1—1 代数式的恒等变换方法与技巧一、代数式恒等的一般概念定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。

字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。

对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。

定义2 如果两个代数式A、B，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B。

两个代数式恒等的概念是相对的。

同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但x=，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。

因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。

定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。

代数式的变形，可能引起定义域的变化。

如lgx2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，2lgx的定义域是(0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx2=2lgx。

由lgx2变形为2lgx时，定义域缩小了；反之，由2lgx变形为lgx2时，定义域扩大了。

这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。

由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。

例1：设px=有实根的充要条件，并求出所有实根。

由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。

这样可避免增根和遣根的出现。

解：原方程等价于222(0,0x p xx x⎧-=-⎪⎨-≥≥⎪⎩222222(4)4448(2)441330440,0pxx p px xx x p x⎧-=⎪⎧=+--⎪⎪⎪⎪⇔≤≤⇔≤⎨⎨⎪⎪≥⎪⎪+-≤≥⎩⎪⎩222(4)8(2)44,043pxppx x⎧-=⎪⎪-⇔⎨-⎪≤≤≥⎪⎩由上式知，原方程有实根，当且仅当p满足条件24(4)4448(2)33p ppp--≤≤⇔≤≤-这说明原方程有实根的充要条件是43p≤≤。

这时，原方程有惟一实根x=。

二、恒等变换的方法与技巧恒等变换的目的是使问题变得简单，便于求解。

因此，式的恒等变换是根据需要进行的，根据不同问题的特点，有其不同的规律性。

1．分类变换当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。

分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。

例1：当x取什么样的实数值时，下列等式成立：（a=；（b1=；（c2 =。

解：(0) m m=≥记方程左边为f(x)，则()f x=11|1|112xx≥==≤≤由此可知，当m=时，原方程的解集为1[,1]2；当m∈时，解集为∅；当)m∈+∞时，m=，解得21(2)4x m=+。

即当)m∈+∞时，原方程的解集为21{(2)}4m+。

例2：在复数范围内解方程组2225553,3,3.x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解：考虑数列*,n n nna x y z n=++∈N。

不难证明此数列满足递推式321()()n n n na x y z a xy yz zx a xyza+++=++-+++，其中1253,3a a a===。

利用基本恒等式，得2121()32xy yz zx a a++=-=，312311[()]33xyz a a a xy yz zx a=--++=，∴{}na的递推式化为*3213133,3n n n na a a a a n+++=-+⋅∈N由此得432313543323113349,33102733a a a a a a a a a a a a=-+⋅=---+⋅=-由53a=，得310273a-=，∴33a=。

∴3113xyz a==。

综上所述知，原方程组等价于3,3,1.x y zxy yz zxxyz++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩由韦达定理知，x，y，z是关于t的三次方程333310t t t-+-=的三根，此三次方程即3123(1)0,1t t t t-=∴===，这说明原方程组在复数范围内的解集为{（1，1，1）}。

注：此题还可以利用三次单位根12ω=-+的性质来解。

2．利用对称性定义4 一个n 元解析式12(,,,)n f x x x 称为对称式，当且仅当对于任意的i ，(1)j i j n ≤<≤都有11(,,,,,,)(,,,,,,)i j n j i n f x x x x f x x x x ≡。

由定义可知，对称式的各变元所处的地位相同，因此，一个对称式12(,,,)n f x x x 具有下列性质：（1）若对于变元x 1，x 2，f 具有性质p ，则对于任意的变元,,i j x x f 也具有性质p 。

（2）对于x 1，x 2，…，x n 的任意排12,,,i i in x x x ，有1212(,,,)(,,,)i i in n f x x x f x x x =，因此，对于讨论f 具有某一性质时，可不妨设12n x x x ≥≥≥。

定义5 一个n 元解析式称为轮换对称式，当且仅当x 2代x 1，x 3代x 2，…，x n 代x n-1，x 1代x n 时有12231(,,,)(,,,,)n n f x x x f x x x x ≡。

显角，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。

例如，x 2y+y 2z+z 2x 是轮换式，但不是对称式。

因此，对称式所具有的性质（1）、（2）对轮换式一般不成立。

由轮换的特点，在解题中，为了方便起见，我们可指定变元中x 1最大（或最小）。

例3：设x ，y ，z>0，求证(x+y+z)5-(x 5+y 5+z 5)≥10(x+y)(y+z)(z+x)(xy+yz+zx)等号成立当且仅当x=y=z 。

证：令5555(,,)()()f x y z x y z x y z =++-++。

易知(,,f x y z ）是对称式。

∵当x+y=0时，f(x ，y ，z)=0，∴()|(,,)x y f x y z +。

从而()|,()|y z f z x f ++， ∴()()()|x y y z z x f +++。

注意到f 是关于x ，y ，z 的五次齐次式，故可设222(,,)()()()[()]()f x y z x y y z z x A x y z B xy yz zx =++++++++,令0,1,1x y z ===，得2A+B=15。

令1x y z ===，得A+B=10。

因此，A=B=5。

∴222(,,)5()()()()f x y z x y y z z x x y z xy yz zx =++++++++注意到,,0x y z >，且222x y z xy yz zx ++≥++，得(,,)10()()()()f x y z x y y z z x xy yz zx ≥+++++等号成立的条件为x y z ==。

例4：设a ，b ，c 是三角形的边长，证明222()()()0a b a b b c b c c a c a -+-+-≥并说明等号何时成立。

证：令欲证不等左边为(,,)f a b c ，则易证(,,)f a b c 为轮换式（非对称）。

故可设,a b c ≥。

注意到0b c a +->，则可先考虑将f 中分离出一个含b+c-a 的非负式子。

事实上222()()[()]()f a b a b b c b c c b b a c a =-+-+-+-2222()()()()(2)()()c b a b c a ab b c ab c a c b a b a b b c b c =-+---+--+-+-再令222*()()(2)()()f ab b c ab c a c b a b a b b c b c =--+--+-+- 令a c =，有222*()()()0f bc b c c b c b b c b c =--+-+-=令a b =，有2222*()()(2)()0f b b c b c b c b b c b c =--+--+-=∴**|,|a c f a b f --。

又*|b f ，∴*()()b a c a b f --+。

注意到*f 关于c 是二次式，a ，b 是三次式，故可设*()()()f b a c a b xa yb zc =--++令b=c ，得22*()()[()]f ab a c b a c xa y z b =-≡-++， ∴()a xa y z b ≡++，∴0,1y z x +==令a=0，得22*()()f b c b c b c yb zc =-≡+，∴b c yb zc -≡+，∴1,1y z ==-。

于是2**()()0f b a c a b c a f =-+-+≥。

从而2*()()0f c b a b c a f =-+-+≥显然，当且仅当a=b=c 时f=0。

注：对于*f ，也可直接通过提取公因式法来分解因式。

事实上1222*()(2)()()()()b f a c a c b a a c a c b a b c bc b c -⋅=--+-+---+-22()(2)()[]()(2)()()()()[2()]()[()()()]()()()a c a c ab bc a ab ac bc a c a c a b b c c a a b c a ac a a b ab ac bc b c a a b c b a a b c a b a a b c =---+---++=---+--+=--++--+=--+-+=--+-3．逆推分析从一个数学过程的结果出发，按与原来相反的程序去推求初始条件的方法叫做逆推分析法，它的特点是每一步逆推均可逆。

由此可见，逆推分析法是证明恒等式的重要方法。

例5：设a ，b ，c ，d ，x ，y 为正实数，且满足,x ad bc xy ac bd y ab cd+=+=+。

求证： abx cdx ady bcya b x c d x a d y b c y+=+++++++++。

证：注意到,xxy y的表达式有()()ab c d x cd a b x +++++ ()()()()()()()()ab c d cd a b x ab cd ab c d cd a b y ad bc ad b c y bc a d y =+++++=+++++=+++++ 利用①式，将欲证等式两边通分化简，等价于()()()()x a d y b c y y a b x c d x ++++=++++②式左边=2()()()x a d b c xy a b c d xy +++++++2()()()x ac bd x ab cd xy a b c d xy =++++++++ 22()()x y y ad bc xy a b c d xy =+++++++ 2[()()()]y x x a b c d a b c d =+++++++()()y a b x c d x =++++②式右边。