
【解】（1）因为椭圆经过点 A(2，0) 和点 (1，3e) ，
a 2，
所以

1 4

9c2 4b2
1，
…………………………………………… 2
分
b2 c2 a2，
F1 O
F2 A x
（第 17 题）
解得 a 2，b 3，c 1， 所以椭圆的方程为 x 2 y 2 1 ． ………………… 6 分 43
所以 x0

2 11
或 x0

2
(舍)，
y0

6 10 11
．