其中 q( x ) ∈ C ( a, b) 为实函数； α , β 为实常数.问题
（E）
(E)：{ Lu = λu, l1u = 0, l 2 u = 0 }称为古典 Sturm-Liouville 问题.要求确定 λ 的值，使得（E） 有非零解 u ( x) . 本章用 (⋅ , ⋅), ⋅ 分别记 L2 ( a, b) 的内积与范数：
然后将 ϕ 的估计代入，即得 ϕ ′ 的渐近式. 注 1：类似可以证明（Cb）的解 χ 存在唯一，光滑性，复共轭性及对大 s 的渐进估计：
1 χ ( x，λ ) = cos s (b − x) sin β + Ο( e τ (b − x ) ) ； s
χ ′( x，λ ) = s sin s (b − x ) sin β + Ο(e τ (b− x ) ) .
命题 1.（Ca）的解存在唯一，对 x, λ 二元连续，是 λ 的整函数，且 ϕ ( x, λ ) = ϕ ( x, λ ) . 命题 2. 设 sin α ≠ 0, λ = s 2 , s = σ + iτ ，则当 s ≥ s 0 > 0时 ，
ϕ ( x，λ ) = cos s ( x − a) sin α + Ο(
∫
x
a
( x − ξ ) f (ξ )dξ .
e 0 x = 1, xe 0 x = x 分别是齐次方程的特解，则
1
Forward
设 y = c1 + c 2 x 为原方程的解，则
′ ( x) x + c2 ′ ( x) ， y ′ = c1 ( x ) + c1 ′ ( x) x + c′ ′′ ′ 令 c1 2 ( x) = 0 ，则 y = c1 ( x) = f ( x) .故 ′ ( x) x + c′ ⎧c1 2 ( x) = 0 ⎨ ′ ( x) = f ( x) ⎩ c1
得
c1 ( x ) = ∫ f (t )dt + c3 ，
a
x
′ c′ 2 ( x) = − xc1 ( x) = − xf ( x) ，
c 2 ( x) = − ∫ tf (t )dt + c 4
a x x x a a a
x
. ，
y ( x) = ( ∫ f (t )dt + c 2 ) x − ∫ tf (t )dt + c 4 = ∫ ( x − t ) f (t )dt + c3 x + c 4
ln( A + v ) a ≤ ∫ g ( x ) dx, ln( A + v( x)) − ln A ≤ ∫ g ( x) dx,
a a
ln( A + v( x)) ≤ ln A + ∫ g ( x) dx
a
x
⇒ A + v( x) ≤ A exp( ∫ g ( x ) dx),
a
x
从而由题设知， u ≤ A + v ( x) ≤ A exp(
⎧ y (a ) = c3 a + c 4 = A, ⎨ ⎩ y ′(a) = B = c3 .
x a
⎧c = A − aB, ⇒⎨ 4 ⎩ c 3 = B.
y ( x) = ∫ ( x − t ) f (t )dt + Bx + A − aB.
2. { y ′′ + s 2 y = f ( x ), y ( a) = A, y ′( a) = B} 等价于
x 1 ⎧ ⎪c1 ( x ) = − ∫a ( f (ξ ) sin sξ ) s dξ + a1 , ⎨ x 1 ⎪ c 2 ( x ) = ∫ ( f (ξ ) cos sξ ) dξ + a 2 . a s ⎩
（ a1 , a 2 常数）
将其代入（ ∗ ）式，并由 y ( a ) = A, y ′( a ) = B 知
ϕ ( x ) = sin α − ( x − a ) cos α + ∫ ( x − ξ )(q(ξ ) − λ )ϕ (ξ )dξ
a
x
令 ϕ 0 ( x ) = sin α − ( x − a) cos α ，构造迭代序列
ϕ n+1 ( x) = ∫ ( x − ξ )(q(ξ ) − λ )ϕ n (ξ )dξ
) ； sin s ( x − a) = Ο(e τ ( x − a ) ) ，
) + Ο(
1 τ ( x−a) e ) = Ο(e τ ( x − a ) ) ； s 1 τ (b− x ) e ) = Ο (e τ ( b − x ) ) . s
χ ( x，λ ) = Ο(e τ ( b− x ) ) + Ο(
§3. ω 函数
因为 Lu = λu 无一阶导数项，故 ϕ ， χ 的 Wronsky 行列式与 x 无关，是 λ 的整函数，简 记为 ω (λ ) ≡ W [ϕ , χ ] = ϕχ ′ − ϕ ′χ . 事实上， l1ϕ = 0, l 2 χ = 0
0 = (λϕ ) χ − ϕ (λχ ) = χLϕ − ϕLχ = χ (−ϕ ′′ + qϕ ) − ϕ (− χ ′′ + qχ ) = ϕχ ′′ − ϕ ′′χ = (ϕχ ′ − ϕ ′χ )′
x sin s ( x − ξ ) sin s ( x − a ) +∫ f (ξ )dξ . a s s τ ξ
3. s = σ + iτ ， ξ ≥ 0 时， cos sξ ， sin sξ 都不超过 e
且
cos sξ = Ο(e τ ξ ) ， sin sξ = Ο(e τ ξ ) .
证：
e − tx e iσx + e tx e − iσx e −tx + e tx e isx + e −isx t x cos sx = = ≤ ≤e ， 2 2 2 e − tx e iσx − e tx e − iσx e −tx + e tx e isx − e −isx t x sin sx = = ≤ ≤e . 2 2 2
y ( x) = A cos s ( x − a ) + B
x sin s ( x − ξ ) sin s ( x − a) +∫ f (ξ )dξ . a s s
证：用常数变易法：对于方程 y ′′ + s 2 y = 0 ， 由 r2 + s2 = 0 得
r = ±is ，则
cos sx, sin sx 是上面方程的特解，从而
微分算子的谱理论
Forward
Forward
第一章．常型 Sturm-Liouville 问题
§1.问题与符号
观察有限区间（a,b）上的微分式及边界微分式：
d2 + q ( x))u; dx 2 l1u ≡ u (a ) cos α + u ′(a ) sin α ; l 2 u ≡ u (b) cos β + u ′(b) sin β ; Lu ≡ (−
ϕ ( x, λ ) = (sin λ x ) / λ 代入第二边条件： ω (λ ) ≡ (sin λ x) / λ = 0 .故 λ 是特征值.当
且仅当它是 ω (λ ) 的零点： λ n = n 2 ， ( n = 1,2, ⋯) ； 特征函数ψ n ( x) = 的完备的正交规范系， (ψ m ,ψ n ) = δ mn .
；显然 cos sξ = Ο(e
τξ
) ， sin sξ = Ο(e τ ξ ) .
4.若 u ( x) ≤ A +
∫
x
a
g (ξ )u (ξ ) dξ ， x ≥ a ，则
x a
u ( x) ≤ A exp( ∫ g (ξ ) dξ ) ( Bellmann − Gronwall 引理) .
证：不等式两边同乘以 g ( x ) ，得
2：同样我们也可以得出这样的估计：
ϕ ( x，λ ) = Ο(e τ ( x − a ) ) ； χ ( x，λ ) = Ο(e τ (b− x ) ) .
事实上， 由(§2， 预备引理 3)知， cos s (b − x ) = Ο(e 从而 ϕ ( x，λ ) = Ο(e
τ ( x−a) τ (b− x )
2
Forward
⎧ a1 cos as + a 2 sin as = A, ⎨ ⎩a1 (− s sin as ) + a 2 s cos as = B.
从而得到 y ( x) = A cos s ( x − a) + B
⎧ a1 = A cos as − ( B / s ) sin as ⇒⎨ ⎩a 2 = ( B / s ) cos as − A sin as
g ( x )u ( x) ≤ Ag ( x ) + ∫ g (ξ )u (ξ ) dξ g ( x ) ，
a
x
令
∫
x
a
g (ξ )u (ξ ) dt = v ，显然 v(a ) = 0, v′ ≤ A g ( x) + v g ( x) ,
x x
v′ ≤ g ( x) , A +v
∫
x
a
x dv ≤ ∫ g ( x) dx, A +v a x
(u , v) = ∫ u ( x )v( x)dx,
a
b
u
2
= (u, u ).
2
当 (u , v) = 0 ，称 u , v 正交；当 u
= 1，称 u 规范.
例 ： {−u ′′ = λ u, u (0) = u (π ) = 0} . 将 Cauchy 问 题 ϕ (0) = 0 ， ϕ ′(0) = 1 的 解