iT
j
0, i = 1,i
=
j j
则称1
2
......
为标准或单位正交向量组（规范正交基）
n
施密特标准正交化（又称正交规范化）过程
线性无关向量组12......n 的标准正交化公式l
1 = 1
2
=
2
−
(2 , (1,
1 ) 1 )
1
(2 , (1,
1 ) 1 )
1
=
2 1
1 cos 1 1
1
=
2 cos 1
除：逆，A可逆 ⎯充要⎯→ A 0
2、 k 0, (kA)* = k n−1A*
AA−1 = E
3、 ( A* )* = A n−2 A
性质：
( ) 1、
A−1
−1
=
A
4、 ( A* )T = ( AT )* ( A−1)* = ( A* )−1
2、 (kA)−1 = 1 A−1，k 0 k
3、 A−1 = 1 | A|
= n
伴随的雉关系：r(
A*)
=
=
1
= 0
当r(A) = n 当r( A) = n −1 当r( A) n −1
5
第三章 向量组（长方形、正方形）
本章解决问题
1、一个向量组里面有没有多余的人？⎯⎯→ 相关无关 2、有多余的人，怎么表示？⎯⎯→ 线性表示 3、表示完以后，撵走！⎯⎯→ 极大线性无关组 4、等价的向量组
若1、
2、
3、
相关
n
⎯仍⎯然⎯相关⎯→
减少维度仍然相关 增加成员仍然相关
部分相关，则整体相关
整体无关，则部分无关
原来相关，缩短必相关
原来无关，延长必无关
1、取自原向量组
一个向量组中的极大线性无关组满足： 2、线性无关
数量等于秩r的大小
3、可表示该组所有向量
一些概念：
等价向量组
两个向量组的维度相同，个数不限制 可相互表示对方的任一元素
第一章 行列式（正方形） .............................................................................................................2
第二章 矩 阵（长方形、正方形） ...............................................................................................3
a 为坐标 n
其中1.2.3.....n是基，n是维数
基变换、坐标变换
定理一
同一个R n
中，1.2
.3
.....
n和1.2
.3.....
为两个基，且有关系
n
C11 C12 ... C1n
1.
2
.3
.....n
=
1.
2
.3
.....
n
C21
C22
...
C2n
=
1.2
.3.....n
C
(*)
Cn1
1
3
=
3
−
( 3 , (2,
2 ) 2 )
2
−
( 3 , (1,
1 ) 1)
1
7
第五章 齐次方程组和非齐次方程组（长方形、正方形）
雉的关系： 若A可逆，则r( AB) = r(BA) = r(B) 若列满秩，r( Amn ) = n，则左乘 ⎯⎯→ r( AB) = r(B) 若行满秩，r( Amn ) = m，则右乘 ⎯⎯→ r(BA) = r(B)
三种特殊情况 1、AA−1 = A−1A = E 2、AA* = A* A = A E 3、kEA = EkA
A11
注意行列互换：A*
A12
A21 ... An1
A22
...
An
2
A1n A2n ... Ann
总公式：AA* = A E 对于n 阶方矩阵
1、 A* = A n−1 A* = A A−1
1
第一章 行列式（正方形）
行列式求值 一、恒等变形，利用特殊行列式 二、展开公式 三、抽象行列式: AB = A B 乘积的行列式= 行列式的乘积 四、逆序数法定义 不同行不同列的元素，乘以-1的逆序数次方
特殊行列式：
1、主对角线三角形
=a11a22a33......ann 2、副对角线三角形
1 n(n−1)
向量组的线性相关与线性无关：
线性相关：存在非零解
线性无关：只有零解
判别方法：
1、定义法：对于只有一个向量 的组， = 0 → 线性相关， 0，无关
2、行列式判别法：行列式= 0，相关；行列式 0，无关
3、个数>维数，必相关
4、个数<维数，不确定
补充判别：
若1、
2、
3、
无关
n
⎯仍⎯然⎯无关⎯→
增加维度仍然无关 减少成员仍然无关
克拉默法则：
行列式 0 ⎯⎯→有唯一解
行列式=0
⎯⎯→
无解 无穷多解
齐次方程组：AX=0 ⎯解⎯方⎯程组⎯→ k
一、解的判定(n是自由度即未知数的个数)
当r( A) = n 时 AX=0只有0解
第五章 齐次方程组和非齐次方程组（长方形、正方形） ..............................................................8
第六章 关于秩的等式和不等式的总结 r(A) ...............................................................................9
⎯⎯→ = 1.2.3.....n X = 1.2.3.....n Y = 1.2.3.....n CY
X=CY 或 Y=C−1X
向量的内积和正交
内积：两个向量的内积就是点乘，即对应相乘再相加
正交： T = 0 时，称 ， 为正交向量，即垂直向量
模
为向量的长度
=1时，称为单位向量
标准正交向量组
若向量组12......n 满足
(1)验证n=1时成立 (2)假设n=k时成立 (3)证明n=k+1时成立 则命题对任意n成立
第二类归纳法：适用于三阶差 (1)验证n=1和n=2时成立 (2)假设n<k时成立 (3)证明n=k时成立 则命题对任意n成立
2
第二章 矩 阵（长方形、正方形）
加
伴随矩阵（仅限方阵，每个方矩阵都有伴随）
减 乘：AB BA，有分配律，没有交换律, 但
0 0 ad ae + bf
0 0 0 adf
B = 0 0 d
e
⎯⎯→
B2
=
0
0
0
0 0 0 f
0 0 0
df
⎯⎯→
B3
=
0
0
0
0
⎯⎯→ B4 = 0
0
0 0 0 0
0
0
0
0
0 0 0
0
0 0 0
0
4
设 是n维列向量： T ⎯相⎯乘⎯→一个数
T ⎯相 2 a1na2(n−1)a3(n−2)......an1 3、n 阶范德蒙行列式：
x10
x20
x30
...
xn0
x11
x12
x31
...
x1n
x12
x22
x32
...
xn2
=
(x j − xi )
1i jn
x n −1 1
x2n−
x n −1 3
...
4、行和或列和相等的行列式:
xn−1 n nn
第七章
n
n
n
特征值（正方形） A = ⎯⎯→ i = tr( A) = aij ⎯⎯→ i = | A | ............9
i =1
i =1
i =1
第八章 相 似（正方形） 方阵相似 特征值完全相同 .................................................... 10
Cn2
...
Cnn
则(*)式称为1.2.3.....n 到1.2.3.....n 的基变换公式
矩阵C称为1.2.3.....n 到1.2.3.....n 的过渡矩阵
矩阵C一定是可逆矩阵
定理二 同一个向量，在1.2.3.....n 的坐标为X，在1.2.3.....n 的坐标为Y 则 = 1.2.3.....n X = 1.2.3.....n Y 又1.2.3.....n = 1.2.3.....n C
向量组等价： r(A) = r(B) = r( A | B)
矩阵等价：
AB
等价
r(
A)
=
r(B)
A经过有限次初等(行列)变换得到B 有可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B
方阵相似： AB相似 有可逆矩阵P，使得P−1AP=B
方阵合同： AB合同 有可逆矩阵C，使得CTAC=B
行互换 不改变方程组的解
A−1
=
ad
1 −
bc
d −c
−b
a
二阶伴随：主对角线互换，副对角线变号
具体 3、初等行变换法：任何可逆矩阵A一定可以通过初等行变换化成同阶单位阵
A带着E拼一个大矩阵A|E ⎯不⎯行 可⎯变 写换 等⎯号→ E|A−1
最后注意验算AA −1 =E
3
矩阵方程：求矩阵X AX=B ⎯⎯→ X=A−1B