第二章测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.给出下列语句:①桌面就是一个平面；②一个平面长3 m ，宽2 m;③平面内有无数个点，平面可以看成点的集合;④空间图形是由空间的点，线，面所构成的.其中正确的个数为（ ）A . 1B . 2C . 3D . 42.已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是（ ）A . 1B . 4C . 1或3D . 1或43.空间四边形ABCD （如右图）中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，则有（ ）A . 平面ABC ⊥平面ADCB . 平面ABC ⊥平面ADBC . 平面ABC ⊥平面DBCD . 平面ADC ⊥平面DBC4.若a ∥b ，a ⊥α，b ∥β，则（ ）A . α∥βB . b ∥αC . α⊥βD . a ⊥β5.在空间四边形ABCD （如右下图）各边AB 、B C 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF 与GH 相交于点P ，那么（ ）A . 点P 必在直线AC 上B . 点P 必在直线BD 上C . 点P 必在平面DBC 内D . 点P 必在平面ABC 外6.下面四个命题：①若直线a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面；②若直线a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；③若直线a ∥b ，b ∥c ，则a ∥b ∥c ；④若直线a ∥b ，则a ，b 与直线c 所成的角相等.其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17.在正方体中（如右下图），与平面所成的角的大小是（ ）A ． 90°B ． 60°C ． 45°D ．30°8.如下图，设四面体各棱长均相等，分别为AC 、AD 中点，则在该四面体的面上的射影是下图中的（ ）．B A 1D D BB 11ABCD F E 、BEF ABC9.如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为（）．A. 1B. 2C. 3D. 410.异面直线a与b分别在平面α，β内，α与β交于直线l，则直线l与a，b的位置关系一定是（）A.l至少与a，b中的一条相交B.l至多与a，b中的一条相交C.l至少与a，b中的一条平行D.l与a，b都相交11.在如下图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（）．12.三棱锥P-ABC的所有棱长都相等，D、E、F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）．A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面P AEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面P AE⊥平面ABC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）a b aαbα13．已知两条相交直线，，∥平面，则与的位置关系是．14.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由过顶点的平面和直线构成的“正交线面对”的个数是 ______.15．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， 以下四个命题:①与平行；②与是异面直线；③与成60°；④与垂直.其中正确的有 （写出所有正确命题的序号）.16．已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤．（1）当满足条件 时，有；（2）当满足条件 时，有．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）如图所示，将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折成二面角A -BD -C ，使AC =a ，求证：平面ABD ⊥平面CBD .18.如图，在正方体中，、、分别是、、的中点.求证：平面∥平面.19.（12分）多面体P -ABCD 的直观图及三视图如图所示，其中正视图、侧视图是等腰直角三角形，俯视图是正方形，E 、F 、G 分别为PC 、PD 、BC 的中点.（1）求证：P A ∥平面EFG ；（2）求三棱锥P -EFG 的体积.BM ED CN BE CN BM CN AF βα,m α//m α⊥m α⊂m βα⊥βα//β//m β⊥m 1111ABCD A B C D -E F G AB AD 11C D 1D EFBDG20．（12分）如右图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点（1）证明平面；（2）证明平面．21．（12分）如下图所示，正方形和矩形所在平面相互垂直，是的中点．（1）求证：；（2）若直线与平面成45o 角，求异面直线与所成角的余弦值．22.（14分）.在几何体中，，⊥平面，⊥平面，，．（1）设平面与平面的交线为直线，求证：∥平面；（2）在棱上是否存在一点使得平面⊥平面．ABCD P -ABCD PD ABCD DC PD =E PC PB EF ⊥PB F //PA EDB ⊥PB DEF ABCD ADEF G AF AC ED ⊥BE ABCD GE AC ABCDE 2π=∠BAC DC ABC EB ABC AC AB =2==BE 1=CD ABE ACD l l BCDE BC F AFD AFE参考答案一、选择题1.选B .平面是不能定义的原始概念，具有无限延展性，无长度、厚度之分，空间中的点构成线、线构成面，所以四种说法中①②不正确.2.选D .当四点共面时，可形成平面四边形，确定一个平面.当四点不在同一平面内时，连接四点可形成四面体，可确定4个平面.3.选D .∵AD ⊥BC ，AD ⊥BD ，∴AD ⊥面BCD ，又AD ⊂平面ADC ，∴面ADC ⊥面BCD .4.选C .∵a ∥b ，a ⊥α，∴b ⊥α，∵a ∥b ，b ∥β，∴在β内有与b 平行的直线，设为c ， 又∵b ⊥α，∴c ⊥α，又∵c ⊂β，∴α⊥β.5.选A .∵EF ∩GH =P ，∴P ∈EF ，又∵EF ⊂面ABC ，∴P ∈面ABC ，同理P ∈GH ，∴P ∈面ACD ，∴P 在面ABC 与面ACD 的交线AC 上.6.选C .①中a 与c 可能异面、相交或平行；②中a 与c 可能异面、相交或平行；③是平行公理；④显然正确.故③④正确.7.选D .如图，A 1在平面BB 1D 1D 上的射影为B 1D 1的中点O 1，设正方体棱长为1，则A 1B =，A 1O 1=，所以sin ∠A 1BO 1=，因此与平面所成的角∠A 1BO 1=30°.8.选B .如图，因为点D 在平面ABC 上的射影为正三角形ABC 的中心O ，因此点F 的射影为AO 的中点F ′，因此在该四面体的面上的射影是图B .9.选C .折叠后，∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD =BD ，AB ⊥BD ，AB ⊂平面ABD ，∴AB ⊥平面BCD ，AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，同理CD ⊥BD ，CD ⊂平面BCD ，∴CD ⊥平面ABD ，又∵CD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABD ，互相垂直的平面有：平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD ，平面ACD ⊥平面ABD 共3对.10.选A .若a ，b 与l 都不相交，∵a ， l 共面，b ，l 共面，∴a ∥l ，b ∥l ，∴a ∥b 与a ，b 异面矛盾，∴a ，b 都与l 不相交不可能，故A 正确.11.选A . A 中，∵CD ⊥平面AMB ，∴CD ⊥AB ;B 中，AB 与CD 成60°角;C 中，AB与12B A 1D D BB 11BEF ∆ABCCD 成45°角;D 中，AB 与CD 成角的正切值为2.12.选C .∵BC ∥DF ，∴BC ∥平面PDF ，A 正确；∵BC ⊥PE ，BC ⊥AE ，∴BC ⊥平面P AE .又∵DF ∥BC ，∴DF ⊥平面P AE ，B 正确；∵BC ⊥平面P AE ，BC ⊂平面ABC ，∴平面P AE ⊥平面ABC ，D 正确.二、填空题13．因为直线与平面α没有公共点，因此直线b 不会在平面α内，即直线b 在平面α外，所以直线b 与平面α可能平行，可能相交.答案：相交或平行.14.正方体的一条棱对应着2个“正交线面对”，12条棱共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个.答案：3615．如图，作出正方体原图，容易在图形中得出，①②是错误的；因为CN ∥BE ，所以与所成角即为∠EBM =60°，而AF ⊥BE ，所以AF ⊥CN .答案：③④16．（1）在所给条件①②③④⑤中，①②③是互斥的条件，即一个成立，另两个肯定不成立；④⑤也是互斥的条件.当具备条件③⑤时，成立；当具备条件②⑤时，.答案：（1）③⑤；（2）②⑤.三、解答题17.【证明】设原正方形的对角线AC 和BD 交于点O ，则折叠后仍有AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，∴∠AOC 是二面角A -BD -C 的平面角.∵AC =a ，AO =CO =22a ，∴AC 2=a 2=AO 2+CO 2，∴∠AOC =90°，二面角A -BD -C 是直二面角，即平面ABD ⊥平面CBD .18. 【证明】∵、分别是、的中点，∴∥， 又平面，平面，∴∥平面，∴四边形为平行四边形，∴∥，又平面，平面，∴∥平面. 又，∴平面∥平面.19.【证明】（1）方法一：如图，取AD 的中点H ，连接GH ，FH .∵E 、F 分别为PC 、PD 的中点，∴EF ∥CD .∵G 、H 分别为BC 、AD 的中点，∴GH ∥CD ，∴EF ∥GH ，∴E 、F 、H 、G 四点共面.∵F 、H 分别为DP 、DA 的中点，∴P A ∥FH .∵P A ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ，∴P A ∥平面EFG .CN BM β//m β⊥m E F AB AD EF BD EF ⊄BDG BD ⊂BDG EF BDG Q 1D G EB 1D GBE 1D E GB 1D E ⊄BDG GB ⊂BDG 1D E BDG 1EF D E E =I 1D EF BDG方法二：∵E 、F 、G 分别为PC 、PD 、BC 的中点.∴EF ∥CD ，EG ∥PB .∵CD ∥AB ，∴EF ∥AB .∵PB ∩AB =B ，EF ∩EG =E ，∴平面EFG ∥平面P AB .∵P A ⊂平面P AB ，∴P A ∥平面EFG .（2）由三视图可知，PD ⊥平面ABCD ，又∵GC ⊂平面ABCD ，∴GC ⊥PD .∵四边形ABCD 为正方形，∴GC ⊥CD .∵PD ∩CD =D ，∴GC ⊥平面PCD .∵PF =12PD =1，EF =12CD =1，∴S △PEF =12EF ·PF =12. ∵GC =12BC =1，∴V P-EFG =V G-PEF =13S △PEF ·GC =13×12×1=16. 20．【证明】（1）连接AC ，AC 交BD 于O ，连接EO ．∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点在中，EO 是中位线，∴P A // EO而平面EDB 且平面EDB ，∴P A // 平面EDB（2）∵PD ⊥底面ABCD 且底面ABCD ，∴∵PD =DC ，可知是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线，∴． ①同理：由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC ．∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC ，而平面PDC ，∴． ②由①和②推得平面PBC ．而平面PBC ，∴，又且，∴PB ⊥平面EFD ．21．【证明】（1）在矩形中，，∵ 平面平面，且平面平面，∴，∴.（2）由（1）知：，∴ 是直线与平面所成的角，即.设，取，连接，PAC ∆⊂EO ⊄PA ⊂DC DC PD ⊥PDC ∆PC DE ⊥⊂DE DE BC ⊥⊥DE ⊂PB PB DE ⊥PB EF ⊥E EF DE =I ADEF AD ED ⊥ADEF ⊥ABCD ADEF I ABCD AD =ABCD ED 平面⊥AC ED ⊥ABCD ED 平面⊥EDB ∠BE ABCD EDB ∠︒=45a BD DE a AB 2,===则M DE 中点AM∵是的中点，∴，∴ 是异面直线与所成角或其补角.连接交于点，∵ ，的中点， ∴ ，∴. ∴ 异面直线与所成角的余弦值为． 22.【证明】（1）∵CD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，∴CD //BE ，∴CD //平面ABE ，又l =平面ACD ∩平面ABE ，∴CD // l ，又平面BCDE ，CD 平面BCDE ，∴l //平面BCDE ．（2）存在，F 是BC 的中点，下加以证明：∵CD ⊥平面ABC ，∴CD ⊥AF .AB =AC ，F 是BC 的中点，∴，∴．∴，∴是面和面所成二面角的平面角.在△中，FD=，∴FD ⊥FE ，即，∴平面AFD ⊥平面AFE .G AF GE AM //MAC ∠GE AC BD AC O a a a CM AM 26)22(22=+==AC O 是AC MO ⊥332622cos ===∠a a AM AO MAC GE AC 33⊄l ⊂ΘBC AF ⊥BCDE AF 平面⊥EF AF DF AF ⊥⊥,DFE ∠AFD AFE DEF 3,6,3==DE FE ︒=∠90DFE。