场论中三大积分公式的应用
在物理学中，曲线积分和曲面积分有着广泛的应用。
物理学家为了既能形象地表达有关的物理量，又能方便地使用数学工具进行逻辑表达和数据计算，使用了一些特殊的术语和记号， 在此基础上产生了场论。
在大一的下半学期的高等数学课上。
我们学习了微积分这一门基础课，而曲线积分及曲面积分就是学习重点之一。
在曲线积分和曲面积分的学习中，对于重积分的求解运算，Green 公式、Gauss 公式和Stokes 公式作为章节核心，需要我们重点研究。
而本文围绕着对三大公式的应用和联系进行探讨。
一、三大公式
Green 公式：设D 为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。
如果函数(,)P x y ，(,)Q x y 在D 上具有连续偏导数，那么
(,)(,)(,)(,)L D Q x y P x y P x y dx Q x y dy dxdy x y +⎡⎤∂∂+=-⎢⎥∂∂⎣
⎦⎰⎰⎰， 其中L +表示沿D 的边界的正方向。
Gauss 公式：设Ω是3中由光滑或分片光滑的封闭曲面∂Ω所围成的二维单连通封闭区域，(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 与(,,)R x y z 在Ω上具有连续偏导数，则divFd F nds +
Ω∂ΩΩ=⋅⎰⎰⎰⎰⎰，即
P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z +
Ω∂Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰， 其中+∂Ω表示有向封闭曲面∂Ω的外侧。
Stokes 公式：设S 为光滑曲面或分片光滑的双侧曲面，其边界为光滑或分段光滑闭曲线S ∂，若(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 与(,,)R x y z 在S 及其边界S ∂上具有连续偏导数，则有
S S R Q P R Q P Pdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy y z z x x y ∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎰⎰⎰ cos cos cos S R Q P R Q P dS y z z x x y αβγ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=-+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎰⎰， 其中S ∂取S 的诱导定向。
二、三大公式的联系
1.表述形式
根据三大公式的表述形式，可以得到三大公式阐释的各类积分之间的关系，分别是：
格林公式：第二型曲线积分与二重积分的联系
高斯公式：第二型曲面积分与三重积分之间的关系
斯托克公式:第二型曲线、曲面积分之间的关系
其中：
格林公式是斯托克公式的拓展
斯托克公式是格林公式的特例
高斯公式是斯托克公式的类比拓展
2.公式的作用
从公式的作用来看, 场论的三个基本公式实质上都是某一几何体上的积分和该几何体的边界上的积分之间的关系在不同维空间的表现形式。
格林公式是二维空式的情形；
高斯公式是三维空间的情形；
斯托克斯公式是二维弯曲空间的情形。
格林公式能把二重积分即平面域上的积分换为该域边界上的一个曲线积分, 反之能把闭曲线上的曲线积分换成该曲线所围域上的二重积分,
高斯公式是格林公式在空间域上的推广, 它建立了三重积分和曲面积分之间的关系, 根据高斯公式, 可把三重积分换成该曲分界面上的一个曲面积分, 反之, 可把闭曲面上的曲积分换成该面所围域上的一个三重积分。
斯托克斯公式是格林公式的直接推广, 即当曲面为平面时, 斯托克斯公式就是格林公式, 所以前者称为空间的格林公式。
三、场论中通过三大公式推导力学量之间的联系
1.由高斯公式
S S P Q R A d S Pdydz Qdydz Rdxdy dV x y z ∆∆∆Ω⎛⎫∂∂∂∆Φ=⋅=++=++ ⎪∂∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 而散度公式P Q R divA x y z
∂∂∂=++∂∂∂， 所以，高斯公式可以写成如下的矢量形式：
S A d S divAdV Ω
⋅=⎰⎰⎰⎰⎰。
由高斯公式的矢量形式可看到通量和散度之间的一种关系，即：穿出封闭曲面S 的通量, 等于S 所围的区域Ω上的散度在Ω上的三重积分。
2.由斯托克斯公式
l l
A dl Pdx Qdy Rdz ∆∆∆Γ=
⋅=++⎰⎰ S R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y ∆⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎰⎰ ()()()cos ,cos ,cos ,S R Q P R Q P n x n y n z dS y z z x x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=-+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎰⎰，
而旋度在直角坐标系中有
R Q P R Q P rot A i j k y z z x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 我们知道旋度的一个重要性质，就是：旋度矢量在任意方向上的投影，就等于该方向上的环面面密度，
所以，可将斯托克斯公式写成如下矢量形式：
()l S
A dl rot A d S ⋅=⋅⎰⎰⎰
由斯托克斯公式的矢量形式可看到环量和旋度之间的一种关系, 即沿闭曲线环量等于旋度按右手螺旋方向穿过以l 为边界的曲面的通量。