第 11 章（之1）（总第59次）教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题： **（1）. 函数连续区域是 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ．答：**（2）. 函数 ， 则（ ）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续(C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 答：（A ）**2. 画出下列二元函数的定义域： （1）=u y x -；解：定义域为：{}x y y x ≤),(，见图示阴影部分：（2）)1ln(),(xy y x f +=；解：{}1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包括边界，双曲线1-=xy 用虚线表示）．（3）yx yx z +-=． 解：()()⎩⎨⎧-≠≥⇔⎩⎨⎧≠+≥+-⇔≥+-y x y x y x y x y x y x y x 000．***3. 求出满足22,y x x y y x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的函数()y x f ,. 解：令⎪⎩⎪⎨⎧=+=x yt y x s ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t st y t s x 11∴()()()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22222， 即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限：()()220,0,11limyx xy y x +-+→．解：()()()()()22222222112111110yx xy y x yx xy xyyx xy ++++≤+++=+-+≤()011222→+++=xy y x （()()0,0,→y x ） ∴()()011lim220,0,=+-+→yx xy y x ．**5. 说明极限()()22220,0, lim y x y x y x +-→不存在．解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同．首先，0=x 时，极限为()()1lim 2222220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ，其次，0=y 时，极限为()()1lim 2222220,0,0==+-→=x x y x y x y x y ，故极限()()22220,0,y y lim +-→x x y x 不存在．**6. 设112sin ),(-+=xy x y y x f ，试问极限),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数112sin ),(-+=xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义．***7. 试讨论函数的连续性．解：由于是初等函数，所以除以外的点都连续，但在上的点处不连续．**8. 试求函数的间断点．解：显然当时，没定义，故不连续．又是初等函数． 所以除点（其中）以外处处连续．第 11 章（之2） （总第60次）教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.1]**1.解下列各题： （1）函数32),(y x y x f +=在)0,0(点处 （ ）（A ）)0,0(x f '和)0,0(y f '都存在； （B ）)0,0(x f '和)0,0(y f '都不存在； （C ）)0,0(x f '存在，但)0,0(y f '不存在； （D ）)0,0(x f '不存在，但)0,0(y f '存在． 答：（D ）． （2） 设，那么（ ）(A) 0 ； (B) 1； (C) ； (D) ．答：(D)．（3）设()xy y x f =,，则=)0,0('x f ______，=)0,0('y f __________．解：由于0)0,(=x f ，0)0,0('=∴x f ，同理 0)0,0('=y f ．**2. 设， 求．解：，．**3. 求函数xyz arctan =对各自变量的偏导数. 解：2222,y x xz y x y z yx +=+-=． **4. 设，求．解：， ．***5. 求曲线⎩⎨⎧=+-=122x y xy x z 在()1,1,1点处切线与y 轴的夹角．解：由于曲线在平面1=x 内，故由 ()()()121,11,1=+-=y x z y ，得切线与y 轴的夹角为 41arctan π=．[也可求出切向量为{}1,1,0]∴夹角={}{}422arccos12110,1,01,1,0arccos 22π==+．***6. 设函数在点)0,0(连续，已知函数在点)0,0(偏导数)0,0(x f '存在，（1）证明； （2）证明)0,0(y f '也一定存在．解：（1），因为)0,0(x f '存在，所以即 ， 故．（2）由于在点)0,0(连续，且，所以0→∆y 时，),0(y ∆ϕ是无穷小量，而yy ∆∆是有界量，所以0),0(lim )0,0(),0(lim00=∆∆∆=∆-∆→∆→∆yy y y f y f x y ϕ，即0)0,0(='y f ．第 11 章（之3） （总第61次）教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.2 ~ 11.2.4]**1. 求函数()x y z x z y x f sh ch ,,-=的全微分，并求出其在点()2ln ,1,0=P 处的梯度向量．解：()()()x y d z x d z y x df sh ch ,,-=()zdzx xdy dx x y z xdx y xdy zdz x zdx sh sh ch ch ch sh sh ch +--=--+=∴()()dx z y x df 41,,2ln ,1,0=， ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∇0,0,41,,2ln ,1,0z y x f ． **2.求函数xyyx z -+=1arctan的全微分： 解：xyyx d dz -+=1arctan)arctan (arctan y x d +=2211)(arctan )(arctan y dy x dx y d x d +++=+=**3. 设，求．解：222)]1[ln()]1d[ln()(sec )](d[sec )]1[ln(d ----=xy xy xy xy xy z)]d d (1)(sec )d d )(tan()(sec 2)1[ln()]1[ln(1222y x x y xy xy y x x y xy xy xy xy +--+--= )1(ln )(cos )1()d d ](1)1)(tan()1ln(2[22--+---=xy xy xy y x x y xy xy xy ．**4. 利用df f ≈∆，可推出近似公式：()()()y x df y x f y y x x f ,,,+≈∆+∆+， 并利用上式计算()()2203.498.2+的近似值．解：由于()()()y x df y x f y y x x f ,,,+≈∆+∆+， 设()22,y x y x f +=，03.0,02.0,4,3=∆-=∆==y x y x ，于是 ()2222,yx y y x x yx ydy xdx y x df +∆+∆=++=，()()22,,yx y y x x y x f y y x x f +∆+∆+≈∆+∆+，∴()()()()012.54303.0402.034303.498.2222222=++-++≈+．***5．已知圆扇形的中心角为ο60=α，半径为cm r 20=，如果α增加了ο1，r 减少了1cm ，试用全微分计算面积改变量的近似值． 解：180212παrS =， ))(2(3602ααπd r dr dS +=，∴ )(4533.17)3601)20(360)1(60202(22cm dS S -=⨯+-⨯⨯⨯=≈∆π．***6. 计算函数()()z y x z y x f 32ln ,,++=在点()0,2,1=P 处沿给定方向 k j i l ϖϖϖϖ-+=2的方向导数Plfϖ∂∂．解：zy x f zy x f zy x f z y x 323,322,321++=++=++=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=61,61,62l e ϖ，∴ 65161,61,6253,52,51=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⋅∇=∂∂l Pe f lfϖϖ．***7. 函数在（0，0）点处沿哪个方向的方向导数最大，并求此方向导数的值． 解：，，，其中为与的夹角，所以时，即与同向时，方向导数取最大值．**8. 对函数 xyze z y xf =),,( 求出 ),,(z y x f ∇ 以及 )3,2,1(f ∇.解： {}xyz xyz xyzxye xze yze f ,,=∇，{}2,3,6)3,2,1(6e f =∇．**9. 求函数zy x z y x f 1)(),,(+=在点)21,21,21(-+=e e P 处的梯度． 解：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++-++=∇--)ln()(,)(1,)(1211111y x z y x y x z y x z f z z z ， {}24,2,2)21,21,21(e e e e ef -=-+∇．***10. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin ),(22222222y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处的连续性，可导性和可微性．解：因为 ，所以在点（0，0）连续．因为 ，极限不存在，在（0，0）处不可导，从而在（0，0）处不可微．第 11 章（之4）（总第62次）教材内容：§11.3 复合函数微分法；§11.4 隐函数微分法**1.解下列各题：（1） 若函数),(v u f 可微，且有x x x x x f ++=3422),(及122),(22 +-='x x x x f u ，则),(2 x x f v '= ( )(A) 1222++x x(B) xx x 21322++ (C) 1222+-x x(D) 1322++x x答：(A)（2）设函数由方程所确定，则=_________．答： ．（3）方程yzx z ∂∂=∂∂3，在变量代换y x u 3+=，y x v +=3下，可得新方程为_______. 答：0=∂∂uz．**2. 设求．解：()∂∂θϕθϕϕurx y z r =++=2222cos sin sin sin cos ，0)sin cos (2]sin )sin ([2=+-=ϕθθϕ∂θ∂r y r x u，0sin 2)cos sin (2)cos cos (2=-+=ϕϕθϕθ∂ϕ∂r z r y r x u．**3. 一直圆锥的底半径以3s cm /的速率增加，高h 以5s cm /的速率增加，试求r=15cm ，h=25cm 时其体积的增加速率． 解：h r V 231π=， s cm h r dtdVdtdhr dt dr rh dt dh h V dt dr r V dt dV /11252515313232πππ===+=⋅∂∂+⋅∂∂=*4. 设,3y e z x -=而4,sin t y t x ==，求dtdz． 解：32334cos y t t e dtdy z dt dx z dt dz xy x -=+=．**5. 若)(22y x f xy z -=，证明：z y z x y z y x x z xy 2222+=∂∂+∂∂． 解：22222,2ff xy xf z f f y x yf z y x '+='-=， 则 z y z x fy x xy yz x z xy y x 222222)(+=+=+． **6. 设 )cos ,,(2x xy ye xe f u x y =，求du yux u ,,∂∂∂∂． 解：3221)2sin cos (f x xy x y f ye f e xux y -++=∂∂ ， 3221cos xf x f e f xe yux y ++=∂∂， [][]dy xf x f e f xe dx f x xy x y f ye f e du x y x y 32213221cos )2sin cos (+++-++=．**7. 求由方程yz z x ln =所确定的函数),(y x z z =的偏导数y z x z ∂∂∂∂,．解：zx zyz y zx zFz Fx z x +=---=-=21，yz xy z z z x y Fz Fy z y +=---=-=2211．**8. 设,0),,(=+xz z y xy F 试求dz yzx z ,,∂∂∂∂． 解：,0),,(=+xz z y xy F 两边对x 求导，得 0)(321=+++x x xz z F F z yF ， 解得 3231xF F zF yF z x ++-=，两边对y 求导，得 0)1(321=+++y y xz F z F xF ． 解得3221xF F F xF z y ++-= ，所以dy xF F F xF dx xF F zF yF dz 32213231++-++-=．***9. 函数由方程所确定，其中具有连续一阶偏导数，，求和．解：，，， ．***10. 求由方程所确定的隐函数在坐标原点处沿由向量所确定的方向的方向导数．解：当时，．0,0)0,0(2)0.0()0,0(2)0.0(=-==-=xyz xz yz xyz yz xz∂∂∂∂，．***11. 设)0(,1,022≠+=+=-y x xv yu yv xu 求yv y u x v x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,． 解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂-∂∂+00x v x x u y v xv y x u x u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=∂∂++-=∂∂⇒2222y x yu xv x v y x yv xu x u类似地 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y ux ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=∂∂+--=∂∂⇒2222y x yv xu yv y x xv yu y u第 11 章 （之5）（总第63次）教材内容：§11.5 多元函数微分法在几何上的应用 **1. 曲面在点)2,1,0(=A 处的切平面方程为 （ ） （A ） （B ）（C ）032213=--+-+z y x （D ）答：(A)．**2.设函数可微，曲面过点)0,1,2(-=M ，且.过点作曲面的一个法向量，已知与轴正向的夹角为钝角，则与轴正向的夹角=______ ． 答：．***3. 设曲线在对应点处的法平面为，则点)1,4,2(-=P 到的距离______ ．答：2．**4. 求曲线ct z t b y t a x L ===,sin ,cos :在点)2,0,(0c a M π=处的切线和法平面方程． 解：,0sin 00=-===t t t a dt dx,cos 00b t b dt dy t t =-=== cdtdzt ==0．∴切线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧-==⇔-=-=-c c z by ax c c z b y a x ππ2200，法平面方程为：0)2(=-+c z c by π．***5. 求曲线6,11:==++xyz zx yz xy L 在点)3,2,1(0=M 处的切线和法平面方程．解：设 11),,(-++=zx yz xy z y x F ，6),,(-=xyz z y x G ，)()()(),(),(2x y z z x yz z y xz xz yz z x zy y x G F +-=+-+=++=∂∂，)()()(),(),(2z y x y x xz z x xy xy zx x y z x z y G F -=+-+=++=∂∂，)()()(),(),(2x z y z y xy y x zy zyxy z y y x x z G F -=+-+=++=∂∂．∴8),(),(,1),(),(,9),(),(0=∂∂-=∂∂-=∂∂M M M x z G F z y G F y x G F ，∴切线方程为938211--=-=--z y x ， 法平面方程为 ()()()()()0948211=--+-+--z y x ，即 01298=-+-z y x ． ***6. 求曲面在点1,22,1(-=P )处的法线在yOz 平面上投影方程．解：曲面在点1,22,1(-=P ）处的法线方向向量{}{}2,2,248,24,8-=-=→n ，法线方程为： ．法线在yOz 平面上投影方程为212220-+=-=z y x ．***7.求曲线上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面．解：设所求的点对应于，则对应的切线方向向量为： {}3,4,3020t t s =→．因为→s 垂直于平面法向量{}1,2,1-=→n ，所以0383020=-+=⋅→→t t n s ， 解得：和．所求点为：和．**8．求曲面xyz 6=上平行于平面.06236=+--z y x 的切平面方程． 解：26,6xyy z xyx z -=∂∂-=∂∂， ∴由条件，得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-=--=-=-32121366622z y x k k x y k yx∴切平面方程为：,0)3(2)2(3)1(6=+-+--z y x 即 018236=---z y x ．***9.求函数22y x e z +=在点),(000y x M =沿过该点的等值线的外法线方向的方向导数．解：等值线方程为,在),(000y x M =处的法线斜率为 00x y k =，即法线方向向量为 },1{00x y n =ρ或},{00y x ，方向余弦为：,．***10. 求函数在⎪⎭⎫⎝⎛=1,2πP 点沿方向的方向导数，其中为曲线在处的切向量（指向增大的方向）．解：，1sin 11cos 22+-=+=ππαπα，，221sin 210sin 2cos 1,21,21,21,2=+==+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππ∂∂∂∂xy yz xy x xz，，所以 1222+-=ππ．***11. 设都是可微函数，求曲线在对应于点处的切线方程和法平面方程． 解：对应点， 对应的切线方向向量：．切线方程： ，法平面方程：．****12. 在函数yx u 11+=的等值线中哪些曲线与椭圆16822=+y x 相切？解：对等值线 y x u 110+= 两边微分得 022=--ydy x dx ， 即 22x y dx dy -=， 同样对16822=+y x 两边微分，有yx dx dy 8-=， 令y xxy 822-=-，得 y x 2=，代入16822=+y x ，得 32,34±=±=y x ，∴ 433110±=+=y x u ．***13. 试证明曲面3a xyz =上任一点处的切平面在三个坐标轴上截距之积为定值．解：由3a xyz =， 得 xya z 3=，∴在点),,(000z y x 处法向量为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-1,,02030203x y a y x a， ∴切平面为：0)()(0020300203=-+-+-z z y y y x a x x y x a ，又 ∵3000a z y x =， ∴ 切平面方程化为：1333000=++z zy y x x ， ∴ 截距之积为： 30002727a z y x =（定值）．***14. 证明曲面0,=⎪⎭⎫⎝⎛----c z b y c z a x F 的所有切平面都通过一个定点，这里具有一阶连续偏导数． 解：曲面上点处的切平面法向量：．切平面方程为：．易知满足上述方程，即曲面的所有切平面都通过定点．第 11 章 （之6）（总第64次）教学内容：§11.6泰勒展开1．填空： *（1）设，则=________ ．答：32xy ． *（2）设，则= _________．答：y1． *（3）设，则= _________ ．答： x y y x sin 2cos 2 ．*（4）设，则=_______ ．答：0 ． **（5）设，则= _________．答：0．**2．设具有连续的二阶偏导数，而，求．解:， ．**3．设，求．解一： ， ， ．解二： ， ， ．**4．设)2,21(),()(4322xy z y x xf xy f y z 求+=． 解：)(3)()('43434324y x f y x y x f xy f y z x ++=，,4)("3)('124)('2)(")('4334343433333432423yx y x f y x y x f y x x y y x f yx xy f y xy f y z xy ⋅++⋅+⋅+=∴)2("24)2('12)2('4)2("32)2('32)2,21(f f f f f z xy ++++= )2("56)2('48f f +=．**5．函数由方程所确定，求22d d xy． 解：xy yx y x y x x y -+=-+-=2222d d ，222)())(1())(1(d d x y y x y x y y x y -+-'--'+= 322)()2(2x y y xy x --+-=3)(2y x -=. ***6．求方程 zy ez x +=+ 所确定的函数),(y x z z =z=z(x,y)的所有的二阶偏导数.解：xz e x z z y ∂∂⋅=∂∂++1， ∴ 11-=∂∂+zy e x z ．3222)1()1(--=-∂∂⋅-=∂∂++++z y zy zy z y e e e x ze x z， 因为 )1(y z e y z zy ∂∂+=∂∂+， ∴zy z y z y e e e y z +++-+-=-=∂∂1111． 则 3222)1()1()1(z y z y z y z y e e e yze y z ++++-=-+∂∂=∂∂， 322)1()1()1(z y z y z y z y e e e yze yx z ++++--=-+∂∂-=∂∂∂， 322)1()1(-=-∂∂=∂∂∂++++z y z y z y zy e e e x ze x y z ．***7．对于由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x z =，试求 22xz ∂∂．解：由公式zx F F x z-=∂∂两边对x 求偏导数，得。