第三章参考答案习题3-1（P66） 1、（1）不满足，在1=x 处不连续；（2）不满足，在2=x 处不可导； 2、（1）、1-=e ξ；（2）ππξ-=4；3、证明：设任意区间),(],[+∞-∞⊂b a ，显然函数在],[b a 上连续，在),(b a 内可导， 所以函数满足拉格朗日中值定理的条件，所以有q b a p ab r qa pa r qb pb f ++=-++-++=')()()()(22ξ 又q p r qx px f x +='++='=ξξξ2)()(2所以q p q b a p +=++ξ2)(，从而2ba +=ξ 所以命题成立。

4、方程有2个根，分别位于区间)2,1(和)3,2(内；5、)4,2(；6、证明：设x x f arctan )(=，显然函数)(x f 在),(+∞-∞内处处连续，处处可导， 设区间),(],[+∞-∞⊂a b ，则)(x f 在],[a b 上满足拉格朗日子中值定理的条件 所以),(a b 内至少存在一点ξ，使)(11arctan arctan 2b a b a -+=-ξ， 所以b a b a b a -≤-⋅+=-211arctan arctan ξ， 即b a b a -≤-arctan arctan习题3-2（P70）1、（1）1；（2）2；（3）a cos ；（4）53-；（5）81-； （6）0；（7）21-；（8）π2；（9）0；（10）21；2、（1）1，不能；（2）1，不能；习题3-3（P77）1、（1）)1,(-∞增加，),1(+∞减少；（2）),(+∞-∞减少；（3）)1,(--∞和),1(+∞增加，)1,1(-减少；（4）)2,0(减少，),2(+∞增加；2、（1）)3,(-∞减少，),3(+∞增加；（2）),0(1-e 减少，),(1+∞-e 增加；（3）)0,(-∞增加，),0(+∞减少； （4）)1,(-∞和),2735(+∞增加，)2735,1(减少； 3、证明：设1)(--=x e x f x ，则1)(-='xe xf ，当0>x 时，0)(>'x f所以函数)(x f 在),0(+∞上单调增加，所以当0>x 时，0)0()(=>f x f ，即01>--x e x ，从而x e x+>1 4、证明：设13)(23+-=x x x f ，显然函数)(x f 在]1,0[上连续，且01)1(,01)0(<-=>=f f由零点存在定理知，函数)(x f 在)1,0(至少有一个零点，又当)1,0(∈x 时，0)2(363)(2<-=-='x x x x x f ，函数单调减少所以函数)(x f 在)1,0(至多只有一个零点，即方程01323=+-x x 在)1,0(至多只有一个实根，因为0)1(,0)0(≠≠f f ，所以1,0==x x 不是方程的根，所以方程01323=+-x x 在]1,0[至多只有一个实根。

5、（1）极小值5)1(-=-f ，无极大值； （2）极小值3)2(-=f ，极大值23)1(=-f ； （3）极小值47)3(-=f ，极大值17)1(=-f ； （4）极小值45)43(=f ，无极大值； （5）极小值0)0(=f ，极大值24)2(ef =； （6）无极值；（7）极小值0)0(=f ，极大值1)1(=-f ； （8）提示：111-+-=x x y ，极小值2)0(-=f ，极大值2)2(=f ；6、解：显然函数)(x f 在),(+∞-∞上可导， 要使函数)(x f 在3π=x 处取得极值，须有0)3(='πf ，即0cos 3cos=+ππa ，解得2=a因为03)3sin 3sin 2()3(3<-=--=''=ππx x x f所以函数)(x f 在3π=x 处取得极大值，此时3sin 313sin2)3(=+=πππf 所以当2=a 时，函数)(x f 在3π=x 处取极大值3。

7、（1）最大值80)4(=f ，最小值5)1(-=-f ； （2）最大值11)3(=f ，最小值14)2()2(-==-f f ； （3）最大值1)1(=f ，最小值0)2()0(==f f ； （4）最大值0)0(=f ，最小值2ln )41(-=f ； （5）最大值21)1(=f ，最小值21)1(-=-f ； （6）最大值416)4(e f =-，最小值0)0(=f ；8、解：设车间靠墙壁的长为x 米，则不靠墙壁的长为)210(x -米，面积)210()(x x x S -=，200<<xx x S -='10)(，令0)(='x S ，得唯一驻点10=x ，因为01)(<-=''x S 所以)(x S 在10=x 处取极大值，又驻点唯一， 所以)(x S 在10=x 处取最大值，所以当小屋靠墙壁的长为10米，不靠墙壁的长为5米时，面积最大。

9、解：设经过x 小时两船相距为y 海里，则⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<+-=25.6,)6()]25.6(12[25.60,)6()1275(2222x x x x x x y当25.60≤<x 时，1125)5(180180036056251800180180036022+--=+--='x x x x x y ，令0='y ，得驻点5=x ，没有不可导点，依题意知目标函数存在最小值，且驻点唯一，所以当5=x 时，函数y 取最小值515 当25.6>x 时，5155.37)25.66(2>=⨯>y综上可知，经过5小时，两船距离最近。

10、解：设)(m x BM =，那么22200,600+=-=x CM x AM ，所以掘进费2220013)600(5++-=x x y )6000(≤≤x 52001322-+='x x y ,令0='y ，得唯一驻点3250=x ，没有不可导点 当0=x 时，5600=y ；当3250=x 时，2.4717≈y ；600=x 时，9.8221≈y 比较得2.4717≈y 最小，此时7.5163250600≈-=AM ，所以从A 处沿水平掘进516.7米后，再斜向下沿直线掘进到C 处，掘进费最省，为4717.2元。

11、解：矩形底宽为x 米，高为h 米，则周长2)2(2++=πx h y 由582=+x xh π得85x x h π-=，所以4)4(10++=πx x y )0(>x 21044x y -+='π，令0='y ，得驻点440+=πx 依题意目标函数存在最小值，且驻点唯一，所以当440+=πx 米时，截面的周长最小。

12、解：设漏斗的地面半径为r ，高为h ，则h r V ⋅=231π 由ϕπR r =2，得πϕ2R r =，222242ϕππ-=-=R r R h所以22223242431ϕπϕππ-=⋅=R h r V )20(πϕ<< 2222234)38(24ϕπϕπϕπ--⋅='R V ，令0='V ，解得πϕ38= 依题意，目标函数存在最大值，且驻点唯一，所以当πϕ38=时，函数取最大值，即当πϕ38=时，做成的漏斗容积最大。

13、解：设内接直圆柱的底半径为r ，高为h 2，则圆柱的体积h r V 22π=因为球内接圆柱，所以有222R h r =+，得22r R h -=所以6242rR r V -=π)0(R r <<， 2222)32(2rR r R r V --='π，令0='V ，得R r 32=，此时R h 342= 依题意，函数存在最大值，且驻点=唯一，所以当R r 32=时，函数取最大值， 所以内接直圆柱的半径为R 32、高为R 34时，体积最大。

14、解：如图ϕϕtan 3sin 152-=--=DC DA h 因为ϕϕtan 3,5.1sin 15=+=DC DA ， 所以5.0tan 3sin 15--=ϕϕh )20(πϕ<<ϕϕϕϕ232cos 3cos 15sec 3cos 15-=-='h ，令0='h ，解得351cos =ϕ 此时81.02511cos1sin 32≈-=-=ϕϕ， 39.11251cos 11sec tan 322≈-=-=-=ϕϕϕ依题意知，函数存在最大值，且驻点唯一，所以当351cos =ϕ时，函数取最大值 648.75.039.1381.0155.0tan 3sin 15>≈-⨯-⨯≈--=ϕϕh 所该吊车能把屋架吊上去。

15、解：利润50015001.0)()()(2-+-=-=x x x C x R x L15002.0)(+-='x x L ，令0)(='x L ，得唯一驻点7500=x依题意，函数存在最大值，且驻点唯一，所以当7500=x 时，)(x L 最大， 即应生成7500台，才能获得最大利润。

习题3-4（P83）1、（1）凸区间为)35,(-∞，凹区间为),35(+∞，拐点为)2720,35(； （2）凸区间为)1,(--∞和),1(+∞，凹区间为)1,1(-，拐点为)2ln ,1(-和)2ln ,1(； （3）凸区间为)0,(-∞和),21(+∞，凹区间为)21,0(，拐点为)0,0(和)161,21(； （4）凸区间为)1,0(和),(2+∞e ，凹区间为),1(2e ，拐点为)2,(22e e ；（5）凸区间为)3,(--∞和)3,0(，凹区间为)0,3(-和),3(+∞，拐点为)43,3(--、)0,0(和)43,3(； 2、略；综合练习（三）（P83） 一、填空题1、2；2、2；3、)1,0(),,1(+∞；4、1,1-；5、)2,2(),1,1(2e e ；6、2；7、)0,(),,0(-∞+∞； 8、0；9、必要；10、)(bf ；二、选择题1、D ；2、C ；3、A ；4、B ；5、B ；6、C ；7、B ；8、D ；9、C ；10、B ； 三、计算题 1、（1）61；（2）21-； （3）原式)1ln(ln lim)1ln(ln 0ln 0)1ln(1lim lim --→→+→+-+===x x xx e e x exx xx e e ee e e exx xx xx x x x x xe e e xe e e ex ====+--+→+→+→00lim1lim11lim ；（4）原式xx x x x 22220sin sin lim -=→xx x x x xx x x cos sin 2sin 22cos sin 2lim220+-=→xx x x xx x 2sin sin 222sin lim 220+-=→xx x x x x x x x 2cos 22sin 22sin 2sin 222cos 2lim220+++-=→xx x x x x x 2cos 2sin 2sin 12cos lim220++-=→ xx x x x x x x xx 2sin 22cos 22cos 42sin 22sin 2sin 2lim20-+++-=→ xx x x x xx 2sin 22cos 62sin 32sin 2lim20-+-=→ xx x x x x x x 2sin 2cos 322sin 322sin 2lim 0-+⋅⋅-=→31-=2、解：函数的定义域为),(+∞-∞ 3232)6(3)4(3x x x x y -⋅-='，令0='y ，得驻点41=x ，导数不存在的点为6,032==x x所以，函数在区间)0,(-∞和),4(+∞单调减少，在区间)4,0(单调增加，极小值为0，极大值为342。