图 8-5 长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量
26
（2）列出单元体的静力平衡方程 沿x方向列出单元体的静力平衡方 程，即
F x x d x l h x l h 2 fld 0x
dx 2f 0
dx h
27
（3）代入摩擦条件 假设接触表面上的摩擦切应力服 从库仑摩擦定律，即
f mk
l
p
P
y
f
h
x
x+dx
0x
x
dx
P
b
f
图 8-5 长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量
10
（1）切取单元体
P y
f
Hale Waihona Puke h0x bx
x+dx
x
dx
P f
图 8-5 长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量
11
（2）列出单元体的静力平衡方程 沿x方向列出单元体的静力平衡方 程，即
F x x d x l h x l h 2 fld 0x
28
（4）引用屈服准则 工程上习惯将工具作用在变形体 上的单位压力p取为正值。沿y方 向列平衡方程：
pldx+σyldx=0 p= -σy
29
xyxp 2k
根据应力应变顺序对应规律εx>εy， 所以，σx>σy，因此，屈服准则式 变为如下形式，即
xyxp2k
30
将上式微分，可得dσx= -dp，
66
由图中几何关系可得 dx dh
2tan
为了确定pn与σx之间的关系，首先需要找 pn与σh之间的关系，为此沿h坐标轴方向 列出静力平衡方程，即
h ld p n x c do lx cso s p nc do lx ssi n 0
67
hp n p nta n 0
对于大多数拉拔过程，模具的半锥角α是 比较小的，并且润滑条件也较好，因此， 摩擦系数μ很小，上式中的μtanα远小于1， 可略去。则有
模具上的压力分布，即
pn2kxB 1 h h 0 B2k1B x0B 2k
71
当h=h1时，σx=σx1， σx1称为拉拔应力，即
x1B 1 h h1 0 Bx0B2k1B2k1B
72
拉拔时的变形量通常用面缩率r来表 示，在平面应变条件下，面缩率r可 用下式来表示，即
dp 2mk0 dx h
31
（5） 积分并确定积分常数
p2mkxC h
32
根据应力边界条件定积分常数。
当x=b/2时，σx=0，由屈服准则式
可知：
p xb 2k
x p2k
2
C2k2mkb h2
33
p2k2mkbx h 2
34
（6）求变形力P 变形力可由下式求出，即
b
b
P20 2pldx 4k0 2l km h b 2 kx d x2kl 1 b m 4h b
8.4.4 拉拔 8.4.4.1平面应变拉拔
h
dh/2 α
σx0
σx1
o x
x
pn τf
σx dx σx+dσ σh
τf pn
63
图 8-7 宽带材平面应变拉拔及单元体上的应力分量
（1）拉拔应力
h1 h h0 h h+dh
h
dh/2 α
pn τf
σx1
o x
σx0 x
σx dx σx+dσx σh
p rR
s
2
R
C se h
60
2(Rr)
p se h
变形力为:
R
R 2(R r )
P 2rp d seh r 2r
0
0
d 2 r sh 2 2 e 2 h R 1 2 hR
61
平均压力为:
pR P22Rs2h 22e2h R12h R
62
h1 h h0 h
xyxp2k
43
将上式微分，可得dσx= -dp，
dp 2mk0 dx h
44
（5） 积分并确定积分常数
p2mkxC h
45
根据应力边界条件定积分常数。 当x=b/2时，σx=-q，由屈服准则式 可知：
pxb 2kq xp2k 2
C(2kq)2mkb h2
46
p2(kq)2mkbx h 2
dr 2f r 0
dr h r
52
d r
dr r
dr r
d2r 2 d r r2rd r r
dr d r
53
dr 2f r 0
dr h r
r
dr 2f 0
dr h
54
假设接触表面上的摩擦切应力服 从库仑摩擦定律，即
f p
dr 2p 0
dr h
55
r z s
r 2 z 2 z r 2 2 s 2 r
r h0 h1 100% h0
x 1 B 1 2 k 1 B 1 r B 2 k 1 B x 0 B
dx 2f 0
dx h
12
（3）代入摩擦条件 假设接触表面上的摩擦切应力服 从库仑摩擦定律，即
f p
13
（4）引用屈服准则 工程上习惯将工具作用在变形体上的 单位压力p取为正值。沿y方向列平衡 方程：
pldx+σyldx=0 p= -σy
14
xyxp 2k
根据应力应变顺序对应规律εx>εy，所 以，σx>σy，因此，屈服准则式变为如 下形式，即
x y 2k
6
对于轴对称问题，习惯用屈服应 力σs表示，即
r z s
7
（4）接触表面上的摩擦切应力分 布采用简单的模型，例如库仑摩 擦模型和常摩擦力模型式等。
8
8.4.2 长矩形板镦粗问题
p
P
y
f
h
0x b
x
x+d
x
dx
P f
图 8-5 长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力9 分量
假设矩形板长度l 远大于高度h和宽 度b，则可近似地 认为矩形板沿长度 方向的变形为零， 由此可将长矩形板 镦粗视为平面应变 问题。
h1
V h1
W Pdh p dh
h0
h h0
22
h1
W
h0
2bkhebh
1Vhdh
根据体积不变条件，可得b=V/lh，可 得
W
2k
lh1
h0
V elh2
1hdh
23
8.4.2 长矩形板镦粗问题
p
P
y
f
mk f
x
x+d
0x
x
dx
h
P
b
f
图 8-5 长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力24 分量
pn h
68
根据应力应变顺序对应规律可知， εx>εh， 则σx>σh，可得
x hxp n2 k
B tan
xBd2kx1Bdhh
69
xB2k1B CBh
应力边界条件为：当h=h0时，σx=σx0，代 入上式，可得积分常数，即
Ch10Bx0B2k1B
70
xB 1 2k1B h h 0 B2k1Bx0B
8.4 主应力法
主应力法作为求塑性加工问题近似解的一 种方法，在工程上得到了广泛的应用。该 方法是以均匀变形假设为前提，将偏微分 应力平衡方程简化为常微分应力平衡方程， 将米塞斯屈服准则的二次方程简化为线性 方程，最后归结为求解一阶常微分应力平 衡方程问题，从而获得工程上所需要的解。
1
主应力法的数学运算是比较简单的，由此 可以确定材料特性、变形体几何尺寸、摩 擦系数等工艺参数对变形力、变形功的影 响；可确定可能的最大变形量、最小可轧 厚度、镦粗或轧制时的中性面位置等。但 是，由于上述基本假设的限制，采用主应 力法无法分析变形体内的应力分布。 主应力法又称切块法、初等解析法、力平
xyxp2k
15
将上式微分，可得dσx= -dp，
dp 2p 0
dx h
16
（5） 积分并确定积分常数
dp 2p 0
dx h
2 x
p Ce h
17
根据应力边界条件定积分常数。
当x=b/2时，σx=0，由屈服准则式
可知：
p xb 2k
x p2k
2
2 b
C 2keh 2
18
2 bx
p 2keh 2
dx 2f 0
dx h
40
（3）代入摩擦条件 假设接触表面上的摩擦切应力服 从库仑摩擦定律，即
f mk
41
（4）引用屈服准则 工程上习惯将工具作用在变形体 上的单位压力p取为正值。沿y方 向列平衡方程：
pldx+σyldx=0 p= -σy
42
xyxp 2k
根据应力应变顺序对应规律εx>εy， 所以，σx>σy，因此，屈服准则式 变为如下形式，即
τf pn
图 8-7 宽带材平面应变拉拔及单元体上的应力分量
64
沿坐标方向列出单元体的静力平衡方 程，即
x d x h d l h x h 2 p l n c do ls xi s 2 n fc dl o c xs o 0
h
dh/2 α
pn τf
σx1
o x
σx0 x
σx dx σx+dσx σh
35
（7）求平均压力
pP2k1mb lb 4h
36
8.4.2 长矩形板镦粗问题
y p f mP k f
h
0x
q