类比探究类问题解析版1、如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连结EM并延长交线段CD的延长线于点F．(1) 如图1，求证：AE=DF；(2) 如图2，若AB=2，过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由；2，过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．(3) 如图3，若AB=3① 直接写出线段AE长度的取值范围；② 判断△GEF的形状，并说明理由．【答案】解：（1）在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM＝900，∠AME=∠FMD。
∵AM=DM，∴△AEM≌△DFM（ASA）。
∴AE=DF。
（2）△GEF是等腰直角三角形。
理由如下：过点G作GH⊥AD于H，∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形。
∴GH=AB=2。
∵MG⊥EF，∴∠GME=90°。
∴∠AME＋∠GMH=90°。
∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。
又∵AD=4，M是AD的中点，∴AM=2。
∴AN=HG。
∴△AEM≌△HMG（AAS）。
∴ME=MG。
∴∠EGM=45°。
由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF。
又∵MG⊥EF，∴GE=GF。
∴∠EGF=2∠EGM =90°。
∴△GEF是等腰直角三角形。
（3）①233＜AE≤23。
②△GEF是等边三角形。
理由如下：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形。
∴GH=AB=23。
∵MG⊥EF，∴∠GME=90°。
∴∠AME＋∠GMH=90°。
∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。
又∵∠A=∠GHM=90°，∴△AEM∽△HMG。
∴MG GH EM AM=。
在Rt△GME中，∴tan∠MEG=MG GH233EM AM2===。
∴∠MEG=600。
由（1）得△AEM≌△DFM．∴ME=MF。
又∵MG⊥EF，∴GE=GF。
∴△GEF是等边三角形。
2、（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF（SAS）。
∴CE＝CF。
（2）证明：如图，延长AD至F，使DF=BE．连接CF。
由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE ＝∠DCF 。
∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠ECF ＝∠BCD ＝90°。
又∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°。
∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG （SAS ）。
∴GE ＝GF ，∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD 。
（3）如图，过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ．在直角梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠B ＝90°。
又∠CGA ＝90°，AB ＝BC ，∴四边形ABCD 为正方形。
∴AG ＝BC 。
已知∠DCE ＝45°，根据（1）（2）可知，ED ＝BE ＋DG 。
∴10=4+DG，即DG=6。
设AB ＝x ，则AE ＝x －4，AD ＝x －6，在R t△AED 中，∵DE 2=AD 2＋AE 2，即102=（x －6）2＋（x －4）2。
解这个方程，得：x=12或x=－2（舍去）。
∴AB=12。
∴ABCD 11S AD BC AB 6121210822=+⋅=⋅+⋅=梯形（）（）。
∴梯形ABCD 的面积为108。
3、在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点P 在线段BC 上（不含点B ），∠BPE＝12∠ACB，PE 交BO 于点E ，过点B 作BF⊥PE，垂足为F ，交AC 于点G ．（1） 当点P 与点C 重合时（如图①）．求证：△BOG≌△PO E ；（4分）（2）通过观察、测量、猜想：BF PE= ▲ ，并结合图②证明你的猜想；（5分） （3）把正方形ABCD 改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，求BF PE的值．（用含α的式子表示）（5分）【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB=OP ，∠BOC=∠BOG=90°。
∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO。
∴∠GBO=∠EPO 。
∴△BOG≌△POE（AAS）。
（2）BF1PE2=。
证明如下：如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB。
∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB。
∴NB=NP。
∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE。
∴△BMN≌△PEN（ASA）。
∴BM=PE。
∵∠BPE=12∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF。
∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900。
又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）。
∴BF=MF ，即BF=12 BM。
∴BF=12PE，即BF1PE2=。
（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900。
由（2）同理可得BF=12BM，∠MBN=∠EPN。
∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN∽△PEN。
∴BM BN PE PN=。
在Rt△BNP中，BNtan=PNα，∴BM=tanPEα，即2BF=tanPEα。
∴BF1=tanPE2α。
4、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A.（1）∠BEF=_____(用含α的代数式表示)；（2）当AB＝AD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图2），求EBEF的值（用含m、n的代数式表示）。
【答案】解：（1）180°－2α。
（2）EB=EF。
证明如下：连接BD交EF于点O，连接BF。
∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠ABC=180°－2α，∠ADC=180°－∠C=180°-α。
∵AB=AD，∴∠ADB=12（180°－∠A）=α。
∴∠BDC=∠ADC－∠ADB=180°－2α。
由（1）得：∠BEF=180°－2α=∠BDC。
又∵∠EOB=∠DOF，∴△EOB∽△DOF。
∴OE OB=OD OF，即OE OD=OB OF。
∵∠EOD=∠B OF，∴△EOD∽△BOF。
∴∠EFB=∠EDO=α。
∴∠EBF=180°－∠BEF－∠EFB=α=∠EFB。
∴EB=EF。
（3）延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，则∠G=∠AEG=()1801802180A==22αα︒-︒-︒-∠。
∵AD∥BC，∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC。
∴∠EDF=∠G。
∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠GBC。
∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，即∠EBG=∠FED。
∴△DEF∽△GBE。
∴EB BG=EF DE。
∵AB=mDE，AD=nDE，∴AG=AE=（n+1）DE。
∴BG=AG－AB=（n+1）DE－mDE=（n+1－m）DE。
∴EB n1m DE==n1m EF DE+-+-（）。
5、探索发现：已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N。
（1）如图①，如果AD=BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线；（2）如图②，如果AD≠BC，那么线段AM与BM是否相等？请说明理由。
学以致用：仅用直尺（没有刻度），试作出图③中的矩形ABCD的一条对称轴。
（写出作图步骤，保留作图痕迹）【答案】解：（1）证明：∵AD=BC，CD∥AB，∴AC=BD，∠DAB=∠CBA。
∴AE=BE。
∴点E在线段AB的垂直平分线上。
在△ABD和△BAC中，∵AB=BA，AD=BC，AC=BD，∴△ABD≌△BAC（SSS）。
∴∠DBA=∠CAB。
∴OA=OB。
∴点O在线段AB的垂直平分线上。
∴直线EM是线段AB的垂直平分线。
（2）相等。
理由如下：∵CD∥AB，∴△EDN∽△EAM，△ENC∽△EMB，△EDC∽△EAB。
∴DN DE CN CE DE CEAM AE BM BE AE BE===，，。
∴DN CNAM BM=。
∴BM CNAM DN=。
∵CD∥AB，∴△OND∽△OMB，△ONC∽△OMA，△OCD∽△OAB。
∴DN OD CN OC OD OCBM OB AM OA OB OA===，，。
∴DN CNBM AM=。
∴AM CNBM DN=。
∴BM AMAM BM=。
∴AM2=BM2。
∴AM=BM。
（3）作图如下：作法：① 连接AC，BD，两线相交于点O1；② 在梯形ABCD外DC上方任取一点E，连接EA，EB，分别交DC 于点G，H；③ 连接BG，AH，两线相交于点O2；④ 作直线EO2，交AB于点M；⑤ 作直线MO1。
则直线MO1。
就是矩形ABCD的一条对称轴。