19 平抛运动的临界问题【核心方法点拨】涉及平抛运动的临界问题关键是找出“恰好”“刚好”对应的状态物理量关系。

【训练】(2016·宁夏银川高三质检)如图所示为四分之一圆柱体OAB 的竖直截面，半径为R ，在B 点上方的C 点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D 点与圆柱体相切，OD 与OB 的夹角为60°，则C 点到B 点的距离为( )A ．R B.R 2 C.3R 4 D.R 4【解析】设小球平抛运动的初速度为v 0，将小球在D 点的速度沿竖直方向和水平方向分解，则有v y v 0＝tan 60°，得gt v 0＝3。

小球平抛运动的水平位移x ＝R sin 60°，x ＝v 0t ，解得v 20＝Rg2，v 2y ＝3Rg 2。

设平抛运动的竖直位移为y ，v 2y＝2gy ，解得y ＝3R 4，则BC ＝y －(R －R cos 60°)＝R 4，D 选项正确。

【答案】D(2014·上海)如图所示，宽为L 的竖直障碍物上开有间距d ＝0.6 m 的矩形孔，其下沿离地高h ＝1.2 m ．离地高H ＝2 m 的质点与障碍物相距x ，在障碍物以v 0＝4 m/s 匀速向左运动的同时，质点自由下落，为使质点能穿过该孔，L 的最大值为______m ；若L ＝0.6 m ，x 的取值范围是________m ．(取g ＝10 m/s 2)【解析】以障碍物为参考系，相当于质点以v 0的初速度，向右平抛，当L 最大时，从抛出点经过孔的左上边界飞到孔的右下边界时，L 最大，y 1＝H －d －h ＝12gt 21，x 1＝v 0t 1；y 2＝H －h ＝12gt 22，x 2＝v 0t 2；解得t 1＝0.2 s ，t 2＝0.4 s ，x 1＝0.8 m ，x 2＝1.6 m ，L ＝x 2－x 1＝0.8 m ；从孔的左上边界飞入小孔的临界的值x ′1＝v 0t 1＝0.8 m ，x ′2＋0.6 m ＝v 0t 2，解得x ′2＝1 m ，知0.8 m≤x ≤1 m.【答案】0.8 0.8 m≤x ≤1 m(2015·新课标全国Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )A.L 12g6h ＜v ＜L 1g6h B.L 14gh ＜v ＜ (4L 21＋L 22)g6h C.L 12g 6h ＜v ＜12 (4L 21＋L 22)g6hD.L 14g h ＜v ＜12(4L 21＋L 22)g6h【解析】发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动．当速度v 最小时，球沿中线恰好过网，有： 3h －h ＝gt 212①L 12＝v 1t 1② 联立①②得v 1＝L 14g h当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有 (L 22)2＋L 21＝v 2t 2③ 3h ＝12gt 22④联立③④得v 2＝12(4L 21＋L 22)g6h所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v 的最大取值范围为L 14g h ＜v ＜12(4L 21＋L 22)g6h，选项D 正确． 【答案】D(河北省衡水中学2014届高三上学期三调)“套圈”是一项老少皆宜的体育运动项目．如图所示，水平地面上固定着3根直杆1、2、3，直杆的粗细不计，高度均为0.1 m ，相邻两直杆之间的距离为0.3 m．比赛时，运动员将内圆直径为0.2 m的环沿水平方向抛出，刚抛出时环平面距地面的高度为1.35 m，环的中心与直杆1的水平距离为1 m．假设直杆与环的中心位于同一竖直面，且运动中环心始终在该平面上，环面在空中保持水平，忽略空气阻力的影响，g取10 m/s2.以下说法正确的是()A．如果能够套中直杆，环抛出时的水平初速度不能小于1.8 m/sB．如果能够套中第2根直杆，环抛出时的水平初速度范围在2.4 m/s到2.8 m/s之间C．如以2.3 m/s的水平初速度将环抛出，就可以套中第1根直杆D．如环抛出的水平速度大于3.3 m/s，就不能套中第3根直杆【解析】由平抛运动可得h＝12gt2、L－r＝vt，解得v＝1.8 m/s，故选项A正确；如果能够套中第2根直杆，水平位移在1.2～1.4 m之间，水平初速度范围在2.4 m/s到2.8 m/s之间，故选项B正确；如果能够套中第1根直杆，水平位移在0.9～1.1 m之间，水平初速度范围在1.8 m/s到2.2 m/s之间，故选项C错误；如果能够套中第3根直杆，水平位移在1.5～1.7 m 之间，水平初速度范围在3 m/s到3.4 m/s之间，故选项D错误．【答案】AB(多选)如图所示，在水平地面上的A点以速度v1与地面成θ角射出一弹丸，恰好以速度v2垂直穿入竖直壁上的小孔B，下列说法正确的是(不计空气阻力)()A．在B点以与v2大小相等的速度，与v2方向相反射出弹丸，它必定落在地面上的A点B．在B点以与v1大小相等的速度，与v2方向相反射出弹丸，它必定落在地面上的A点C．在B点以与v1大小相等的速度，与v2方向相反射出弹丸，它必定落在地面上A点的左侧D．在B点以与v1大小相等的速度，与v2方向相反射出弹丸，它必定落在地面上A点的右侧【解析】以速度v1与地面成θ角射出一弹丸，恰好以速度v2垂直穿入竖直壁上的小孔B，说明弹丸在B点的竖直速度为零，v2＝v1cos θ，根据“逆向”思维：在B点以与v2大小相等方向相反的速度射出弹丸，它必落在地面上的A点，A正确；在B点以与v1大小相等的速度，与v2方向相反射出弹丸，由于v1＞v2，弹丸在空中运动的时间不变，所以它必定落在地面上A点的左侧，C正确，B、D错误．【答案】AC(2016·江西八校联考)某电视台娱乐节目进行了一项抛球入筐游戏，如图所示，该游戏球筐(筐壁厚度忽略不计)紧靠竖直墙壁放在水平地面上，球筐高度和球筐左侧壁离墙壁的距离均为L 。

某同学将球(可视为质点)正对竖直墙壁水平抛出并投入筐中，球的抛出点离地面的高度H ＝3L ，与墙壁的水平距离d ＝5L ，球与墙壁碰撞前后瞬间速度大小相等，方向关于墙壁对称，不计球与墙壁和筐壁碰撞的时间。

已知球的质量为m ，重力加速度为g ，空气阻力不计。

则下列说法正确的是( )A ．球不论以多大的速度水平抛出，只要能投入筐中，落到筐底所用时间就相同B ．为使球落入筐中，球抛出时的最小速度为gLC ．球刚落到筐底时的最小动能为5mgLD ．为使球落入筐中，球与墙壁碰撞的最高点离地面的高度应为32L【解析】由于球与墙壁碰撞前后瞬间速度大小相等，方向关于墙壁对称，不计球与墙壁和筐壁碰撞的时间，所以球落到用时间只与抛出点高度有关，A 正确；设球抛出时的最小v min ，恰好运动到筐左侧壁上边缘的时间为t 1，则H －L ＝12gt 21，d －L ＝v min t 1，解得v min ＝2gL ，B错误；设球刚落到筐底时动能为E kmin ，由功能关系得E kmin ＝12mv 2min ＋mgH ＝5mgL ，C 正确；设球以最大速度v max 抛出到与墙壁碰撞所用时间t 2，此过墙壁碰撞点离地面最高，设为h max ，然后球反弹与左侧筐壁相碰，H －L ＝12g (L v max ＋t 2)2，v max t 2＝5L ，H －h max ＝12gt 22，解得，h max＝2918L ，D 错误。

【答案】AC如图所示，竖直面有两个34圆形导轨固定在一水平地面上，半径R 相同，A 轨道由金属凹槽制成，B 轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道，在两轨道右侧的正上方将质量均为m 的金属小球A 和B 由静止释放，小球距离地面的高度分别用h A 和h B 表示，则下列说法正确的是( )A ．适当调整h A 和hB ，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处 B ．若h A ＝h B ＝2R ，则两小球在轨道最低点对轨道的压力为4mgC ．若h A ＝h B ＝R ，则两小球都能上升到离地高度为R 的位置D ．若h A 和h B 均大于52R ，两小球都能从最高点飞出【解析】A 中为绳模型，小球A 能从最高点飞出的最小速度为v ＝gR ，从最高点飞出后下落R 高度时，水平位移的最小值为：x A ＝gR2Rg＝2R ，小球A 落在轨道右端口外侧．而适当调整h B ，B 可以落在轨道右端口处，故A 错误；若h A ＝h B ＝2R ，由机械能守恒定律可知，小球到达最低点时的速度v ＝2gR ，则由向心力公式可得：F ＝mg ＋m v 2R ＝5mg ，故B错误；若h A ＝h B ＝R ，根据机械能守恒定律可知，两小球都到达与O 点等高的位置速度为零，即两小球都能上升到离地高度为R 的位置，故C 正确；由A 的分析可知，A 球最高点最小速度为v ＝gR ，则由机械能守恒定律可知，mg (h A －2R )＝12mv 2A ，A 球下落的最小高度为52R ；而B 中小球只要在最高点的速度大于2R 即可，故D 正确． 【答案】CD如图，窗子上、下沿间的高度H ＝1.6 m ，墙的厚度d ＝0.4 m ，某人在离墙壁距离L ＝1.4 m 、距窗子上沿高h ＝0.2 m 处的P 点，将可视为质点的小物体以速度v 垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，取g ＝10 m/s 2，则v 的取值范围是( )A ．v >7 m/sB ．v >2.3 m/sC ．3 m/s<v <7 m/sD ．2.3 m/s<v <3 m/s【解析】小物体做平抛运动，恰好擦着窗口上沿右侧穿过时v 最大．此时有L ＝v max t ，h ＝12gt 2代入解得v max ＝7 m/s恰好擦着窗口下沿左侧穿过时速度v 最小，则有L ＋d ＝v min t ′，H ＋h ＝12gt ′2解得v min ＝3 m/s故v 的取值范围是3 m/s<v <7 m/s. 【答案】C(2016·吉林模拟)如图所示，一圆柱形容器高、底部直径均为L ，球到容器左侧的水平距离也是L ，一可视为质点的小球离地高为2L ，现将小球水平抛出，要使小球直接落在容器底部，重力加速度为g ，小球抛出的初速度v 的大小范围为(空气阻力不计)( )A. 12gL <v <gL B. 12gL <v <212gL C.12gL <v < 32gL D.12gL <v <gL 【解析】要使小球直接落在容器的底部，设最小初速度为v 1，则有：L ＝12gt 21，v 1＝Lt 1，联立解得：v 1＝12gL .设最大速度为v 2，则有：2L ＝12gt 22，v 2＝2Lt 2，联立解得：v 2＝gL ，因此小球抛出的初速度大小范围为： 12gL <v <gL . 【答案】A(2016·金华模拟)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图13所示．水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h ，不考虑乒乓球的旋转和空气阻力(重力加速度为g )，则( )A ．若球发射速度v ＝L 18gh，则恰好越过球网落在球台的右侧 B ．若球发射速度v ＝L 24gh，则恰好越过球网落在球台的右侧 C ．若球发射速度v ＝L 2g6h，则恰好落在球台的右侧边缘 D ．若球以速度v ＝L 1g6h垂直台面左侧底线水平发射，则恰好落在球台的右侧边缘【解析】若球与网恰好不相碰，根据3h －h ＝12gt 21得：t 1＝4h g ，水平位移为：x min ＝L 12，则发射速度为：v 1＝L 12t 1＝L 14gh.故A 、B 错误； 若球与球台边缘相碰，根据3h ＝12gt 22得：t 2＝6h g，水平位移为：x max ＝L 1，则发射速度为：v 2＝L 1t 2＝L 1g6h，故C 错误，D 正确. 【答案】D(2016·汉中模拟)如图5所示，一网球运动员将球在左侧边界中点处正上方水平向右击出，球刚好过网落在图中位置(不计空气阻力)，数据如图所示，则下列说法中正确的是( )A ．击球点高度h 1与球网高度h 2之间的关系为h 1＝2h 2B ．若保持击球高度不变，球的初速度v 0只要不大于s h 12gh 1，一定落在对方界内C ．任意降低击球高度(仍大于h 2)，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内D ．任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内【解析】平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，水平位移为s 和3s2的运动时间比2∶3，则竖直方向上，根据h ＝12gt 2，则有h 1－h 2h 1＝49，解得h 1＝1.8h 2.故A 错误；若保持击球高度不变，要想球落在对方界内，要既不能出界，又不能触网，根据h 1＝12gt 21得，t 1＝2h 1g，则平抛运动的最大速度v 01＝2s t 1＝s h 12gh 1，根据h 1－h 2＝12gt 22，t 2＝h 1－h 2g，则平抛运动的最小速度v 02＝st 2＝sgh 1－h 2.故B 错误；任意降低击球高度(仍大于h 2)，会有一临界情况，此时球刚好触网又刚好压界，若小于该临界高度，速度大，会出界，速度小，会触网，所以不是击球高度比网高，就一定能将球发到界内．故C 错误；增加击球高度，只要速度合适，球一定能发到对方界内，故D 正确. 【答案】D如图8所示，水平屋顶高H ＝5 m ，围墙高h ＝3.2 m ，围墙到房子的水平距离L ＝3 m ，围墙外空地宽x ＝10 m ，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g 取10 m/s 2.求：(1)小球离开屋顶时的速度v 0的大小范围； (2)小球落在空地上的最小速度．【解析】(1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v 01，则小球的水平位移：L ＋x ＝v 01t 1小球的竖直位移：H ＝12gt 21解以上两式得 v 01＝(L ＋x )g2H＝13 m/s 设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v 02，则此过程中小球的水平位移： L ＝v 02t 2小球的竖直位移：H －h ＝12gt 22解以上两式得： v 02＝Lg H －h＝5 m/s小球离开屋顶时速度v 0的大小为5 m/s≤v 0≤13 m/s(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小．竖直方向：v 2y ＝2gH又有：v min ＝v 202＋v 2y 解得：v min ＝5 5 m/s【答案】(1)5 m/s≤v 0≤13 m/s (2)5 5 m/s(2014·浙江理综)如图所示，装甲车在水平地面上以速度v 0＝20 m/s 沿直线前进，车上机枪的枪管水平，距地面高为h ＝1.8 m 。