LINGO 软件简介LINGO 软件是一个处理优化问题的专门软件，它尤其擅长求解线性规划、非线性规划、整数规划等问题。

一个简单示例有如下一个混合非线性规划问题：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+++---+为整数2132121321322212121,;0,,210022..15023.027798max x x x x x x x x x x t s x x x x x x x 。

LINGO 程序（模型）： max =98*x1+277*x2-x1^2-0.3*x1*x2-2*x2^2+150*x3;x1+2*x2+2*x3<=100; x1<=2*x2;@gin (x1);@gin (x2);! Lingo 默认变量非负（注意：@bin(x)表示x 是0-1变量；@gin(x)表示x 是整数变量；@bnd(L,x,U)表示限制L ≤x ≤U ；@free(x)表示取消对x 的符号限制，即可正、可负。

）结果：Global optimal solution found.Objective value: 9561.200 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 45Variable Value Reduced Cost X1 6.000000 -76.70000 X2 31.00000 -151.2000 X3 16.00000 -150.0000Row Slack or Surplus Dual Price 1 9561.200 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 56.00000 0.000000———————— 非常简单！在LINGO 中使用集合为了方便地表示大规模的规划问题，减少模型、数据表示的复杂程度，LINGO 引进了“集合”的用法，实现了变量、系数的数组化（下标）表示。

例如：对⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-++-==≤++∑=.,,;10)0(;4,3,2,1),()())()1()(;4,3,2,1,20)(..)}(20)(450)(400{min4,3,2,1均非负INV OP RP INV I I DEM I OP I RP I INV I INV I I RP t s I INV I OP I RP I求解程序：model :sets :mark/1,2,3,4/:dem,rp,op,inv;!也可以vmark/1..4/:dem,rp,op,inv;endsetsmin =@sum (mark:400*rp+450*op+20*inv);!也可以mark(I):400*rp(I)+450*op(I)+20*inv(I); @for (mark(I): rp(I)<40);@for (mark(I)|I#gt#1: inv(I)=inv(I-1)+rp(I)+op(I)-dem(I)); inv(1)=10+rp(1)+op(1)-dem(1); data :dem=40,60,75,35;enddataend上面程序在model …end 之间有（1）集合定义、（2）数据输入和（3）其他三部分内容。

集合定义部分（从sets ：到endsets ）：定义了一个指标集合mark （可以理解为数组下标及其范围）和其4个属性dem 、rp 、op 、inv （用此向量的数组变量）。

数据输入部分（从data ：到enddata ）依次给出常量（dem ）的值。

其他部分：给出优化目标及约束。

一般而言，LINGO 中建立优化模型的程序可以由五部分组成，或称为五段（section ）： （1）集合段（SETS ）：这部分以“SETS ：”开始，以“ENDSETS ”结束，作用在于定义必要的集合变量（SET ）及其元素（member ，含义类似于数组的下标）和属性（attribute ，含义类似于数组）。

（2）目标与约束段：这部分实际上定义了目标函数、约束条件等，但这部分没有段的开始和结束标记；该段一般常用到LINGO 内部函数，尤其是和集合相关的求和函数@SUM 和循环函数@FOR 等。

（3）数据段（DATA ）：这部分以“DATA ：”开始，以“ENDDA TA ”结束，作用在于对集合的属性（数组）输入必要的常数数据。

格式为： attribute(属性)=value_list(常数列表);常数列表中的数据之间可以用逗号、空格或回车符分隔。

如果想要在运行时才对参数赋值，可以在数据段使用输入语句，其格式为“变量名=？；”，但仅限对单个变量赋值，而不能用于属性变量（数组）的单个元素。

（4）初始段（INIT ）：这部分以“INIT ：”开始，以“ENDINIT ”结束，作用在于对集合的属性（数组）定义初值（因为求解算法一般是迭代算法,提供一个较好的初值，能提高计算效果）。

定义初值的语句格式为： attribute(属性)=value_list(常数列表); 这与数据段中的用法类似。

（5）计算段（CALC ）：这部分以“CALC ：”开始，以“ENDCALC ”结束，作用在于对一些原始数据进行预处理加工，使其成为模型直接需要的数据。

该段中通常是计算赋值语句。

基本集合与派生集合为了处理二维数组变量等有多个下标的问题，LINGO 引入了“派生集”的概念。

我们把直接列出元素的指标集合叫“基本集合”，而基于其他集合派生出来的二维或多维指标集合称为“派生集”。

派生集的定义格式为： 派生集名（原始集合1，原始集合2，…，原始集合n ）：属性变量列表；实际上就是笛卡儿积的意思，即：派生集={(i 1,i 2,…i n )| i 1∈集合1, i 2∈集合2,…, i n ∈集合n}。

1）一个应用例子（布局问题）：某些建筑工地的位置（用平面坐标a,b 表示）及水泥日用量d 已知。

现有A 、B 两临时料场位于P （5，1）、Q （2，7），日储量20。

问A 、B 两料场分别向各工地运输多少吨水泥，使总吨公里数最小？若重新安排两料场的位置，应怎样安排才能使总吨公里数最小？这样安排可节省多少吨公里？i i i i i j 从料场j 向工地i 运送量为cij 。

该问题的数学模型为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≤==-+-=∑∑∑∑====.2,1,6,...,1,..)()(min6121216122j e c i d c t s b y a x c f j i ij j i ij j i i j i j ijLINGO 求解程序为：MODEL : sets :Imark/1..6/:a,b,d; Jmark/1,2/:x,y,e; IJmark(Imark,Jmark):c; endsets data :!Location for demand(需求点位置);a=1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25; b=1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75;!Quantities of the demand and supply(供需量); d=3,5,4,7,6,11;e=20,20; enddata init :!Initial location for the supply(初始点); x,y=5,1,2,7;endinit!Objective function(目标); [OBJ] min =@sum (IJmark(i,j):c(i,j)*((x(j)-a(i))^2+(y(j)-b(i))^2)^(1/2));!demand contraints(需求约束);@for (Imark(i):[DEMAND_CON] @SUM (Jmark(j):c(i,j))=d(i);); !supply constrains(供给约束);@for (Jmark(j):[SUPPLY_CON] @SUM (Imark(i):c(i,j))<=e(j);); @for (Jmark: @free (x);@free (y);); END2）一个动态规划的例子：（最短路问题）从S 城市到T 城市之间找一条最短路径，道路情况如下：数学模型为：⎪⎩⎪⎨⎧≠+==≠S X X Y d Y L X L S L X Y )},,()({min )(;0)(LINGO 求解程序：model : sets :cities/s,a1,a2,a3,b1,b2,c1,c2,t/:L; !属性L(i)表示城市S 到城市i 的最优行驶路线的里程;roads(cities,cities)/!派生集合roads 表示的是网络中的道路;s,a1 s,a2 s,a3 !由于并非所有城市间都有道路直接连接，所以将路具体列出;a1,b1 a1,b2 a2,b1 a2,b2 a3,b1 a3,b2 b1,c1 b1,c2 b2,c1 b2,c2!属性D(i,j)是城市i 到城市j 的直接距离(已知);c1,t c2,t/:D; endsets data : D= 6 3 3 6 5 8 6 7 4 6 7 8 9 5 6;L=0,,,,,,,,; !因为L(s)=0;enddata@for (cities(i)|i#gt#@index (s): !这行中"@index(s)"可以直接写成"1"; L(i)=@min (roads(j,i):L(j)+D(j,i));); !这就是最短路关系式;endVariable Value L( S) 0.000000 L( A1) 6.000000 L( A2) 3.000000 L( A3) 3.000000 L( B1) 10.00000 L( B2) 7.000000 L( C1) 15.00000 L( C2) 16.00000 L( T) 20.00000最短路径为： S-〉A3-〉B2-〉C1-〉T3）（指派问题）设有6个人做6件事。

其中c ij 表示第i 人做第j 事的收益；设第i 人做第j 事时x ij =1，否则x ij =0。

该问题的规划模型：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=======∑∑∑∑====n j i x x n j x n i x t s x c ij ij n i ij nj ij n i nj ijij ,...2,1,10)(,...2,11)(,...2,11..max 1111或每事一人做每人做一事 说明：其中“-”表示某人无法做该事。

可令其为-∞（表示绝对不行）或0（领薪不用干活）LINGO 求解程序：MODEL : sets :Imark/1..6/:i; Jmark/1..6/:j;IJmark(Imark,Jmark):c,x; endsetsdata :!第i 人做第j 事的收益; c=20,15,16,5,4,7 17,15,33,12,8,6 9,12,18,16,30,13 12,8,11,27,19,14 -99,7,10,21,10,32 -99,-99,-99,6,11,13; enddata[OBJ] max =@sum (IJmark(i,j): c*x);!每人做一项工作;@for (Imark(i): @SUM (Jmark(j):x(i,j))=1;); !每事一人做;@for (Jmark(j): @SUM (Imark(i):x(i,j))=1;);@for (IJmark: @bin (x));!本约束可以不要,因为有解时必为0或1; END4）（生产与销售计划问题）某公司用两种原油（A 和B ）混合加工成两种汽油（甲和乙）。