求函数值域方法求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。

遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。

原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。

本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。

一、基本知识1． 定义：因变量y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2． 函数值域常见的求解思路：⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。

⑵．反解函数，将自变量x 用函数y 的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y 的不等式，解不等式即可获解。

⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数()y f x =看作是关于自变量x 的方程，在值域中任取一个值0y ，0y 对应的自变量0x 一定为方程()y f x =在定义域中的一个解，即方程()y f x =在定义域内有解；另一方面，若y 取某值0y ，方程()y f x =在定义域内有解0x ，则0y 一定为0x 对应的函数值。

从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x 的方程()y f x =在定义域内有解的y 得取值范围。

特别地，若函数可看成关于x 的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。

⑷．可以用函数的单调性求值域。

⑸．其他。

3． 函数值域的求法（1）、直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。

例1：求函数()1y x =≥的值域。

)+∞例2：求函数y = [)1,+∞例3：求函数1y =的值域。

0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

（2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

解：2242(2)6y x x x =-++=--+，∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴21(2)9x ≤-≤ ∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。

（3）．最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。

例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。

解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。

函数y 在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。

∴函数的值域是［0,2］例2：求函数2x y =，[]2,2x ∈-的值域。

1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦例3：求函数2256y x x =-++的值域。

73,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（4）、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

例1：求函数1212xxy -=+的值域。

解：由1212x xy -=+解得121xy y -=+， ∵20x>，∴101yy->+，∴11y -<< ∴函数1212xxy -=+的值域为(1,1)y ∈-。

（5）、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

小结：已知分式函数)0(≠++=c dcx bax y ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为)(bc ad dcx c adb c a y ≠+-+=，用复合函数法来求值域。

例1：求函数125xy x -=+的值域。

解：∵177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++，∵72025x ≠+，∴12y ≠-，∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。

（6）、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。

例1：求函数2y x =解：令t =0t ≥），则212t x -=，∴22151()24y t t t =-++=--+ ∵当12t =，即38x =时，max 54y =，无最小值。

∴函数2y x =5(,]4-∞。

（7）、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。

例1：求函数2231x x y x x -+=-+的值域。

解：由2231x x y x x -+=-+变形得2(1)(1)30y x y x y ---+-=，当1y =时，此方程无解；当1y ≠时，∵x R ∈，∴2(1)4(1)(3)0y y y ∆=----≥， 解得1113y ≤≤，又1y ≠，∴1113y <≤ ∴函数2231x x y x x -+=-+的值域为11{|1}3y y <≤（8）、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

例1：求函数y x =解：∵当x 增大时，12x -随x的增大而减少，x 的增大而增大，∴函数y x =1(,]2-∞上是增函数。

∴1122y ≤-=，∴函数y x =-1(,]2-∞。

例2．求函数xx y 1+=在区间()+∞∈,0x 上的值域。

分析与解答：任取()+∞∈,0,21x x ，且21x x <，则()()()()212121211x x x x x x x f x f --=-，因为210x x <<，所以：0,02121><-x x x x ，当211x x <≤时，0121>-x x ，则()()21x f x f >；当1021<<<x x 时，0121<-x x ，则()()21x f x f <；而当1=x 时，2min =y 于是：函数xx y 1+=在区间()+∞∈,0x 上的值域为),2[+∞。

构造相关函数，利用函数的单调性求值域。

例3：求函数()x x x f -++=11的值域。

分析与解答：因为110101≤≤-⇒⎩⎨⎧≥-≥+x x x ，而x +1与x -1在定义域内的单调性不一致。

现构造相关函数()x x x g --+=11，易知)(x g 在定义域内单调增。

()21max ==g g ，()21min -=-=g g ，()2≤⇒x g ，()202≤≤x g ，又()()422=+x g x f，所以：()422≤≤x f，()22≤≤x f 。

（9）、基本不等式法利用基本不等式ab b a 222≥+和)0,(2>≥+b a ab b a 是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取""=成立的条件.例1 求函数12++=x x y 的值域.解答:211112≥++==+++x x x x y , 当且仅当1=x 时""=成立. 故函数的值域为),2[+∞∈y .此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.例2 求函数1222+++=x x x y 的值域.解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出)"1("+x 项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设:22))(1(2++=+++x x c b x x , (2)将上面等式的左边展开, 有:)()1(2c b x b x ++++,故而21=+b , 2=+c b . 解得1=b , 1=c . 从而原函数1111)1)(1()1(+++++++==x x x x x y ;ⅰ)当1->x 时, 01>+x , 011>+x , 此时2≥y , 等号成立, 当且仅当0=x .ⅱ)当1-<x 时, 0)1(>+-x , 011>-+x , 此时有211)1(11)1(11)1)(1(-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=+++=++++=x x x x x x x y , 等号成立, 当且仅当2-=x .综上, 原函数的值域为: ),2[]2,(+∞⋃--∞∈y . 不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例3. 求函数的值域。

解：原函数变形为：当且仅当即当时，等号成立 故原函数的值域为：例4. 求函数的值域。

解：当且仅当，即当时，等号成立。

由可得：故原函数的值域为：（10）、有界性法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。

例1：求函数2211x y x -=+的值域。

解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R ，对函数进行变形可得2(1)(1)y x y -=-+，∵1y ≠，∴211y x y +=--（x R ∈，1y ≠）， ∴101y y +-≥-，∴11y -≤<， ∴函数2211x y x -=+的值域为{|11}y y -≤<形如2),(sin x y f =α0,1sin ),(2≥≤=x y g α因为可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。

例2．求函数1212--=x x y 的值域[解析]：函数的有界性由1212--=x x y 得112--=y y x11011,022-<>⇒>--∴>y y y y 或 例3：求函数2cos 13cos 2x y x +=-的值域。

[)1,3,5⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦例4：求函数2sin 2sin xy x-=+的值域。

1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦（11）、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。

当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。