0.9 1 0.2 0.3 1 0.9 0.1 I J 6 7 8 9 10 11 12 可得 0.3 0.9 1 0.9 0.2 0.1 I J 15 16 17 18 19 20
若取λ =0.9作水平截集，则工程最有可能在16～18天完成
隶属函数：
xa a xb bxc cxd dx
高斯隶属函数（正态分布）：
1 x c 2 ( ) 2
f(x;c , ) e c代表MF的中心；通常为正，决定 MF的宽度。
钟形隶属函数：
f ( x; a, b, c)
1 1
x c 2b a
隶属函数参数化：
以钟形函数为例：
Q：从一堆沙粒中取出一颗沙，剩下的仍然是一堆；再取 一粒，剩下的还是一堆；一直取下去，最后还剩一粒沙， 那它还算是一堆吗？如果这不能算一堆，那何时停止取 沙，剩下的才能算一堆呢？
二值逻辑&经典集合论：此题无解（现实中所有在实践 上连续变化的事物和现象都存在这种矛盾）
多值逻辑&模糊集合论：很简单，随着每取走一粒沙， 沙堆在“堆”的集合中的隶属度越来越小，它从1开始， 慢慢减少到0.8、0.6、0.2直到0。
★ 波兰逻辑学家 J. Lukasewiez 在1920年首先 扩展出了三值逻辑。 用1表示真，0表示家假，另外1/2表示可能性。
在二值逻辑中一旦插入第三个逻辑值，那就可以插入任意多个逻 辑值，这就构成了多值逻辑。 实际上这就是模糊逻辑的亚结构。 通过多值逻辑就可以表示一个命题的真的程度，这就为更精确地 进行逻辑判断提供了基础和条件。
并集：C=A∪B，μC(xi)=max(μA(xi),μB(xi))=μA(xi)μB(xi)
交集：C=A∩B，μC(xi)=min(μA(xi),μB(xi))=μA(xi)μB(xi)
水平截集
定义：给定论域 U上的模糊集合A，对于任意实数∈[ 0，1]，由 μA(x)≥的元素组成的一个普通集合，称为模糊集A的 水平截集。 一般记作A ， 称为阈值。如：
论域 U
集合 A
集合 B
集合 C通集合和模糊集合定义“儿童”，论域 U=[0，10]， 年龄用 x 表示。
普通集合：
CA(x)
C A ( x) 1
1
模糊集合：
3
6
9 10
μA(x)
A ( x) 1
1
6
10
表示方法:
设论域 U 中的模糊集合A，有: μA(x1)=0.85; μA(x2)=0.75; μA(x3)=0.98; μA(x4)=0.30;
模糊逻辑与模糊控制
Fuzzy Logic & Fuzzy Control
模糊逻辑
Fuzzy Logic
模糊逻辑
★ 通过模仿人的思维方式来表示和分析不确定、不精确的 信息的方法和工具。 ★模糊逻辑本身并不模糊，它并不是“模糊的” 逻辑，而 是用来对“模糊”（现象、事件） 进行处理的，以达到 消除模糊的目的。
特点：
• 是多值逻辑，是对二值逻辑的扩展 • 元素可以部分地属于一个集合
• 命题可以“亦此亦彼”、“非此非彼”
模糊集合：
论域U中的模糊子集A是以 隶属函数μA表征的集合。 A由以下映射确定： μA : U→[0,1] , u→μA(u)
μA：模糊子集 A 的隶属函数 μA(u)：u 对 A 的隶属度，表示论域 U中的元素 u 属于其模糊子集 A 的程 度，在 [0,1] 闭区间内可取连续值。 μA(u) 越接近1，u 隶属于 A 的程度越 高，μA(u) 的取值变为 {0,1} 时，μA(u) 就蜕化成普通集合的特征函数，A就 蜕化成普通集合。
bell ( x; a, b, c)
1 1
x c 2b a
a,b,c,的几何意义如图所示。
斜率=-b/2a
c-a
c
c+a
改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
确定隶属函数：
1. 模糊统计法： 2. 主观经验法： 3. 神经网络法： 4. 二元对比法：
u0 A的次数 u0对模糊集A的隶属度＝ 试验总次数
直接根据经验判断给出典型函数模型
“高个子”是模糊集合，“1.80m以上的人”却是普通集合
μA(x)
A ( x) 1

A(x)
核( A) { x | A ( x )＝1} 支集( A) { x | A ( x ) 0}
截集 支集
例：有一项工程分为两阶段，第一阶段大约6～8天可完成， 第二阶段大约9～12天可完成。若设第一阶段6～8天完成 的可能性分别为0.9,1,0.2；第二阶段9～12天完成任务的可 能性分别为：0.3,1,0.9,0.1，试问工程最有可能在哪几天完 成？ 解：如用区间数表示，则为 [6，8] + [9，12] = [6+9，8+12] = [15，20] 即共需15 ~ 20天可完成全部任务，有：
向量法： A={0.85,0.75,0.98,0.30}
0.85 0.75 0.98 0.30 Zadeh法： A x1 x2 x3 x4
积分符号法: 隶属函数法:
AU

A ( xi )
xi
例如以年龄为论域U [0， 100]，则“年老”的隶属 函数 0 x [0,50] 1 （x) x (50,100) 25 年老 1 2 (x 50)
三角形隶属函数：
0 xa ba f ( x; a, b, c) c x c b 0 xa a xb bxc cx
梯形隶属函数：
0 xa ba f ( x, a, b, c, d ) 1 d x d c 0
运算：
相等：当且仅当μ A(xi)=μ B(xi)，则A＝B 子集：若μ A(xi)≤μ B(xi)，则AB 空集：若 U上的所有元素μ A(xi)＝0，则A为空模糊集 全集：若 U上的所有元素μ A(xi)＝1，则A为全集
设A、B为两个模糊子集，对于任意x,有
余集：μA(xi)＋μB(xi)＝1则B称为A的余集， 记为 A