v
y y
w
z z
xy
yx
1 2
u
y
v
x
yz
zy
1 2
v
z
w
y
zx
xz
1 2
w
x
u
z
x
x
1 2
y z
y
y
1 2
z
x
z
z
1 2
x y
xy
3 2
xy
yz
3 2
yz
zx
3 2
zx
x
(u) x
y
(v) y
xy
yx
1 2
P
R
p2 rdr
0
R 0
Y
Y h
R
r
2
rdr
Y
R2
1
1 3
R h
将镦粗力除以接触面面积，即得平均单位压力公式：
(u)
y
(v) x
x
x
1 2
y z
y
y
1 2
z
x
xy
3 2
xy
金属塑性成形的力学解析方法
第四章 主应力法 第五章 滑移线解法 第六章 上限法、有限元法等
第四章 金属塑性成形基本工序 的力学分析及主应力法
4.1 主应力法基本原理 4.2 圆柱体镦粗 4.3 平面压缩矩形件 4.4 平辊轧制 4.5 挤压 4.6 拉拔
r h 设σr仅随r轴变化而与z轴无关，即：
r 0, r d r
z
r dr
d r Y 0
dr h r z Y
d z Y 0
dr h
d r d z
z P
σz τf=K=0.5Y
h
τzr
σr
σr +dσr
r
d z
Y h
dr
z
Y h
r C
D=2R P
στfz=K=0.5Y
代入边界条件，求得积分常数
4.2 圆柱体镦粗
1 全滑动摩擦条件下的镦粗力计算 2 全粘着摩擦条件下的镦粗力计算 3 混合摩擦条件下的镦粗力计算
1 全滑动摩擦条件下的镦粗力计算
全滑动即假设在整个接触表面上有相对滑动，其摩擦符合 库仑摩擦条件。
r 1 r zr r 0
r r z
r
r z 0
塑性力学问题——一般三维问题
x
x
yx
y
zx
z
0
xy
x
y
y
zy
z
0
xz
yz
z
0
x y z
u
x x
y
v
y
w
z z
xy
yx
1 2
u
y
v
x
yz
zy
1 2
v
z
w
y
zx
xz
1 2
w
x
u
z
x
x
1 2
y z
y
y
1 2
z
x
z
Y h
r
C
r z Y
在r =R处，有σr =0，代入屈服条件，则：
z Y
解得
z
P
σz
C Y Y R h
z
Y
Y h
R r
τf=K=0.5Y
h
τzr
σr
σr +dσr
r
p
z
Y
Y h
R r
D=2R P
στfz=K=0.5Y
镦粗力及平均单位压力公式
p
z
Y
Y h
R r
将单位压力在接触面上积分，即得镦粗力公式：
h
τzr
σr
σr +dσr
r
d z 2 z 0
dr h
D=2R P
σz τf=μσz
d z 2 z 0
dr h
ln z
2
h
r
ln C
d z 2 dr
z
h
2 r
z Ce h
r |rR 0
2 R
C Ye h
r z Y
z Y
z P
σz τf=μσz
h
τzr
σr
σr +dσr
r
塑性成形理论的根本任务
研究不同形状和性能的坯料，在不同形状的工模具和不同外 力作用下发生塑性变形时的应力、应变和流动状态。 知道坯料塑性变形时的应力状态，即可计算出其变形力和 功能消耗，为合理选择成形设备和合理设计模具提供依据； 根据变形体的应力状态，可分析变形过程中材料产生裂纹 的可能性，为防止开裂提供解决思路； 知道坯料塑性变形时的应变和流动状态，可预测变形体的 形状尺寸变化和模腔内金属的充填情况，从而为合理确定原 毛坯或预成形坯形状、工模具形状和优化工艺过程提供科学 依据。
2 全粘着摩擦条件下的镦粗力计算
全粘着即假设在整个接触表面上没有相对滑动，其摩擦符 合最大摩擦条件。
r zr 0
r z
f K 0.5Y
设切应力在z向线性分布
zr
2K h
z
Y h
z
r Y 0
r h
z P
σz τf=K=0.5Y
h
τzr
r
D=2R P
τf=K=0.5Y σz
r Y 0
ห้องสมุดไป่ตู้
r
r zr 0
r z
f z
设切应力在z向线性分布
zr
2 z
h
z
h
r 2 z 0
r h
z P
σz τf=μσz
τzr
r
D=2R P
σz τf=μσz
r 2 z 0
r h
设σr 仅随r轴变化而与z轴无关，即：
r 0, r d r
z
r dr
d r 2 z 0
z
z
1 2
x y
xy
3 2
xy
yz
3 2
yz
zx
3 2
zx
应力边界条件 位移边界条件
塑性力学问题——平面问题
x x
yx y
zx z
0
xy x
y y
zy z
0
xz
yz
z
0
x y z
x
x
yx
y
0
xy
x
y
y
0
u
x x
z
Y
exp
2
h
R r
D=2R P
σz τf=μσz
单位压力分布公式
z
Y
exp
2
h
R r
此即接触面正应力分布公式，该应力为压应力，故写为：
p
z
Y
exp
2
h
R r
称接触面单位压力分布公式。
p
z
P τf
另外可得接触面摩擦应力分布为：
f
z
Y
exp
2
h
R
r
h
r
D=2R P
镦粗力及平均单位压力公式
dr h
z P
σz τf=μσz
h
τzr
σr
σr +dσr
r
D=2R P
σz τf=μσz
简化屈服条件
对σr =σθ的轴对称问题，其屈服准则为
r z 2 3 zr2 Y 2
为简化求解，在应用屈服准则时不考虑切应力影响，即认
为坐标方向即为主方向:
r z Y
z P
σz τf=μσz
d r d z
4.1 主应力法的基本原理
主应力法的实质是将应力平衡微分方程和塑性条件 联立求解。又叫工程法、切块法、初等解析法。
为使问题简化，采用下列基本假设：工件均质、各 向同性、初应力为零、体积力为零、体积不变。
把问题简化成平面问题或轴对称问题。 简化塑性条件。 简化平衡方程。 简化接触摩擦条件。 简化变形区几何形状。
p
z
Y
exp
2
h
R r
将单位压力在接触面上积分，即得镦粗力P：
P
R
0
p2
rdr
R
0 Y
exp
2
h
R
r
2
rdr
2 Y
h
2
2
2R e h
2R
h
1
R2Y
1
3
2R h
平均单位压力公式：
p
P
R2
Y
1
3
d h
ex 1 x 1 x2 1 x3 2! 3!
p d
n Y 1 3 h