微分算子法中D 的运算
D:微分的意思,如Dx 2=2x , D 3x 2=0
D 1:积分的意思,如D
1x=2x 2
******************************************************************************* 定理1:)()(F k F e e
D kx kx = 注意使用公式时的前后顺序 例: x x x x e e k e e
D 22222225)12()1()1(=+=+=+ 推论:)
(1)(F 1k F e e D kx kx = (F(k)≠0) 例:x e y y 2=+''
x e y D 22)1(=+
x x x e e e D y 22222*5
1121)1(1=+=+= ****************************************************************************** 定理2:)(sin sin )(F 22a F ax ax D -⋅=
)(cos cos )(F 22a F ax ax D -⋅= 注意使用公式时的前后顺序
推论:)
(1sin sin )(F 122a F ax ax D -⋅= (F(-a 2) ≠0) 例:x y y 3cos 24=+）（
x y D 3cos 2)1(4=+
x x x x D x D y 3cos 4113cos 82121)3(13cos 23cos 1)(123cos )1(1222224*=⋅⋅=+-⋅⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=遇到sinax,cosax 时,要凑出D 2来。
F(D)里有D 2,即可代换为-a 2,代换后继续算F(D)。
******************************************************************************* 定理3: )()()()(F x v k D F e x v e D kx kx += 注意使用公式时的前后顺序
推论:)()
(1)()(F 1x v k D F e x v e D kx kx += 例:x e x y y 22y 44⋅=+'-''
x e x y D D 222)44(⋅=+-
42222222222*12
11)2)2((1)2(1x e x D e x D e x e D y x x x x ⋅=⋅⋅=⋅-+=⋅-= 例:x e y y y =-'+''-'''y 33
x e y D =-3)1(
x e D y 3*)
1(1-= 此时不能用定理1,故 3333*6
1111)1)1((1x e D e D e D e y x x x x ⋅⋅=⋅=⋅=-+= ****************************************************************************** 例: x y y e 4=-）（
x e D e D e e D e D e D D e D D D e D y x x x x x x x x ⋅==-+⋅=-⋅=+⋅⋅⋅-=⋅⋅+⋅-=⋅+⋅-⋅+=⋅-=411411114111411112111211111111111)1(12224*例:22+-=+''x x y y
2)1(22+-=+x x y D
)2()
1(122*+-+=x x D y 用长除法:按幂次增加排列,至得出的D 的最高幂次与x 的最高幂次相同。
4
422
2
22
11
)1D 1D D D D D D ---++- x
x x x x x D y -=-+-=+--=2222*22)2)(1( )
(1D F 除法举例:F(D)=D 2-2D-3 x 最高阶为2,所以除到D 的2次幂即可
434323
23
22
2
2227
7272027727149792979294323132313211
)D 232779231D D D D D D D D D D D D D D D D D +--++-++--+--++---+- 注意:对sinax 与cosax 不适用,因为除不到尽头。
******************************************************************************* 推论:)()
(1)(f )(1)()(f )(12121x f D F x D F x f x D F ⋅+⋅=+）（
ax a a ax a ax D a ax D D ax D n n n n n n cos 1)1(1sin )(1sin 1)(1sin 1sin 1222212-⋅⋅-=⋅-=⋅-=⋅=⎰+)sin cos (1sin )()(1sin sin 12
22222222ax b ax ka b a k ax b kD b a k ax b D k b kD ax b kD -⋅+-=⋅-⋅--=--=+x x x D cos 21sin 112⋅⋅-=+ x x x D sin 21cos 112⋅⋅=+。