思 考 题 5-3
在下述情况下，点分别作何种运动？ (a) at≡0，an≡0；(b) at≠0，an≡0； (c) at≡0，an≠0，(d) at≠0，an≠0。
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思 考 题 5-4
火车头（可看作一个点）沿图示的轨道运动。 问：图中所画的 v 和 a ，哪些是可能的？哪些是不 可能的？并说明理由。
大小和方向为
a a2 x a2 y a2z
ax ay az cos(a , i ) , cos(a , j ) , cos(a , k ) a a a
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思考 题 5-1
当点作直线运动时，已知点在某瞬时的速度 v = 5 m/s，问这时的加速度是否为a = 0？为什么？ 答:不能确定。因为加速度是速度对时间的变 化率，所以不能由某瞬时的速度来确定加速度。
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（2） 点的速度 dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt v v x i v y j vz k
dx dy dz 故 vx , vy , vz dt dt dt
速度大小
v v x v y vz vx vy 方向 cos(v , i ) , cos(v , j ) , cos(v , k ) v z v v v
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例 题 5-3
代入 t = 5 s
v 300 m / s
得
at 10 m / s 2 ,
an 60 m / s 2 故在这瞬时点的全加速度 的大 小和方向分别为
ds v 250 10t , dt at dv 2 tan 0 . 166 , 9 . 5 at 10m/s an dt v2 1 2 an ( 250 10t ) 1500
2
2
2
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（3） 加速度 dv y dv z d v d v x 同理 a i j k dt dt dt dt d2 x d2 y d2 z 2i 2 j 2k dt dt dt a x i a y j az k
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例 题 5-3
解：因已知点沿圆弧轨迹的运动 方程，宜用自然法求解。取M0为 弧坐标 s 的原点，s 的正负方向如 图所示。 当t = 5 s时，点的位置 M 可由弧 坐标确定 s 250t 5t 2 1375 m 先求出点的速度和切向加速度、法 向加速度 dv ds 2 a 10 m/s v 250 10t , t dt dt 2 v 1 an ( 250 10t )2 1500
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1、点的运动的矢量表示法 （1） 点的位置的确定 r r ( t )运动方程 显然矢端曲线就是动点的 运动轨迹。
（2） 点的速度（描述点 运动的快慢与运动方向) Δ r dr v lim r Δ t 0 Δ t dt
（3） 加速度（描述速度 2 Δ v dv d r a lim r 变化的快慢与方向) Δ t 0 Δ t dt dt 2
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例 题 5-4
π2 v cos 2 πt 20 π3 at sin 2 πt 10 π4 an cos 2 2 πt 40
当t1=(1/4 )s 时，j1＝p/8 rad， v1=0，又a1t= -p3/10 m/s2，a1n=0。 则点B的加速度大小 π3 2 a1 a1t m/s 10 a1的实际指向沿切线的负向,与图示 相反。
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点M的运动方程: x (a b ) cos j (a b) cos wt
y b sin j b sin wt
点M的速度方程：
vx x (a b )w sin wt vy y bw cos wt
点M的加速度方程：
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例 题 5-2
a 已知： OA AC AB 2 CM b 椭圆规的曲柄OA可绕定轴 O转动，端点A以铰链连接 于规尺BC；规尺上的点B 和C可分别沿互相垂直的 滑槽运动，j =wt，w为常 量。试求规尺上任一点M 的运动方程、轨迹方程、 速度及加速度方程。
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例 题 5-1
一人在路灯下由灯柱起以匀速 v沿直线背离灯柱 行走。设人高 AB=l，灯高 OD=h ，试求头顶影子 M 的轨迹、速度和加速度。
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例 题 5-1
解：取坐标轴Ox如图。由三角形相似关系，有
OM BM OD AB 即 x x vt h l 从而求得点M 的轨迹为直 线，运动方程为 h x vt h l d x h M 点的速度 v M v dt h l 而加速度 a = 0 ，即点M 作匀速直线运动。
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v vet （3） 点的加速度 2 dv det d s det dv d a (vet ) et v 2 et v dt dt dt dt dt dt
(一) 切向加速度（表示速度大小的变化）
2 d v d s at et 2 et dt dt
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学习运动学的目的 除了为后续课程打基础外， 也可以直接用来解决工程实际问题，例如机构运动 分析。 运动学的力学模型 ： 点和刚体 点：不考虑质量，忽略体积大小的几何上的点； 刚体：由无数点组成的不变形物体。
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运动是绝对的，但运动的描述则是相对的。因 此，在描述物体的运动时都需要指明相对于哪个 物体。用来确定点或物体位置和运动的另一个物 体称为参考体。固结在参考体上的坐标系称为参 考系。一般工程问题中，如不加特别说明都取与 地面固连的坐标系为参考系。
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dv v a at an et en dt
2
为轨迹曲线在点M 处的曲率
半径。
全加速度的大小和方向为
2 a at2 an ,
| at | arctan an
理论力学电子教谓点的坐标，点的位移和点的路程。
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（2）点的速度
经过D t时间,点沿轨迹由 ， M 到M'，矢径有增量 Δr 则 Δr v lim Δ t 0 Δ t Δr Δs ds v lim lim Δ t 0 Δ t Δ t 0 Δ t dt
ds v e t s e t dt et为切向单位矢。
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(二) 法向加速度（ 表示速度方向的变化） d et Δ et an v v lim Δ t 0 Δ t dt Δj Δj | Δ et || et' et | 2 | et | sin 2 sin 2 2
Δj Δj 当Δ t 0时, Δ s 0, sin , | et | 1 2 2 于是 Δ et Δj , 方向垂直于et ,即沿法线方向。 指向轨迹内凹一侧。法 线方向单位矢为 en。 2 det dj dj ds v v 为轨迹在点M an en dt dt ds dt 的曲率半径。
这些机构用来进行运动
的传递与转变，以实现
预期的运动。例如车轮
的运动会带动车辆前进。
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运动学的主要内容 包括建立机械运动的描述方 法,即选择合适的参量对物体的机械运动进行定量描 述。研究表征运动几何性质的基本物理量，如速度、 加速度、角速度和角加速度等。研究运动分解与合 成的规律。
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思 考 题 5-4
沿轨迹切线； 答：点A不可能；v=0, an=0, a 点B和点F可能；v 0, an0, a 指向曲率中心；
若点C是曲线的拐点,就是可能的,点D、点E、点G不可能。
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例 题 5-3
点从位置 M0 处以 s =250t+5t2 规律沿半径 r =1500 m的圆弧运动，其中s以m计，t以s计，当 t =5 s时，试求点在轨迹上的位置M及其速度和加 速度。
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例 题 5-2
解：考虑任意位置，点M的 坐标 x，y可以表示成
x (a b ) cos j (a b) cos wt y b sin j b sin wt
上式即为点M的运动方程。 上式中消去角j，即得点M 的轨迹方程: x2 y2 2 2 1 (a b) b 可见点M的轨迹为椭圆。有一种椭圆规就是据 此原理制作的。
速度。
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例 题 5-4
解：已知销钉B的轨迹是圆弧 DE ，中心在点 A ， 半径是 R 。 选滑道上点 O' 作为弧坐标的 原点，并以O'D为正向。则点 B在任一瞬时的弧坐标 s R 但是，由几何关系知 π =2j ，且 j sin 2πt ， 8 将其代入上式， 得 π s 2 Rj sin 2πt 40 这就是点B的弧坐标表示的运动方程。