一次函数知识点总结与典型例题 知识点一：变量、常量及函数定义函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为是x 的函数。
【注：判断y 是否为x 的函数，只要看x 取值确定的时候，y 是否有唯一确定的值与之对应】例1、下列函数关系式中不是函数关系式的是（ D ）A. 21y x =+B. 21y x =+C. 1y x x =+D. 22y x =例2、下列各图中表示y 是x 的函数图像的是 （ D ）知识点二、自变量取值范围：①当关系式含有分式时，自变量取值范围要使分式的分母的值不等于零； ②关系式含有二次根式时，自变量取值范围必须使被开方数大于等于零；③当关系式中含有指数为零或负数的式子时，自变量取值范围要使底数不等于零；④当函数关系表示实际问题时，自变量的取值范围一般为非负数。
例1、函数31-=x y 的自变量x 的取值范围是 例2、函数3-=x y 的自变量x 的取值范围是例3、函数22)x -+=（y 的自变量x 的取值范围是 知识点三、阅读函数图像【注：阅读函数图像时必须先弄清楚x 、y 各表示什么】例1、小强骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离y （千米）与所用的时间x （小时）之间关系的函数图象，小强9点离开家，15点回家，根据这个图象，请你回答下列问题：（1）小强到离家最远的地方需要几小时？此时离家多远？（2）若第一次只休息半小时，则第一次休息前的平均速度是多少？(3）返回时平均速度是多少？解;（1) 小强到离家最远的地方需要12小时：此时离家30km.（2）若第一次只休息半小时，则第一次休息前的平均速度是15÷10.5=h km /710(3）返回时平均速度是30÷（15-13）=15km/h知识点四、一次函数和正比例函数的定义1、 正比例函数定义：一般地，形如y=kx(k 是常数，k ≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.【注：正比例函数一般形式 y=kx ① k ≠0 ② x 的指数为1】2、 一次函数定义：一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.【注：一次函数一般形式 y=kx+b ① k ≠0 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数】例1函数2(1)1k y k x k =++-是一次函数，则k 值为 k=1 .例2函数是12()m y m m x +=-正比例函数，则m 值为 m=-2 。
x y O A x yOB xy O D x y O Ck---决定了直线大致经过的象限及一次函数的性质：k ＞0 直线经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；k ＜0 直线经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。
b---决定了直线与y 轴交点的位置:b ＞0直线与y 轴的正半轴相交；b ＜0直线与y 轴的负半轴相交从而进一步确定直线所经过的象限。
例1、已知一次函数y=mx+n-2的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ D ）A.m ＞0,n ＜2B. m ＞0,n ＞2C. m ＜0,n ＜2D. m ＜0,n ＞2例2、如果,0,0<>bc ab 那么一次函数0=++c by ax 的图像的大致形状是（ A ）一次函数y=kx+b 与x 轴的交点------令y=0，则kx+b=0，解出x 即为直线与x 轴的交点的横坐标。
一次函数y=kx+b 与y 轴的交点------令x=0，则y=b,即直线与y 轴交点坐标为（0，b ） 两个一次函数y=k1x+b 1 与y=k 2x+b 2的交点-----联立 y=k 1x+b 1 组成关于x 、y 的二元一次方程组，方程组的解即为交点坐标 y=k 2x+b 2例1、一次函数y= -2x+4的图象与x 轴交点坐标是 （2，0） ，与y 轴交点坐标是 (0,4) 图象与坐标轴所围成的三角形面积是 4例2、两直线y=2x-1与y=x+1的交点坐标为（ D ）A ．（—2，3）B ．（2，—3）C ．（—2，—3）D ．（2，3）待定系数法确定一次函数解析式------先设出一次函数解析式为y=kx+b 只需两个点的坐标代入建立k 与b 的二元一次方程组解出k 、b 即可。
例1、已知一个正比例函数与一个一次函数交与点P （-2, 2），一次函数与x 轴、y 轴交与A 、B 两点，且B （0，6）（1）求两个函数的解析式 （2）求△AOP 的面积解;(1)设正比例函数、一次函数的解析式分别为y=kx,y=k 1x+b把p(-2,2)代入y=kx ，得 -2k=2 ∴k=-1 ∴正比例函数解析式为：y=-x把p(-2,2) B(0,6)代入y= y=k 1x+b ，得 -2 k 1+b=2 ∴ k 1=2b=6 b=6∴一次函数解析式为：y=2x+6(2)令y=0,则2x+6 =0 ∴x=-3 ∴A(-3，0) ∴OA=3∴△AOP 的面积=OB OA ⨯⨯21=6321⨯⨯=9例2、 求与直线y=-2x+3平行，且经过（2，-2）的直线的解析式。
解:设直线的解析式为y=kx+b∵直线与y=-2x+3平行 ∴k=-2把（2，-2）代入y=-2x+b,得-2×2+b=-2 ∴b=2∴设直线的解析式为y=-2x+2一次函数与一元一次方程-------一次函数y=kx+b 图像与x 轴交点的横坐标即为对应的一元一次方程kx+b=0的解 一次函数与二元一次方程组-------两个一次函数y=k 1x+b 1 与y=k 2x+b 2的交点坐标即为二元一次方程组 y=k 1x+b 1 的解。
y=k 2x+b 2 例1、一次函数y=kx ＋b 的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（ C ）A ．x=2B ．y=2C ．x=-1D ．y=-1例2、若函数y =x +b 和y =ax +3的图象交于点P ，则关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧+=+=3ax y b x y 的解为____________一次函数值大于（小于）0-------由直线与x 轴交点的横坐标数形结合分析。
两个一次函数的大小-----------由两条直线的交点向x 轴作垂线将平面分成两部分数形结合分析。
例1、如图，直线y=kx+b(k ＜0）与x 轴交于点（3,0），关于x 的不等式kx+b ＜0的解集是（ ）A ．3x <B ．3x >C ．0x >D ．0x <例2、如图，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于A(m ，3),则不等式2x ax+4<的解集为( ) A ．3x < B ．x 3< C ．3x 2> D ．x 3>一次函数的平移---------口诀“上加下减，左加右减”【注：上下是指在表达式的尾部加减，左右是指在x 上加减】 一次函数的翻折---------沿x 轴翻折将y 换成“-y ”, 沿y 轴翻折将x 换成“-x ” 例1、直线143+-=x y 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线4743--=x y例2、直线y= -3x+7关于x 轴对称的直线解析式为y=3x-7 ; 关于y 轴对称的直线解析式为y=3x+7例1、【新疆2014年中考试题】如图1所示，在A ，B 两地之间有汽车站C 站，客车由A 地驶往C 站，货车由B 地驶往A 地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C 站飞路程y 1，y 2（千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系图象．（1）填空：A ，B 两地相距 千米；（2）求两小时后，货车离C 站的路程y 2与行驶时间x 之间的函数关系式；（3）客、货两车何时相遇？解：（1）填空：A ，B 两地相距420千米；（2）由图可知货车的速度为60÷2=30千米/小时，货车到达A 地一共需要2+360÷30=14小时，设y 2=kx+b ，代入点（2，0）、（14，360）得，解得，所以y 2=30x ﹣60；（3）设y 1=mx+n ，代入点（6，0）、（0，360）得解得，所以y 1=﹣60x+360由y 1=y 2得30x ﹣60=﹣60x+360解得x=答：客、货两车经过小时相遇．例2、某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元／克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元／克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．⑴ 分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y （元）和重量x （克）之间的函数关系式；⑵ 李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？解：（1）y 甲=477x y 乙= 530x (x ≤3) 即：y 乙= 530x (x ≤3) 530×3+530×0.8×（x-3） (x ＞3) 424x+318 (x ＞3)(2)当y 甲= y 乙时，477 x=424x+318 ∴x=6 即：买该种铂金饰品重量为6克时甲乙两商店一样。
当y 甲＜y 乙时，477 x ＜424x+318 ∴x ＜6 即：买该种铂金饰品重量在4≤x ＜6时到甲商店购买最合算当y 甲＞y 乙时，477 x ＞424x+318 ∴x ＞6 即：买该种铂金饰品重量在6＜x ≤10时到乙商店购买最合算例3、【新疆2012年中考试题】库尔勒某乡A ，B 两村盛产香梨，A 村有香梨200吨，B 村有香梨300吨，现将这些香梨运到C ，D 两个冷藏仓 库。
已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨，从A 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨40元和45元；从B 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨25元和32元。
设从A 村运往C 仓库的香梨为x 吨，A ，B 两村运香梨往两仓库的运输费用分别为A y 元，B y 元。
（1）请填写下表，并求出A y ，B y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，A 村的运费较少？（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值。
解：（1）填写如下：由题意得：yA=40x+45（200﹣x）=﹣5x+9000；yB=25（240﹣x）+32（60+x）=7x+7920；（2）对于yA=﹣5x+9000（0≤x≤200），∵k=﹣5＜0，∴此一次函数为减函数，则当x=200吨时，yA最小，其最小值为﹣5×200+9000=8000（元）；（3）设两村的运费之和为W（0≤x≤200），则W=yA+yB=﹣5x+9000+7x+7920=2x+16920，∵k=2＞0，∴此一次函数为增函数，则当x=0时，W有最小值，W最小值为16920元．。