教材内容：§11.1 多元函数
第 11 章（之 1）
（总第 58 次）
**1. 函数 f (x, y) = ln(x 2 + y 2 − 1) 连续区域是 _______ 。
答：x 2 + y 2 > 1
⎧ xy
**2.
函数
f
(x, y)
=
⎪ ⎨
x2 + y2
⎩⎪ 0
(A) 处处连续
(C) 仅在（0,0）点连续
x+ y
解：
x x
− +
y y
≥
0
⇔
⎧(x − y)(x +
⎨ ⎩
x
+
y
≠
0
y)≥
0
⇔
⎧x ≥ y ⎩⎨x ≠ − y
***5. 试讨论函数z = arctan x + y 的连续性。 1 − xy
解：由于arctan x + y 是初等函数，所以除xy = 1以外的点都连续，但在 1 − xy
xy = 1上的点处不连续。
1+ y
x2 − y2
**8. 说明极限 lim
不存在。
(x, y)→(0,0) x 2 + y 2
解：我们证明 (x, y)沿不同的路径趋于 (0,0)时，极lim x 2 − y 2 = − y 2 = −1 ，
x=0
(x, y )→(0,0)
x2
+
y2
y2
xy **6. 试求函数 f (x, y) = sin2 πx + sin2 πy 的间断点。 解：显然当(x, y) = (m,n) m,n ∈ Z 时， f (x, y)没定义，故不连续。
49
xy 又 f (x, y) = sin2 πx + sin2 πy 是初等函数。
所以除点(m, n)（其中m,n ∈ Z ）以外处处连续。
f (∆x,0) − f (0,0)
∆x ϕ(∆x,0)
解： lim
= lim
，
∆x→0
∆x
∆x→0
∆x
51
欲使 f x (0,0)存在，只要
∆x ⋅ϕ(∆x,0)
− ∆x ⋅ϕ(∆x,0)
lim
= lim
；
∆x→0+
∆x
∆x→0−
∆x
即 ϕ(0,0) = −ϕ(0,0) ， 故 ϕ(0,0) = 0 。
**4. 利用 ∆f ≈ df ，可推出近似公式： f (x + ∆x, y + ∆y) ≈ f (x, y) + df (x, y)，
并利用上式计算 (2.98)2 + (4.03)2 的近似值。 解：由于 f (x + ∆x, y + ∆y) ≈ f (x, y) + df (x, y)，
设 f (x, y) = x2 + y2 ， x = 3, y = 4, ∆x = −0.02, ∆y = 0.03 ，
zy
=
−2 +
x2
y +
y2
+ 3xe xy
。
**3. 求函数 z = arctan y 对各自变量的偏导数. x
解： z x
=
−
y x2+y2
,zy
=
x2
x +
y2
。
⎧ x 2 ln(x 2 + y 2 ), x 2 + y 2 ≠ 0
**4. 设 f (x, y) = ⎨ ⎩0,
x2
+
y2
=
，根据偏导数定义求
1 + xy −1 =
xy
( ) 1 x2 + y2
≤
2
x2 + y2
1 + xy + 1 x2 + y2
1 + xy + 1 x2 + y2
( ) = x2 + y2 → 0 （ (x, y) → (0,0) ） 2 1 + xy + 1
1 + xy −1
∴ lim
= 0。
(x, y )→(0,0) x2 + y2
f (0 + ∆x,0) − f (0,0)
∆x 1
因为 lim ∆x→0
∆x
=
lim
∆x→0
∆x
sin
( ∆x) 2
，
极限不存在， f ( x, y)在（0，0）处不可导，从而在（0，0）处不可微。
第 11 章（之 4）
第 11 章（之 3）
（总第 60 次）
教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.2 ~ 11.2.4]
**1. 求函数 f (x, y, z) = xchz − yshx 的全微分，并求出其在点 (0,1, ln 2) 处的梯度向量。
解： df (x, y, z) = d (xchz) − d(yshx)
答：A
x2 + y2 ≠ 0
x2 + y2 = 0
(B) 处处有极限，但不连续 (D) 除（0,0）点外处处连续
答（ ）
**3. 画出多元函数 u = x − y 的定义域。
{ } 解：定义域为： (x, y) y ≤ x ，见图示阴影部分：
y
0
x
**4. 求函数 z =
x− y
的定义域，并在直角坐标系中画出其图形：
**1. 设z = x + ( y − 2) arcsin
x
∂z
，那么
=
y
∂y (!,2)
（）
(A) 0 ； 答：(D)
(B) 1；
(C) π ； 2
(D) π 。 4
**2. 设z = x − 2y + ln
x2 + y2 + 3exy
，求z
x
,
z
。
y
解： zx
= 1+
x2
x +
y2
+ 3ye xy ，
其次， y = 0 时，极限为
lim
x2 − y2 x2 = =1，
y=0
(x, y )→(0,0)
x2
+
y2
x2
x2 − y2
故极限
(
x,
lim
y )→(0,0
)
x
2
+
y2
不存在。
1 + xy −1
***9. 求极限： lim
。
(x, y )→(0,0) x2 + y2
( )( ) ( )( ) 解：0 ≤
1 ,− 6
1⎫ ⎬，
6⎭
∴
∂fv ∂l
=
∇f
⋅ evl
=
⎧1 ⎩⎨5
,
2 5
,
3 5
⎫ ⎬ ⎭
⋅
⎧ ⎨ ⎩
2, 6
1 ,− 6
1 6
⎫ ⎬ ⎭
=
5
1 6
。
***7.
函数z
=
1+ arctan
x 在（0，0）点处沿哪个方向的方向导数最大，并求此方向导数
1+ y
的值。
解： ∂z ∂x
(0,0)
=
1
2
⎛1+ x⎞
其中ϕ
为lv
=
{cos α , sin α }
与gv
=
⎧ ⎨ ⎩
1 2
,−
1⎫
2
⎬的夹角， ⎭
所以ϕ
=
0 时，即lv
与gv
∂z
同向时，方向导数取最大值
∂l
=
2
。
2
**8. 对函数 f (x, y, z) = e xyz 求出 ∇f (x, y, z) 以及 ∇f (1,2,3) .
54
{ } 解： ∇f = yze xyz , xze xyz , xyexyz ， ∇f (1,2,3) = e6 {6,3,2}。
***6.
求曲线
⎧ ⎨ ⎩
z x
= =
x 1
2
− xy +
y2 在 (1,1,1)点处切线与
y 轴的夹角。
( ) 解：由于曲线在平面 x = 1 内，故由 z y (1,1) = − x + 2 y (1,1) = 1，
得切线与 y 轴的夹角为 arctan1 = π 。[也可求出切向量为 {0,1,1}]
**9.
求函数在指定点处的梯度:
f (x, y, z)
=
(x +
y)
1 z
,
(
e
+
1
,
e
−
1
,
1
)
2 22
解： ∇f
=
⎧
⎪1
⎨ ⎪
z
(x
+
y)
1 −1
z,
1 z
(x
+
y)
1 −1
z ,−
(x
+ z
1
y) z
2
⎫ ln(x + y)⎪⎬ ，
⎪
⎩
⎭
{ } ∇f (e + 1, e −1, 1) = 2e,2e,−4e2 。 2 22
0
f x (0,0),
f y (0,0)
。
x2 ln x2
解：
f
x
(0,0)
=
lim