第2章 有理数2.4 绝对值与相反数 课程标准 课标解读 1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用． 1、相反数和绝对值的表示方法 2、数轴的几何意义表示，在数轴上分析绝对值和相反数性质知识点01 相反数 1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．2．性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．（2）互为相反数的两数和为0．【微点拨】（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．【即学即练1】1．3-的相反数是（ ）A ．13-B ．13C ．3D ．3-【答案】C【分析】目标导航知识精讲依据相反数的定义求解即可．【详解】解：-3的相反数是3．故选：C．知识点02 多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．【微点拨】（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．【即学即练2】2．在下列各数：13⎛⎫--⎪⎝⎭，36-，227，0，－（＋3），－|－2015|中，负数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】先化简各数，再与0比较即可．【详解】解：：11=033⎛⎫-->⎪⎝⎭，－（＋3）=-3<0，－|－2015|=-2015<0，负数有36-，－（＋3），－|－2015|，负数的个数是3．故选择：C．知识点03 绝对值1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．2．性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．【微点拨】（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．【即学即练3】3．已知关于x 的方程mx |m |+1＝0是一元一次方程，则m 的取值是（ ）A ．±1B ．﹣1C ．1D ．以上答案都不对【答案】A【分析】根据一元一次方程的定义得出m≠0且|m|=1，求出m 即可．【详解】解：∵关于x 的方程mx |m|+1＝0是一元一次方程，∵m≠0且|m|＝1，解得：m ＝±1，故选：A ． 知识点04 有理数的大小比较1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩－数为0 正数与0：正数大于0负数与0：负数小于03． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b<，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．【微点拨】利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小．【即学即练4】4．下列四个数中，最小的数是（ ）A ．2-B ．4-C ．(1)--D ．0【答案】A【分析】根据有理数的大小比较及绝对值可直接进行排除选项．【详解】解：∵()44,11-=--=，∵()4102->-->>-，∵最小的数是-2；故选A ．考法01 化简绝对值1、根据题设条件只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．2、借助数轴 能力拓展①零点的左边都是负数，右边都是正数．②右边点表示的数总大于左边点表示的数．③离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．3、采用零点分段讨论法①求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．②分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．③在各区段内分别考察问题．④将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．误区点拨 千万不要想当然地把 等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果．【典例1】a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（ ）∵0ab >； ∵c a b -<<-； ∵11a b >； ∵b b =-． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【答案】B【分析】根据有理数大小的比较可得数轴上的右边的数总大于左边的数得出b ＜c ＜0＜a ，b a c >>，再分别判断各式．【详解】解：结合图形，根据数轴上的右边的数总大于左边的数，可得b ＜c ＜0＜a ，b a c >>．∵∵0ab <，故错误；∵c a b -<<-，故正确； ∵11a b>，故正确； ∵b b =-，故正确；考法02 绝对值的意义一.绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。

总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。

二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。

2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。

3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。

4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。

四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。

即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。

【典例2】绝对值小于3的负整数有（）A．3个B．2个C．4个D．1个【答案】B一个负数绝对值是它的相反数，即可解得．【详解】解：绝对值小于3的负整数是1-，2-共个．故选B ．【分析】本题考查的是绝对值有关知识，掌握一个负数绝对值是它的相反数是解题关键 ．题组A 基础过关练1．下列各组数中互为相反数的是( )A ．2与12B ．32与-23C ．-1与(-1)2D ．2与2-【答案】C【分析】先根据乘方的运算法则及绝对值的定义求出各选项的值,再根据相反数的定义进行解答.【详解】A. 2与12互为倒数,故本选项错误; B. 32=9与-23=-8，他们不互为相反数,故本选项错误;C.-1的相反数是1, (-1)2=1,故本选项正确;D.|-2|=2,其相反数是-2,故本选项错误.故选C.2．若|a|=2，|b|=5，则a+b 为（ ）A ．±3B ．±7C ．3或7D ．±3或±7 【答案】D【分析】首先根据绝对值的性质,推出a 、b 的值,即a =±2,b =±5, 然后分情况进行代入求值即可.【详解】解:∵|a|=2, |b|=5=5,∴a=±2,b=±5,当a=2,b=5时,a+ b =7, 分层提分当a=2,b=-5时,a+b=-3,当a=-2,b=5时,a+b=3,当a=-2, b =-5时,a+b=-7,∴a+b 的值为±3或±7.所以D 选项是正确的.3．－0.5的相反数是（ ）A ．0.5B ．－0.5C ．2D ．－2 【答案】A【详解】解：－0.5的相反数是0.5．故选A ．4．下列各组数中，互为相反数的是（ ）A ．3-与13-B ．|3|-与3C ．13-与13-D ．13-与13-- 【答案】C【分析】根据互为相反数的两个数的绝对值相等，符号相反，逐项判断即可．【详解】解：∵3-与13-的绝对值不相等， ∵3-与13-不互为相反数，选项A 不符合题意； ∵|-3|=3，∵|-3|与3不互为相反数，选项B 不符合题意； ∵13-与13-的绝对值相等，符号相反， ∵13-与13-互为相反数，选项C 符合题意； ∵13-=13--，选项D 不符合题意． 故选：C ．5．3-的相反数是（ ）A．13-B．13C．3D．0.3【答案】C【分析】依据相反数的定义求解即可．【详解】解：-3的相反数是3．故选：C．6．在有理数中绝对值等于它本身的数（）A．1个B．2个C．3个D．无限个【答案】D【分析】根据正数和0的绝对值是其本身，分析可得答案．【详解】解：根据正数和0的绝对值是其本身，即有无数个数的绝对值等于它本身，故选：D．7．7-8的相反数是（）A．87-B．87C．7-8D．78【答案】D【分析】根据相反数的定义，即可得到答案．【详解】解：78-的相反数是78；故选：D．题组B 能力提升练1．绝对值不小于1且不大于3.5的整数有（）A．7个B．6个C．4个D．3个【答案】B【分析】根据绝对值的意义，可得答案．【详解】解：绝对值不小于1且不大于3.5的整数是-1，-2，-3，1，2，3共6个， 故选B ．2．若有理数a ，b 互为相反数，则下列等式恒成立的是（ ） A ．0a b -=B ．0a b +=C ．1ab =D ．1ab =- 【答案】B【分析】根据相反数的意义可直接进行求解．【详解】解：由有理数a ，b 互为相反数，则有0a b +=，故选B ．3．在-1，0，72 ，-4这四个数中，绝对值最大的数是（ ）． A ．-1B ．72C ．-4D ．0【答案】C【分析】根据绝对值、有理数大小比较的性质计算，即可得到答案．【详解】 11-=，44-=， ∵70142<<<， ∵70142<-<<-，即绝对值最大的数是：-4， 故选：C ．4．在下列数：3+，()2.1+-，12-， 5.5-，0，9--中，负数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【分析】利用正负数的定义进行解答即可．【详解】∵+（-2.1）=-2.1，9--=-9∵在3+，()2.1+-，12-， 5.5-，0，9--这六个数中，负数有()2.1+-，12-， 5.5-，9--，共4个，故选：D ．5．在数轴上表示,,a b c 三个数的点的位置如图所示，化简式子：a c b c +--结果为__________．【答案】a b --【分析】由数轴可知：b ＞a ＞0，c ＜0，再由这个确定所求绝对值中的正负值就可求出此题．【详解】解：∵b ＞a ＞0，c ＜0，a c <∵0a c +<，0b c -> ∵a c b c +-- ()()=a c b c -+--=+a c b c ---=a b --．故答案为：a b --．6．如果一个量的实际值为a ，测量值为b ，我们把a b -称为绝对误差，a b a-称为相对误差．若有一种零件实际长度为5.0cm ，测量得4.8cm ，则测量所产生的绝对误差是_____cm ，相对误差是_____cm ．【答案】0.2 0.04【分析】按照给出的定义计算即可.【详解】解：∵a=5，b=4.8，∵绝对误差是a b -=|5-4.8|=0.2（cm ），∵相对误差是a b a- =5 4.85- =0.04（cm ）.故答案为0.2cm ，0.04cm .7．若｜x -2｜=2x -6，则x=____；【答案】4【分析】分x≤2和x>2两种情况求解方程即可．【详解】解：当x≤2，即x -2≤0时，方程｜x -2｜=2x -6变形为：-(x -2)=2x -6去括号整理得，-3x=-8 解得，83x =（不符合题意，舍去） 当x>2，即x -2>0时，方程｜x -2｜=2x -6变形为：x -2=2x -6移项合并得，x=4．故答案为：4．题组C 培优拔尖练1．在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：∵(1)(1)(1)0a b c ---<；∵a b b c a c -+-=-；∵()()()0a b b c c a +++>；∵1a bc <-，其中正确的结论有（ ）个A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】 根据三点与1的位置关系即可判断∵；对于∵，根据a 、b 、c 的位置关系化简方程左端，判断是否等于右端即可；对于∵，首先判断三个式子的正负，然后判断积的符号；对于∵，首先判断1−bc 的符号，然后和a 比较即可 ．【详解】∵∵a<1，b<1，c<1∵a -1<0，b -1<0，c -1<0∵(1)(1)(1)0a b c ---<，故∵正确；∵∵a<b ，b<c ，a<c∵a -b<0，b -c<0，a -c<0 ∵a b b c b a c b c a -+-=-+-=-，a c c a -=- ∵a b b c a c -+-=-，故∵正确；∵∵a+b<0，b+c>0，a+c<0∵()()()0a b b c c a +++>，故∵正确；∵∵a<-1∵|a|>1∵0<b<c<1∵0<bc<1∵1-bc<1∵|a|>1-bc ，故∵错误；故选B2．已知整数1a 、2a 、3a 、4a 、…满足下列条件：11a =-，212a a =-+，323a a =-+，434a a =-+，…，11n n a a n +=-++（n 为正整数）依此类推，则2020a 的值为（）A ．－1009B ．－2019C ．－1010D ．－2020【答案】C【分析】依次计算1a 、2a 、3a 、4a 、…，得到规律性答案，即可得到2020a 的值.【详解】11a =-，212a a =-+=-1，323a a =-+=-2，434a a =-+=-2，5453a a =-+=-，6563a a =-+=-，，由此可得：每两个数的答案是相同的，结果为-2n （n 为偶数）， ∵202010102=， ∵2020a 的值为－1010，故选：C.3．若015p <<，则代数式()1515x p x x p -+-+-+在15p x ≤≤的最小值是( )A ．30B ．0C ．15D ．一个与p 有关的整式【答案】C【分析】根据x 的范围化简()1515x p x x p -+-+-+为30-x ，再结合x 的范围，求得它的最小值即可.【详解】∵15p x ≤≤，∵x -p≥0，x -15≤0，x -p -15≤0， ∵()1515=151530x p x x p x p x p x x -+-+-+-+-++-=-故当x=15时，()1515x p x x p -+-+-+的最小值为30-15=15，故答案为C.4．满足10ab a b +--=的整数对(),a b 共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【答案】C【分析】先判断出|ab|=0，|a -b|=1或|a -b|=0，|ab|=1，再借助a ，b 是整数即可得出结论．【详解】∵|ab|+|a -b|=1，∵0≤|ab|≤1，0≤|a -b|≤1，∵a ，b 是整数，∵|ab|=0，|a -b|=1或|a -b|=0，|ab|=1∵当|ab|=0，|a -b|=1时，∵、当a=0时，b=±1，∵整数对（a ，b ）为（0，1）或（0，-1），∵、当b=0时，a=±1，∵整数对（a ，b ）为（1，0）或（-1，0），∵当|a -b|=0，|ab|=1时，∵a=b ，∵a 2=b 2=1，∵a=1，b=1或a=-1，b=-1，∵整数对（a ，b ）为（1，1）或（-1，-1），即：满足|ab|+|a -b|=1的所有整数对（a ，b ）为（0，1）或（0，-1）或（1，0）或（-1，0）或（1，1）或（-1，-1）．∵满足|ab|+|a -b|-1=0的整数对（a ，b ）共有6个．故选C ．5．若a 是最小的正整数，b 是绝对值最小的数，c 是相反数等于它本身的数，d 是到原点的距离等于2的负数，e 是最大的负整数，则a+b+c+d+e 的值为（ ）A ．1B ．2C ．－1D ．－2 【答案】D【分析】根据题意求出a 、b 、c 、d 、e 的值，再代入代数式求值即可.【详解】a 是最小的正整数，a =1；b 是绝对值最小的数，b=0；c 是相反数等于它本身的数，c=0；d 是到原点的距离等于2的负数，d=-2；e 是最大的负整数，e=-1；a +b+c+d+e=1+0+0+（-2）+（-1）=-2故选D6．设实数a 、b 、c 满足a b c <<（0ac <），且c b a <<，则x a x b x c -+-++的最小值是（ ）． A ．3a b c++ B ．b C ．c a - D ．c a --【答案】D【分析】根据ac ＜0可知，a ，c 异号，再根据a ＜b ＜c ，以及|c|＜|b|＜|a|，即可确定a ，b ，-c 在数轴上的位置，而|x -a|+|x -b|+|x+c|表示数轴上的点到a ，b ，-c 三点的距离的和，根据数轴即可确定．【详解】∵ac ＜0∵a ，c 异号∵a ＜0，c ＞0又∵a ＜b ＜c ，以及|c|＜|b|＜|a|∵a ＜b ＜-c ＜0＜c|x -a|+|x -b|+|x+c|表示到a ，b ，-c 三点的距离的和．当x 在表示b 点的数的位置时距离最小，即|x -a|+|x -b|+|x+c|最小，最小值是a 与-c 之间的距离，即-c -a ．故选D ．7．下列说法正确的个数有（ ）∵已知0a b ＜，+且00a b ＞，＜，则数a b 、在数轴上距离原点较近的是a ；∵若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数；∵a -一定是负数；∵若0a a +=，则a 是非正数． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】∵根据已知条件判断出a ，b 的符号及绝对值的大小即可；∵通过绝对值的性质即可求解；∵本题可通过特殊值法求解；∵通过绝对值的性质即可求解．【详解】解：∵∵a+b＜0且a＞0，b＜0，∵|a|＜|b|，∵数a、b在数轴上距离原点较近的是a，故∵正确；∵正数和0的绝对值等于它本身，负数小于它的绝对值，故∵正确；∵a=0时，-|a|=0，故∵错误；∵若|a|+a=0，则a是非正数，故∵正确．故选B．。