K dx ( h K x ) d 0 即： 2 b 1 y
K 2 d dx y h K x b 1
倾斜砧板问题

平衡方程积分
K 2 d dx y h K x b 1
当 x x 时 , e y ye
K 1
K 2 ln( h xK ) C y b 1 K 1
tan 代入 tan l y u y
(tan tan ) dx hd 2 dx x x
(tan tan ) dx hd 2 dx x x
2 2 (tan tan ) dx (tan tan ) dx 0 y
2 2 y
(tan tan ) dx (tan tan ) dx 0
倾斜砧板问题

平衡方程简化
(tan tan ) dx [ h (tan tan ) x ] d 2 dx x b x
2 2 y
(tan tan ) dx (tan tan ) dx 0
第五章 主应力方法
第一讲 平面问题主应力法
第一讲 平面问题主应力法
主应力法基本原理 平行砧板镦粗问题 倾斜砧板镦粗问题
主应力法的基本原理
塑性力学分析的目的 1.确定变形力(功),合理选用设备、设计模具、制定工 艺 2.分析金属流动规律，合理选用毛坯尺寸、设计型腔
主应力法的基本原理
塑性力学分析的基本方法
h h (tan tan ) dx d h d (tan tan ) dx 2 dx tan dx tan dx 0
x x x x x u l
(tan tan ) dx d h 2 dx tan dx tan dx 0 x x u l
平行砧板问题

平均流动应力
2 mK ( x x ) y e ye h
单位流动压力：
P 1 x 1 x mK e e 2 p dx [ ( x x ) ] dx y e ye 0 0 A x x h e e mKx 1 mK 1 x 2 x e e e ( 2 x x x ) | | e 0 ye 0 ye x h x h e e

倾斜砧板问题

平衡方程简化
(tan tan ) dx d h 2 dx tan dx tan dx 0 x x u l

2 2 tan dx tan dx tan dx tan dx 0 y y
3. 忽略摩擦切应力的影响，认为基元体上的应力为主应力，塑性条件简化。
2 2 2 ) 4 4 K 平面应变： ( x y xy
2 K x y
主应力法：以主应力表示的近似平衡方程与近似塑性 条件联解以求接触面上应力分布的一种方法。
主应力法的基本原理
主应力方法的本质
2 Y 3
由近似塑性条件 y x
d d y x
2 Y (tan tan ) dx [ h (tan tan ) x ] d b y 3 2 2 2 dx (tan tan ) dx 0
倾斜砧板问题

平衡方程简化
主应力法又称切块法、切片法、切条法 实质：平衡微分方程和塑性条件联解
ij 0 x j
f( C ij)
主应力法的基本原理
主应力方法的适用范围
镦粗型流动：金属流动方向⊥模具运动方向；
挤压型流动：金属流动方向∥模具运动方向。 常见的金属流动类型：
纵 平面应变的 横 轴对称的
纵 横
向流动 向流动
镦粗型（平面应变镦粗） 挤压型（平面应变挤压）
镦粗型（轴对称镦粗） 挤压型（轴对称挤压）
平行砧板问题

例一
例一：平行砧板间的平面应变镦粗
设 mK , K Y /3
求：变形力和平均应力
平行砧板问题

列平衡方程
对基元板块，列平衡方程：
P lh ( d ) lh 2 ldx 0 x x x x
ij 0 （3个） x j
f( C（1个） ij)
d ij ( du 1 ( du j) i) d （6个） d （6个） ij ij ' 2 x x j i
ij,du 未知量： ij,d i 共15 个
各方程不完全独立，且为偏微分无摩擦时(τ=0),如 直线mn所示。 2 mK ( x x ) y e ye σy=2K h Δgmn为τ引起的σy 1. 若xe为相邻变形区边界，则σye, σy,由边界条件定； 增加值。 2. 若xe为自由表面，σxe=0,则σye=2K。
讨论分析
2 2 K ( Y ) 当x=xe时， y ye 3 2 mKx e x=0 时， y ye h
整理 h ( d )[ h (tan tan ) dx ] 2 dx x x x
tan dx tan dx 0 u l
倾斜砧板问题

局部平衡条件
由静力平衡关系：ΣPy=0
tan 同理： tan u y l y
K K 2 2 ln( h x K ) C ln[ h x (tan tan )] C 即 ye b e 1 b e K 1 K 2ln h C e K 1
代入原式
h K e 2 ln( ) y ye K h xK 1 b 1
平行砧板问题

求解微分方程
2 2 mK d dx dx y h h
2 mK x C y h 当 x x 时 , , e y ye 2 mK 则 x C ye e h 2 mK C x ye e h
2 mK 得： ( x x ) y e ye h
倾斜砧板问题

平衡方程简化
(tan tan ) dx hd 2 dx x x
2
(tan tan ) dx (tan tan ) dx 0 y
2
代入 h h (tan tan ) x b
(tan tan ) dx [ h (tan tan ) x ] d 2 dx x b x

讨论

平面挤压问题的变形力
讨论
h K 2 ln( e ) y ye K h xK 1 b 1
2 l n ( x
K K 1
w e ) x e w y K b 1
讨论
w K e 2 l n ( ) x x e K w y K 1 b 1
2 x - y Y 3

dx cos cos
l
dx sin cos
倾斜砧板问题

平衡方程
xh (x dx )[h (tan tan)dx ] dx dx cos cos cos cos
u dx dx sin l sin 0 cos cos
2K
g m
y
n
b
平行砧板问题

讨论分析
与材料有关 与摩擦系数有关 与边界条件有关 与几何形状有关
mKx e p y e h
宽度b,高度h的工件平面自由镦粗时： m b 2 K [ 1 ( x )] y h2 mb p2 K ( 1 ) 4h
倾斜砧板问题

角度定义
w 2 K 2 e 2 =Y l n ( ) - Y x x x e K 3 K 3 1 wy b 1
当 y=ye时
ye 0
2 xe - ye Y 3
xe
2 Y 3
讨论
w 2 K 2 e 2 =Y l n ( ) - Y x x x e K 3 K 3 1 wy b 1
倾斜砧板问题

平均应力求解
h K e 2 ln( ) y ye K h xK 1 b 1
x x h P1 1 e eK e 2 p dx [ ln( ) ] dx y ye 0 0 A x x K xK e e 1 h b 1
K 1 K 2 2 p [ h (ln h 1 ) h (ln h 1 )] ( h ) e e b b ye ln e 2 K x K 1 e 1
为了使推导的 σy和p 的计算公式适合于 所有类型，规定α,β 的正负号： α,β使流道变宽为 正，且 tan(- α)=-tan(α)
倾斜砧板问题

平衡方程
xh
( ) [ ( t a nt a n )] d x x dh x
dx dx sin cos u cos cos

x x
h ( d ) h 2 d x 0
x
整理
2 d x dx h
平行砧板问题

带入近似屈服条件
2 d x dx h
由近似塑性条件： y x 2K 得
d d x y
2 2 mK d dx dx y h h
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
1. 把问题简化成平面问题或轴对称问题；或看成两者的拼合；
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设