压轴题1、已知,在平行四边形O ＡＢC 中,O Ａ=５，AB ＝4，∠OCA=90°,动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Ｑ从A 点出发沿射线ＡB 方向以每秒1个单位的速度移动.设移动的时间为ｔ秒. (１）求直线AC 的解析式;(2)试求出当t 为何值时,△O ＡC 与△PAQ 相似; （3)若⊙P 的半径为58，⊙Q 的半径为23；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、B Ｃ的位置关系,并求出Q 点坐标。

解:(１）42033y x =-+ （２)①当0≤ｔ≤2．5时,Ｐ在O Ａ上，若∠OAQ ＝9０°时， 故此时△OA Ｃ与△PAQ 不可能相似.当ｔ>2．5时,①若∠APQ=90°，则△A ＰQ ∽△ＯCA ，∵t>2．5,∴符合条件.②若∠A ＱP=９0°，则△APQ ∽△∠OA Ｃ，∵t>2.5，∴符合条件.综上可知,当时，△O ＡC 与△APQ 相似．（３)⊙Q 与直线ＡＣ、B Ｃ均相切，Q 点坐标为（109,531）。

２、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为ｘ轴,ＯC 所在的直线为ｙ轴，建立平面直角坐标系.已知OA ＝3,ＯC =2，点E 是AB 的中点，在ＯA 上取一点D ，将△BD Ａ沿ＢD 翻折,使点A 落在BC 边上的点F 处． (1)直接写出点E 、F 的坐标；(2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式;(3)在x 轴、ｙ轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形ＭNF Ｅ的周长最小？如果存在，求出周长的最小值;如果不存在，请说明理由.解：（1)(31)E ，;(12)F ，.(２）在Rt EBF △中,90B ∠=,2222125EF EB BF ∴=+=+=.设点P 的坐标为(0)n ，,其中0n >，顶点(12)F ，， ∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠.①如图①，当EF PF =时，22EF PF =,221(2)5n ∴+-=.解得10n =（舍去）;24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+.解得2a =. ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+（第2题）②如图②，当EP FP =时，22EP FP =，22(2)1(1)9n n ∴-+=-+. 解得52n =-（舍去）.③当EF EP =时,53EP =<,这种情况不存在． 综上所述,符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+． (3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小. 如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于y 轴的对称点F ',连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于点M N ，,则点M N ，就是所求点.(31)E '∴-，,(12)F NF NF ME ME '''-==，，，.43BF BE ''∴==，.FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345=+=.又5EF =,∴55FN NM ME EF +++=+，此时四边形MNFE 的周长最小值是553、如图,在边长为2的等边△ABC中,ＡＤ⊥BC,点P为边AB 上一个动点，过Ｐ点作PF//A Ｃ交线段BD于点Ｆ,作PG⊥ＡＢ交AD于点E，交线段ＣD于点G,设ＢP=ｘ.（1）①试判断BG与2BP的大小关系,并说明理由;②用x的代数式表示线段DＧ的长，并写出自变量ｘ的取值范围;(2）记△DEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出Ｓ的最大值;(３)以P、E、F为顶点的三角形与△EDＧ是否可能相似?如果能相似,请求出ＢP的长,如果不能，请说明理由。

解：（1)①在等边三角形AＢC中,∠B＝６0°，∵ＰＧ⊥ＡＢ,∴∠BGP=３0°，∴BG＝2BP．②∵ＰＦ／／AC，∴△PBＦ为等边三角形，∴ＢF=PＦ＝PB=x.又∵BＧ＝2x,ＢD＝１,∴DＧ＝2x－１，∴0<2x-１≤１，∴11 2x.（2)S＝12DE×DＦ=)()12112x x--＝2326x x-+-当34x=时，48maxS=.（3)①如图1，若∠ＰＦＥ＝Ｒt∠，则两三角形相似, 此时可得ＤF＝ＤＧ即121x x解得：23 x．CB第3题CB②如图2,若∠P ＥF=Ｒｔ∠,则两三角形相似, 此时可得DF=12E Ｆ=14B Ｐ， 即114xx ．解得:45x．4、如图,二次函数c bx x y ++-=241的图像经过点()()4,4,0,4--B A , 且与y 轴交于点C ．（1)试求此二次函数的解析式;（２)试证明：CAO BAO ∠=∠(其中O 是原点)；（3)若P 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合)，过P 作y 轴的平行线，分别交此二次函数图像及x 轴于Q 、H 两点，试问:是否存在这样的点P ，使QH PH 2=？若存在，请求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由。

解:(1)∵点()0,4A 与()4,4--B 在二次函数图像上,∴⎩⎨⎧+--=-++-=c b c b 444440,解得⎪⎩⎪⎨⎧==221c b ,∴二次函数解析式为221412++-=x x y . （2)过B 作x BD ⊥轴于点D ,由(１)得()2,0C ,则在AOC Rt ∆中，2142tan ===∠AO CO CAO ,又在ABD Rt ∆中，2184tan ===∠AD BD BAD ， ∵BAD CAO ∠=∠tan tan ,∴BAO CAO ∠=∠.(3)由()0,4A 与()4,4--B ,可得直线AB 的解析式为221-=x y ，设()44,221,x x x P -⎪⎭⎫ ⎝⎛-，则⎪⎭⎫ ⎝⎛++-22141,2x x x Q , ∴22141,2122212++-=-=-=x x QH x x PH .∴2214122122++-=-x x x ． 当4212122++-=-x x x ，解得 4,121=-=x x (舍去),∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--25,1P .当4212122--=-x x x ，解得 4,321=-=x x (舍去）,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--27,3P .综上所述，存在满足条件的点，它们是⎪⎭⎫ ⎝⎛--25,1与⎪⎭⎫ ⎝⎛--27,3．图1C Q → B5、如图1,在Rt △ABC 中，∠C ＝9０°,ＢC ＝8厘米,点D 在AC 上,CD ＝3厘米.点P 、Q 分别由A 、Ｃ两点同时出发,点Ｐ沿A Ｃ方向向点C 匀速移动,速度为每秒k 厘米，行完AC 全程用时8秒；点Q 沿CB 方向向点Ｂ匀速移动，速度为每秒１厘米．设运动的时间为x秒()80＜x＜,△ＤCQ 的面积为ｙ１平方厘米，△ＰC Ｑ的面积为y 2平方厘米. (1)求ｙ１与x 的函数关系,并在图2中画出ｙ1的图象；(2）如图2,y 2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是(4,１2)，求点P 的速度及AC 的长； （3)在图2中，点Ｇ是x 轴正半轴上一点(０＜O Ｇ<6=,过G 作EF 垂直于x 轴,分别交ｙ1、y 2于点E 、F ．①说出线段EF 的长在图1中所表示的实际意义; ②当0<x ＜６时，求线段ＥF 长的最大值.解：(1）∵CD CQ S DCQ ⋅⋅=∆21，CD ＝3,ＣQ=x ，∴x y 231=．图象如图所示.(2）方法一:CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21,ＣＰ＝8ｋ－xk ，CQ ＝ｘ, ∴()kx kx x kx k y 42182122+-=⋅-⨯=.∵抛物线顶点坐标是(4，１2），∴12444212=⋅+⋅-k k ．解得23=k ．则点Ｐ的速度每秒23厘米，AC =1２厘米.方法二:观察图象知，当x=４时，△ＰC Ｑ面积为１2. 此时PC ＝A Ｃ－AP=8k-4ｋ＝4k,ＣQ ＝４．∴由CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，得12244=⨯k . 解得23=k .则点P 的速度每秒23厘米，ＡC =12厘米． 方法三:设y 2的图象所在抛物线的解析式是c bx ax y ++=2．C ∵图象过(0,0），(４,12），（8，0），∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.0864124160c b a c b a c ，， 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=.0643c b a ，，∴x x y 64322+-=． ①∵CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21,CP ＝8k-xk,CQ ＝x ，∴kx kx y 42122+-=. ②比较①②得23=k .则点P 的速度每秒23厘米,AC ＝１2厘米.（3)①观察图象，知线段的长EF ＝y 2-y 1，表示△PCQ 与△DCQ 的面积差(或△PDQ 面积）.②由⑵得 x x y 64322+-=．(方法二,x x x x y 643232382122+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=）∵ＥF=y 2-y 1,∴E Ｆ=x x x x x 29432364322+-=-+-， ∵二次项系数小于0，∴在60＜x＜范围,当3=x 时,427=EF 最大. 6、如图,在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ,D 、E 分别是边AB 、AC上的两个动点（D 不与A 、B 重合)，且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG .（1）试求ABC ∆的面积；（２)当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长； （３)设x AD =,ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;（４）当BDG ∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长。

解：(1）过A 作BC AH ⊥于H ,∵6,5===BC AC AB ,∴321==BC BH .则在ABHRt∆中，422=-=BHABAH,∴1221=•=∆BCAHSABC．(2）令此时正方形的边长为a,则446aa-=,解得512=a．(３)当20≤x时，22253656xxy=⎪⎭⎫⎝⎛=.当52x时，()2252452455456xxxxy-=-⋅=．(4)720,1125,73125=AD．７、如图已知点A (-2,4) 和点B (1，０)都在抛物线22y mx mx n=++上．(１）求m、n;（2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点Ｂ的对应点为Ｂ′,若四边形A A′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式;(3)记平移后抛物线的对称轴与直线ＡB′的交点为点C,试在x轴上找点D,使得以点B′、C、D为顶点的三角形与ABC△相似．解：（1）根据题意,得：⎩⎨⎧=++=+-2444nmmnmm解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=434nm（2)四边形ＡA′B′B为菱形,则A A′=B′B＝AＢ=５∵438342+--=xxy=()3164342+--x∴向右平移５个单位的抛物线解析式为()3164342,+--=xyBAO 11－1－1xyA′B′（3)设D （x ,0）根据题意，得：ＡＢ=5，5',10,53===C B BC AC∵∠A =∠B B ′Aⅰ) △ABC ∽△B ′C Ｄ时，∠A ＢＣ=∠B ′CD ，∴B Ｄ=6－x,由 得x -=65355 解得x =3， ∴Ｄ（３,０) ⅱ）△ABC ∽△B ′ＤC 时，CB ACD B AB ''= ∴55365=-x 解得313=x ∴0,313(D8、如 图,已知直角梯形AB ＣD 中,ＡD ∥BC,A B ⊥ＢＣ ，ＡD=2,AB ＝8,C Ｄ=１０．(1)求梯形AB ＣＤ的面积S ；(2)动点P 从点Ｂ出发，以1c ｍ/s 的速度、沿B→Ａ→Ｄ→C 方向，向点C 运动;动点Ｑ从点Ｃ出发，以1ｃｍ／s 的速度、沿C→Ｄ→A 方向，向点A 运动,过点Q 作QE ⊥BC 于点Ｅ.若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为ｔ秒．问：①当点P 在B→A 上运动时,是否存在这样的t,使得直线P Ｑ将梯形A ＢC Ｄ的周长平分?若存在，请求出t 的值，并判断此时ＰQ 是否平分梯形ＡBCD的面积;若不存在,请说明理由；②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P 、D 、Ｑ为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在,请说明理由.解D B ACC B AB ''=E C B CB EC B （备用图）1D DH BC H ABHD DH AB 8BH AD 2⊥∴====（）过作于点显然四边形是矩形； 在Ｒt △DCH中，6=ABCD 11S AD BC AB 28822∴=+=+⨯（）（）40=（２)①周长平分。