2020 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（B 卷）
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招生专业：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论、统计学 研究方向：各方向 考试科目名称及代码：709 数学分析
********************************************************************************* 题目结束
考试科目： 709 数学分析
共 2 页，第 2 页
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n1 n
2.
（10 分）证明：第二型曲线积分
L
xdx ydy ( x2 y2 )3/2
在区域
D
:
x
0
上与路径无关.
3. （11 分）设函数 f (x) 在 [0, 3] 上连续，在 (0, 3) 内可导，且满足 f (0) f (1) f (2) 3 ，
f (0) 1， f (3) 1 ，证明：存在 (0,3) ，使得 f ( ) 0 .
•)5¿µ¤k‰Y7L 3‰K’£ò¤þ§ 3 ÁKþ˜Æ؉©" ˜!OŽK£ 3 K§z K8©§ 24©¤
1. ¦4•lim
arcsin 2x tan x2
√
.
x→0 (e3x − 1)( 1 + x2 − 1)
2.
¦4• lim x→0
ex
− ln(1 + sin2 x
x)
.
ˆ
3. ¦È© x arctan xdx.
4. （12 分）证明：对 x 0, 函数 f ( x) x (t t2 ) sin2n tdt 有一个上界为
1
.
0
(2n 3)(2n 2)
5. （12 分）非极值点的稳定点称为鞍点. 证明：二元函数 f ( x, y) x y sin x 的全体鞍点组 成的集合与整数集 A 可建立一一映射.
(b > a > 0).
0
x
ä¦
7:´Ä4
n!?Ø©ÛK£ 4 K§ 36©¤
1. £8©¤?ؼêf (x) = |x3|3x = 0?ˆ ê •35§¿¦dy|x=−1, d2y|x=1"
2. £8©¤
∞
ä?ê
(−1)n ln(n + 1) ´ýéÂñ!^‡Âñ„´uÑ
"
n+1
n=0
•Á‰8µ709êÆ©Û£Aò¤
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、计算题（共 5 小题，每小题 9 分，共 45 分）
1
1.
求极限
lim
n
n3
12 22 n2
.
2. 求极限 lim 2020 x2020 x2019 2020 x2020 x2019 . x
3. 求极限 lim
1 arctan( tan x)
3. 用含参量积分计算 2 0
2 tan x
dx .
三、讨论分析题（共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）
考试科目： 709 数学分析
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1. 设 k A ，试问 k 为何值时，方程 arctan x kx 0 无正实根.
2.
已知函数
D
4.
ˆ ¦È©
1
1 + sin x + x ln(2 + x4) dx.
−1
(1 + x2)2
Âñ5"
5. ¦d•§x2 + 2xy + 2y2 = 1¤(½ Û¼êy = f (x) 7:§¿
Š:§e•4Š:§`²´4Œ„´4 Š:§¿¦éA4Š"
6.
ˆ OŽÈ©
+∞
e−ax2
− e−bx2 dx
f
(
x,
y)
2 x2
xm
y y2
,
(
x,
y)
(0,
0)
，其中
m
为正整数，
a
为实数.
设
f (x, y) 在
a, (x, y) (0,0)
(0, 0) 点处的方向导数的个数为 n ，试讨论 n 与 m 和 a 的关系.
四、证明题（共 5 小题，共 55 续.
!OŽK£ 6 K§z K9©§ 54©¤
∞
1. ¦˜?ê n(n + 1)xn Âñ•9Ú¼ê"
n=1
2. rf (x) = −1, x ∈ [−π, 0] Ðm¤Fp“?꧿?ØT?ê
1,
x ∈ (0, π)
¨
3. ¦
e
x−y x+y
dxdy§Ù¥D´dx
=
0,
y
= 0,
x+y
= 1¤Œ«•"
2 •§1 1 •
3.
ˆ £8©¤?؇~È©Φ(α) =
+∞
xα−1 dx
Âñ5"
0 1+x
4. £12©¤?ؼê
xy2
,
f (x, y) = x2 + y2
0,
x2 + y2 = 0, x2 + y2 = 0
3:(0, 0) \g4•!ëY5! ê9Œ‡5"
o!y²K£ 4 K§z K9©§ 36©¤
1.
a1
= 0,
an+1
=
1 4
+ a2n,
n = 1, 2, · · ·"y²ê
{an}
4••3§¿¦ÙŠ"
2. y²¼ê‘?ê ∞ 2n sin x 3«m(0, +∞)þؘ—Âñ§ S4˜—Âñ" 3n
n=1
3. yLˆª(3x2 − yz)dx + (3y2 − xz)dy + (3z2 − xy)dz• ‡©§¿¦Ù ¼ê"
的和函数.
n2 n(n 1)
2.
已知一元函数
f (h) 在 h0 点可导，设 g( x, y)
f (h0 x) f (h0 y) 为定义在 D A 2 上的 x y
二元函数，其中 D 为 A 2 的第一象限. 试用 定义求 g 在 D 上当 ( x, y) (0, 0) 时的极限.
x 0
(1
1)t t
e
dt
.
x
ln x
4. 求积分 arctan x dx .
x (1 x)
5.
用三重积分求椭球体V
(x, y, z) A
3
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
a,b, c
0 的体积.
二、计算题（共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）
1. 求幂级数 x
xn