考点三平抛运动中的临界问题(高频17)
处理平抛运动中的临界问题要抓住两点
(1)找出临界状态对应的临界条件．
(2)要用分解速度或者分解位移的思想分析平抛运动中的临界问题．
命题点1 用极端分析法分析临界问题
所谓极端分析法，是指两个变量之间的关系，若是单调上升或单调下降的函数关系，可以通过连续地改变某个变量甚至达到变化的极端，来对另一个变量进行判断的研究方法．
6.如图所示，排球场总长为18 m，设球网高度为2 m，运动员站在离网3 m的线上(图中虚线所示)正对网前跳起将球水平击出．(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)
(1)设击球点在3 m线正上方高度为2.5 m处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？
(2)若击球点在3 m线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度．
【解析】(1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移
x 1＝3 m，竖直位移y1＝h2－h1＝(2.5－2)m＝0.5 m，根据位移关系x＝vt，y＝
1
2
gt2，可得v＝x g
2y
，代入数据可得v1＝310 m/s，即所求击球速度的下限．
设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移x2＝12 m，竖直位移y2＝
h 2＝2.5 m，代入上面的速度公式v＝x
g
2y
，可求得v2＝12 2 m/s，即所求击
球速度的上限．
欲使球既不触网也不越界，则击球速度v应满足
310 m/s<v<12 2 m/s.
(2)设击球点高度为h3时，球恰好既触网又压线，如图乙所示．
设此时排球的初速度为v，击球点到触网点的水平位移x3＝3 m，竖直位移y3＝
h 3－h1＝(h3－2)m，代入速度公式v＝x
g
2y
可得v＝3
5
h
3
－2
；同理对压线点有
x 4＝12 m，y4＝h3，代入速度公式v＝x
g
2y
可得v＝12
5
h
3
.
两式联立解得h3≈2.13 m，即当击球高度小于2.13 m时，无论球被水平击出的速度多大，球不是触网，就是越界．
【答案】(1)310 m/s<v<12 2 m/s (2)2.13 m
命题点2 用对称法分析临界问题
所谓对称法，就是利用所给物理问题结构上的对称性或物理过程在时间、空间上的对称性，把已知结论推广，从而简化运算过程的处理方法．用对称法解题的关键是抓住事物在某一方面的对称性，这些对称性往往就是通往答案的捷径．一般情况下，对称性表现为研究对象在结构上的对称性、物理过程在时间上和空间上的对称性、物理量在分布上的对称性及作用效果的对称性等．
7．一位网球运动员以拍击球，使网球沿水平方向飞出．第一只球飞出时的初速
度为v1，落在自己一方场地上后，弹跳起来，刚好擦网而过，落在对方场地的A 点处．如图所示，第二只球飞出时的初速度为v2，直接擦网而过，也落在A点处．设球与地面碰撞时没有能量损失，且不计空气阻力，求：
(1)网球两次飞出时的初速度之比v1∶v2；
(2)运动员击球点的高度H与网高h之比H∶h.
【解析】(1)第一、二两球被击出后都做平抛运动，由平抛运动的规律可知，两球分别被击出至各自第一次落地的时间是相等的．
由题意知水平射程之比为：x1∶x2＝1∶3，故平抛运动的初速度之比为v1∶v2＝1∶3.
(2)第一只球落地后反弹做斜抛运动，根据运动对称性可知DB段和OB段是相同的平抛运动，则两球下落相同高度H－h后水平距离x1′＋x2′＝2x1，
根据公式H＝1
2
gt2
1
，H－h＝
1
2
gt2
2
，
而x1＝v1t1，x1′＝v1t2，x2′＝v2t2，
综合可得v1t2＋v2t2＝2v1t1，
故t1＝2t2，
即H＝4(H－h)，
解得H∶h＝4∶3.
【答案】(1)1∶3 (2)4∶3
物理建模系列(六) 四类常见平抛运动模型
模型一 水平地面上空h 处的平抛运动 由h ＝1
2
gt 2知t ＝
2h
g
，即t 由高度h 决定．
甲
模型二 半圆内的平抛运动(如图甲) 由半径和几何关系制约时间t ：
h ＝12
gt 2 R ±R 2－h 2＝v 0t 联立两方程可求t . 模型三 斜面上的平抛运动
乙
1．顺着斜面平抛(如图乙) 方法：分解位移
x ＝v 0t y ＝12
gt 2
tan θ＝y x
可求得t ＝2v 0tan θ
g
丙
2．对着斜面平抛(如图丙) 方法：分解速度
v x ＝v 0 v y ＝gt tan θ＝v y v 0＝gt
v 0
可求得t ＝
v 0tan θ
g
模型四 对着竖直墙壁的平抛运动(如图丁)
丁
水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同．
t＝d
v
例1 如图，从半径为R＝1 m的半圆AB上的A点水平抛出一个可视为质点的小球，经t＝0.4 s小球落到半圆上．已知当地的重力加速度g＝10 m/s2，则小球的初速度v0可能为( )
A．1 m/s B．2 m/s
C.3 m/s D．4 m/s
【解析】由于小球经0.4 s落到半圆上，下落的高度h＝1
2
gt2＝0.8 m，位置可
能有两处，如图所示．
第一种可能：小球落在半圆左侧，v0t＝R－R2－h2＝0.4 m，v0＝1 m/s 第二种可能：小球落在半圆右侧，
v 0t＝R＋R2－h2，v
＝4 m/s，选项A、D正确．
【答案】AD
例2 如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd.从a点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球，它落在斜面上b点．若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的( )
A．b与c之间某一点B．c点
C．c与d之间某一点D．d点
【解析】如图所示，过b点做水平线be，由题意知小球第一次落在b点，第二次速度变为原来的2倍后，轨迹为Oc′，c′在c的正下方be线上，故轨迹与斜面的交点应在bc之间．据运动规律作图越直观，对解决问题越有利．
【答案】 A。