2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）全解全析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．3Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10答案：选Ｂ解析：由展开式通项有()21323rn rr r nT Cx x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2532r r n r n rn C x--=⋅⋅-⋅ 由题意得()52500,1,2,,12n r n r r n -=⇒==-，故当2r =时，正整数n 的最小值为5，故选Ｂ点评：本题主要考察二项式定理的基本知识，以通项公式切入探索，由整数的运算性质易得所求。

本题中“ 非零常数项”为干扰条件。

易错点：将通项公式中rn C 误记为1r n C +，以及忽略0,1,2,,1r n =-为整数的条件。

2．将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭答案：选Ａ解析：法一 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点()''',P x y ，(),P x y ，则π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a ()''',P P x x y y ==--'',24x x y y π⇒=+=+，带入到已知解析式中可得选Ａ法二 由π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移的意义可知，先向左平移4π个单位，再向下平移2个单位。

点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为简单题。

易错点：将向量与对应点的顺序搞反了，或死记硬背以为是先向右平移4π个单位，再向下平移2个单位，误选Ｃ3．设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，A BC D A 1B 1C 1D 1 那么P Q -等于（ ） Ａ．{}|01x x <<Ｂ．{}|01x x <≤Ｃ．{}|12x x <≤ Ｄ．{}|23x x <≤答案：选Ｂ解析：先解两个不等式得{}02P x x =<<，}{13Q x x =<<。

由P Q -定义，故选Ｂ点评：本题通过考察两类简单不等式的求解，进一步考察对集合的理解和新定义的一种运算的应用，体现了高考命题的创新趋向。

此处的新定义一般称为两个集合的差。

易错点：对新定义理解不全，忽略端点值而误选Ａ，以及解{}2|log 1P x x =<时出错。

4．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m '和n '，给出下列四个命题： ①m n m n ''⊥⇒⊥； ②m n m n ''⊥⇒⊥； ③m '与n '相交⇒m 与n 相交或重合；④m '与n '平行⇒m 与n 平行或重合． 其中不正确的命题个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：选Ｄ解析：由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，可知①②③④均错, 具体可观察如图的正方体：AC BD ⊥但11,A C BD 不垂直，故①错；11A B AB ⊥但在底面上的射影都是AB 故②错；,AC BD 相交，但1,A C BD 异面，故③错；//AB CD 但11,A B C D 异面，故④错点评：本题主要考察空间线面之间位置关系，以及射影的意义理解。

关键是要理解同一条直线在不同平面上的射影不同；线在面内，线面平行，线面相交的不同位置下，射影也不相同。

要从不用的方向看三垂线定理，充分发挥空间想象力。

易错点：空间想象力不够，容易误判③、④正确，而错选Ｂ或Ｃ5．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ ） A ．0 B ．1 C ．pqD ．11p q -- 答案：选C解析：法一 特殊值法，由题意取1,2p q ==，则211111lim lim lim 12122111pq n n n n p n n n q n n n ∞∞∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭====+⎛⎫++- ⎪⎝⎭→→→，可见应选C 法二()()()()()2111111111mm x x x x x --++++++++=-+()()()()21111111mm x x x x x -⎡⎤∴+-=++++++⎣⎦令1x n=，m 分别取p 和q ，则原式化为 212111111111111lim lim 11111111111p pq q n n n n n n n n n n n n --∞∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦→→21111lim 11,lim 11,,lim 11,p n n n n n n -→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以原式=111111pq+++=+++（分子、分母1的个数分别为p 个、q 个） 点评：本题考察数列的极限和运算法则，可用特殊值探索结论，即同时考察学生思维的灵活性。

当不能直接运用极限运算法则时，首先化简变形，后用法则即可。

本题也体现了等比数列求和公式的逆用。

易错点：取特值时忽略p 和q 是两个不相等．．．的正整数的条件，误选B ；或不知变形而无法求解，或者认为是型而误选B ，看错项数而错选D 6．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案：选B解析：由等比数列的定义数列，若乙：{}n a 是等比数列，公比为q ，即221121n n n n a a q q a a +++=⇒=则甲命题成立；反之，若甲：数列{}n a 是等方比数列，即221121n n n na a q q a a +++=⇒=±即公比不一定为q ， 则命题乙不成立，故选B点评：本题主要考察等比数列的定义和创新定义的理解、转换。

要是等比数列，则公比应唯一确定。

易错点：本题是易错题。

由2112n n n na a p a a ++=⇒=，得到的是两个等比数列，而命题乙是指一个等比数列，忽略等比数列的确定性，容易错选C7．双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的准线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于 （ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．12答案：选A解析：由题设可知点M 同时满足双曲线和抛物线的定义， 且在双曲线右支上,故 由定义可得12212MF MF a MF MD c MF MDa ⎧⎪-=⎪=⎨⎪⎪=⎩21222,ac a MF MF c a c a⇒==-- 故原式222122acc c a c c a ac a a a c a c a--=-=-=--- ，选A 点评：本题主要考察双曲线和抛物线的定义和性质，几何条件列方程组，消元后化归曲线的基本量的计算，体现数形结合方法的重要性。

易错点：由于畏惧心理而胡乱选择，不能将几何条件有机联系转化，缺乏消元意识。

8．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ， 且7453n n A n B n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5答案：选D解析：由等差数列的前n 项和及等差中项，可得()()()()()()121121121121112122112122n n n nn n a a n a a a b b b n b b ----+-+==+-+ ()()21217214514387191272132211n n n A n n B n n n n ---+++=====+-++++()n N *∈， 故1,2,3,5,11n =时，nna b 为整数。

故选D点评：本题主要考察等差数列的性质，等差中项的综合应用，以及部分分式法，数的整除性 是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用。

易错点：不能将等差数列的项与前n 项和进行合理转化，胡乱选择。

9．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．56答案：选C解析：由向量夹角的定义，图形直观可得，当点(),A m n 位于直线y x =上及其下方时，满足0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，，点(),A m n 的总个数为66⨯个，而位于直线y x =上及其下方的点(),A m n 有111123456121C C C C +++++=个，故所求概率2173612==，选C 点评：本题综合考察向量夹角，等可能事件概率的计算以及数形结合的知识和方法。

易错点：不能数形直观，确定点的位置，或忽略夹角范围中的2π，而误选A 10．已知直线1x ya b+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A ．60条 B ．66条 C ．72条 D ．78条 答案：选A解析：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆22100x y +=上的整数点共有12个，分别为()()()6,8,6,8,8,6±-±±，()()()8,6,10,0,0,10-±±±，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成21266C =条直线，其中有4条直线垂直x 轴，有4条直线垂直y 轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条。