2018年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＜﹣2或x＞1}，则A∪B＝（）A．{x|x＜﹣2或x＞1}B．{x|x＜﹣2或x＞﹣1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|1＜x＜2}2．（5分）复数（1+i）（2﹣i）＝（）A．3+i B．1+i C．3﹣i D．1﹣i3．（5分）（x+）5（x∈R）展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A．﹣1B．C．1D．24．（5分）已知双曲线C：＝1的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆+y2＝1有相等的焦距，则C的方程为（）A．﹣y2＝1B．﹣＝1C．x2﹣＝1D．﹣＝15．（5分）设，是非零向量，则“||＝||﹣||”是“∥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．-baiduwenku**百度文库baiduwenku**精品文库--百度文库文库若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；平均数分别为s1，s2，则下面正确的是（）A．m1＞m2，s1＞s2B．m1＞m2，s1＜s2C．m1＜m2，s1＜s2D．m1＜m2，s1＞s27．（5分）已知函数f（x）＝log2x，g（x）＝2x+a，若存在，使得f （x1）＝g（x2），则a的取值范围是（）A．[﹣5，0]B．（﹣∞，﹣5]∪[0，+∞）C．（﹣5，0）D．（﹣∞，﹣5）∪（0，+∞）8．（5分）A，B，C，D四名工人一天中生产零件的情况如图所示，每个点的横、纵坐标分别表示该工人一天中生产的I型、II型零件数，则下列说法错误的是（）A．四个工人中，D的日生产零件总数最大B．A，B日生产零件总数之和小于C，D日生产零件总数之和C．A，B日生产I型零件总数之和小于II型零件总数之和D．A，B，C，D日生产I型零件总数之和小于II型零件总数之和二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．10．（5分）设等比数列{a n}的公比q＝2，前n项和为S n，则＝．11．（5分）在极坐标系中，点是极点，则△AOB的面积等于．12．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的边长为1，若过直线BD'的平面与该正方体的面相交，交线围成一个菱形，则该菱形的面积为．13．（5分）直线x﹣y﹣1＝0被圆C所截的弦长为，则圆C的方程可以为．（写出一个即可）14．t+24（a，r为常数）．在t＝0min和t＝1min测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L，那么在t＝4min时，该物质的浓度为mg/L；若该物质的浓度小于24.001mg/L，则最小的整数t的值为．（参考数据：lg2≈0.3010）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝2，b cos C＝c cos B．（Ⅰ）求c的值．（Ⅱ）若a＝3．求sin2A的值．16．（13分）某银行的工作人员记录了3月1号到3月15日上午10：00在该银行取号后等待办理业务的人数，如图所示：求的值；（Ⅲ）求二面角A﹣DE﹣B的大小；18．（13分）已知抛物线C：y2＝2px经过点P（2，2），A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（II）若OA⊥OB，求△AOB面积的最小值．19．（14分）已知函数，x∈[﹣π，π]．（I）当a＝0时，求f（x）的单调区间；（II）当a＞0时，讨论f（x）的零点个数．20．（13分）设a，λ均是正整数，数列{a n}满足：a1＝a，（I）若a3＝3，λ＝5，写出a1的值；（II）若a＝1，λ为给定的正奇数，求证：若a n为奇数，则a n≤λ；若a n为偶数，则a n ≤2λ；（III）在（II）的条件下，求证：存在正整数n（n≥2），使得a n＝1．2018年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＜﹣2或x＞1}，则A∪B＝（）A．{x|x＜﹣2或x＞1}B．{x|x＜﹣2或x＞﹣1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＜﹣2或x＞1}，则A∪B＝{x|x＜﹣2或x ＞﹣1}，故选：B．2．（5分）复数（1+i）（2﹣i）＝（）A．3+i B．1+i C．3﹣i D．1﹣i【解答】解：（1+i）（2﹣i）＝2﹣i+2i﹣i2＝3+i．故选：A．3．（5分）（x+）5（x∈R）展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A．﹣1B．C．1D．2【解答】解：∵T r+1＝C5r•x5﹣r•（）r＝a r C5r x5﹣2r，又令5﹣2r＝3得r＝1，∴由题设知C51•a1＝10⇒a＝2．故选：D．4．（5分）已知双曲线C：＝1的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆+y2＝1有相等的焦距，则C的方程为（）A．﹣y2＝1B．﹣＝1C．x2﹣＝1D．﹣＝1【解答】解：根据题意，双曲线C：＝1的焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±x，若其一条渐近线的倾斜角为60°，则该渐近线的方程为y＝x，则有＝，即b＝a，椭圆+y2＝1中，c2＝5﹣1＝4，若双曲线与椭圆有相等的焦距，则有a2+b2＝4，解可得a2＝1，b2＝3，则双曲线的方程为x2﹣＝1；故选：C．5．（5分）设，是非零向量，则“||＝||﹣||”是“∥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由||＝||﹣||，可得与共线反向，由∥，可得||＝||﹣||或||＝||+||，∴“||＝||﹣||”是“∥”的充分而不必要条件．故选：A．6．（5分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；平均数分别为s1，s2，则下面正确的是（）A．m1＞m2，s1＞s2B．m1＞m2，s1＜s2C．m1＜m2，s1＜s2D．m1＜m2，s1＞s2【解答】解：由频率分布直方图得：甲地区[40，60）的频率为：（0.015+0.020）×10＝0.35，[60，70）的频率为0.025×10＝0.25，∴甲地区用户满意度评分的中位数m1＝60+＝66，甲地区的平均数S1＝45×0.015×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.020×10+85×0.010×10+95×0.010×10＝67．乙地区[50，70）的频率为：（0.005+0.020）×10＝0.25，[70，80）的频率为：0.035×10＝0.35，∴乙地区用户满意度评分的中位数m2＝70+×10≈77.1，乙地区的平均数S2＝55×0.005×10+65×0.020×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.015×10＝77.5．∴m1＜m2，s1＜s2．故选：C．7．（5分）已知函数f（x）＝log2x，g（x）＝2x+a，若存在，使得f （x1）＝g（x2），则a的取值范围是（）A．[﹣5，0]B．（﹣∞，﹣5]∪[0，+∞）C．（﹣5，0）D．（﹣∞，﹣5）∪（0，+∞）【解答】解：当≤x≤2时，log2≤f（x）≤log22，即﹣1≤f（x）≤1，则f（x）的值域为[﹣1，1]，当≤x≤2时，2×+a≤g（x）≤4+a，即1+a≤g（x）≤4+a，则g（x）的值域为[1+a，4+a]，若存在，使得f（x1）＝g（x2），则[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅，若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝∅，则1+a＞1或4+a＜﹣1，得a＞0或a＜﹣5，则当或[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅时，﹣5≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣5，0]，故选：A．8．（5分）A，B，C，D四名工人一天中生产零件的情况如图所示，每个点的横、纵坐标分别表示该工人一天中生产的I型、II型零件数，则下列说法错误的是（）A．四个工人中，D的日生产零件总数最大B．A，B日生产零件总数之和小于C，D日生产零件总数之和C．A，B日生产I型零件总数之和小于II型零件总数之和D．A，B，C，D日生产I型零件总数之和小于II型零件总数之和【解答】解：由图形得：在A中，四个工人中，D的日生产零件总数最大，B生产零件总数最小，故A正确；在B中，A，B日生产零件总数之和小于C，D日生产零件总数之和，故B正确；在C中，A，B日生产I型零件总数之和小于II型零件总数之和，故C正确；在D中，A，B，C，D日生产I型零件总数之和大于II型零件总数之和，故D错误．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝，n＝0执行循环体，n＝1，S＝1不满足条件n＞2，执行循环体，n＝2，S＝，不满足条件n＞2，执行循环体，n＝3，S＝，此时，满足条件n＞2，退出循环，输出S的值为．故答案为：．10．（5分）设等比数列{a n}的公比q＝2，前n项和为S n，则＝．【解答】解：∵q＝2，∴＝＝＝＝．故答案为：．11．（5分）在极坐标系中，点是极点，则△AOB的面积等于．【解答】解：由在极坐标系中，点是极点，可得OA＝1，0B＝2，∠AOB＝﹣＝，即有△AOB的面积为S＝OA•OB•sin∠AOB＝×1×2×＝，故答案为：．12．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的边长为1，若过直线BD'的平面与该正方体的面相交，交线围成一个菱形，则该菱形的面积为．【解答】解：取AA′的中点E，CC′的中点为F，连接BED′F，可得四边形是菱形，两条对角线的长为：，；则菱形的面积为：S＝＝．故答案为：．13．（5分）直线x﹣y﹣1＝0被圆C所截的弦长为，则圆C的方程可以为x2+y2＝1（答案不唯一）．（写出一个即可）【解答】解：设圆的标准方程为x2+y2＝r2，∵直线x﹣y﹣1＝0被圆C所截的弦长为，∴圆心到直线的距离d＝＝，则圆的半径r＝＝＝1，则圆的方程为x2+y2＝1，故答案为：x2+y2＝1（答案不唯一）14．（5分）某种物质在时刻t（min）的浓度M（mg/L）与t的函数关系为M（t）＝ar t+24（a，r为常数）．在t＝0min和t＝1min测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L，那么在t＝4min时，该物质的浓度为26.56mg/L；若该物质的浓度小于24.001mg/L，则最小的整数t的值为13．（参考数据：lg2≈0.3010）【解答】解：根据条件：ar0+24＝124，ar+24＝64；∴；∴；∴；由得：；∴；∴；∴t[lg2﹣（1﹣lg2）]＜﹣5；∴t（2lg2﹣1）＜﹣5，带入lg2≈0.301得：﹣0.398t＜﹣5；解得t＞12.5；∴最小的整数t的值是13．故答案为：25.56，13．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝2，b cos C＝c cos B．（Ⅰ）求c的值．（Ⅱ）若a＝3．求sin2A的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，由b cos C＝c cos B及正弦定理，得sin B cos C﹣cos B sin C＝0，即sin（B﹣C）＝0．因为0＜B＜π，0＜C＜π，所以﹣π＜B﹣C＜π，所以B＝C，所以b＝c；因为b＝2，所以c＝2；……………………………（7分）（Ⅱ）由b＝c＝2，a＝3，得；又因为0＜A＜π，所以；所以．………………（13分）16．（13分）某银行的工作人员记录了3月1号到3月15日上午10：00在该银行取号后等待办理业务的人数，如图所示：………………………（4分）（Ⅱ）由（I）可得X的数学期望为，所以μ＝10；因为，，所以n＝2；………………………（10分）（Ⅲ）由图判断，从第10日或第11日开始的连续五天上午10：00，在该银行取号后等待办理业务的人数均值最大．………………………（13分）17．（14分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，AB＝AC＝CD＝2BE ＝2，BE∥CD，CD⊥CB，AB⊥AC．（Ⅰ）求证：平面ACD⊥平面ABC；（Ⅱ）若O为BC中点，P为线段CD上一点，OP∥平面ADE，求的值；（Ⅲ）求二面角A﹣DE﹣B的大小；【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝CB，CD⊂平面BCDE，CD⊥CB，∴CD⊥平面ABC．∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC；（Ⅱ）解：如图，取CD中点F，连接EF，∵OP∥平面ADE，OP⊂平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE＝DE，∴OP∥DE，则∠CPO＝∠FDE．∵BE∥CF，BE＝CF，∴EF∥BC，则∠PCO＝∠DFE．∴△COP～△FED，得＝．∵F为CD的中点，；（Ⅲ）解：连接OA，由（Ⅰ）知CD⊥平面ABC，OA⊂平面ABC，OB⊂平面ABC ∴CD⊥OA，CD⊥OB，∵AB＝AC，点O为BC中点，∴OA⊥OB．作OM∥CD，∴OM⊥OA，OM⊥OB．如图建立空间坐标坐标系O﹣xyz．∵AB＝AC＝CD＝2BE＝2，∴，∵OA⊥OB，OA⊥OM，OB∩OM＝O，∴OA⊥平面BCDE．平面BCDE的法向量＝（0，0，1）．设平面ADE的法向量＝（x，y，z），则有即，令x＝1，则，z＝3，即．∴cos＜＞＝＝．由题知二面角A﹣DE﹣B为锐角，二面角A﹣DE﹣B的大小为．18．（13分）已知抛物线C：y2＝2px经过点P（2，2），A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（II）若OA⊥OB，求△AOB面积的最小值．【解答】解：（I）由抛物线C：y2＝2px经过点P（2，2）知4p＝4，解得p＝1．则抛物线C的方程为y2＝2x．抛物线C 的焦点坐标为，准线方程为，（II）由题知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB：x＝ty+a，由消去x，得y2﹣2ty﹣2a＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝2t，y1y2＝﹣2a．因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2＝0，即，.＝＝分）已知函数，∴f（x）的单调增区间为，；f（x）的单调减区间为，．（Ⅱ）任取x∈[﹣π，π]．∵，∴f（x）是偶函数．f′（x）＝ax+x cos x＝x（a+cos x）．当a≥1时，a+cos x≥0在[0，π）上恒成立，∴x∈[0，π）时，f′（x）≥0．∴f（x）在[0，π]上单调递增．又∵f（0）＝1，∴f（x）在[0，π]上有0个零点．又∵f（x）是偶函数，∴f（x）在[﹣π，π]上有0个零点．当0＜a＜1时，令f′（x）＝0，得cos x＝﹣a．由﹣1＜﹣a＜0可知存在唯一使得cos x0＝﹣a．∴当x∈[0，x0）时，f′（x）≥0，f（x）单调递增；当x∈（x0，π）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∵f（0）＝1，f（x0）＞1，．①当，即时，f（x）在[0，π]上有0个零点．由f（x）是偶函数知f（x）在[﹣π，π]上有0个零点．②当，即时，f（x）在[0，π]上有1个零点．由f（x）是偶函数知f（x）在[﹣π，π]上有2个零点．综上，当时，f（x）有2个零点；当时，f（x）有0个零点．20．（13分）设a，λ均是正整数，数列{a n}满足：a1＝a，（I）若a3＝3，λ＝5，写出a1的值；（II）若a＝1，λ为给定的正奇数，求证：若a n为奇数，则a n≤λ；若a n为偶数，则a n ≤2λ；（III）在（II）的条件下，求证：存在正整数n（n≥2），使得a n＝1．【解答】（共13分）解：（I）∵a，λ均是正整数，数列{a n}满足：a1＝a，a3＝3，λ＝5，∴a n+1＝，∴当a1是奇数时，a2＝a1+5是偶数，＝3，解得a1＝1；当a1是偶数时，a2＝，当a2＝是奇数时，，解得a1＝﹣4，不合题意；当a2＝是偶数时，a3＝＝3，解得a1＝12．综上，a1的值为1或12．……………………………………………………………………………（4分）证明：（II）①当n＝1，2时，a1＝1为奇数，a1≤λ成立，a2＝1+λ为偶数，a2≤2λ．②假设当n＝k时，若a k为奇数，则a k≤λ，若a k为偶数，则a k≤2λ．那么当n＝k+1时，若a k是奇数，则a k+1＝a k+λ是偶数，a k+1≤2λ；若a k是偶数，．此时若a k+1是奇数，则满足a k+1≤λ，若a k+1是偶数，满足a k+1≤λ≤2λ．即n＝k+1时结论也成立．综上，若a n为奇数，则a n≤λ；若a n为偶数，则a n≤2λ．……………………（9分）（III）由（II）知，{a n}中总存在相等的两项．不妨设a r＝a s（r＜s）是相等两项中角标最小的两项，下证r＝1．假设r≥2．①若a r＝a s≤λ，由a r﹣1＞0，a s﹣1＞0知a r和a s均是由a r﹣1和a s﹣1除以2得到，即有a r＝a s﹣1，与r的最小性矛盾；﹣1②若a r＝a s＞λ，由a r﹣1≤2λ，a s﹣1≤2λ知a r和a s均是由a r﹣1和a s﹣1加上λ得到，即有a r﹣1＝a s﹣1，与r的最小性矛盾；综上，r＝1，则a s＝a1＝1．即若a＝1，λ是正奇数，则存在正整数n（n≥2），使得a n＝1．…………（13分）的关系，把问题具体化、形象化，分析图可以是运动过程图、受力分析图、状态变化图“对象模型”是：“过程模型”是：理想化了的物理现象或过程，如匀速直线运动、自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运单摆：悬点固定，细线不会伸缩，质量不计，摆球大小忽略，秒摆；周期为2s的单摆通讯卫星或同步卫星：运行角速度与地球自转角速度相同，周期等与地球自转周期，即24h理性气体：不计分子力，分子势能为零；满足气体实验定律PV/T=C(C为恒量)绝热容器：与外界不发生热传递理想变压器：忽略本身能量损耗(功率P输入=P输出），磁感线被封闭在铁芯内（磁通量φ1=φ2）理想安培表：内阻为零理想电压表：内阻为无穷大理想电源：内阻为零，路端电压等于电源电动势理想导线：不计电阻，可以任意伸长或缩短静电平衡的导体：必是等势体，其内部场强处处为零，表面场强的方向和表面垂直二．运动模型中的隐含条件自由落体运动：只受重力作用，V0=0，a=g竖直上抛运动：只受重力作用，a=g，初速度方向竖直向上平抛运动：只受重力作用，a=g，初速度方向水平爆炸,动量守恒；弹性碰撞,动能,动量都守恒；完全非弹性碰撞；动量守恒,动能损失最大直线运动：物体受到的合外力为零,后者合外力的方向与速度在同一条直线上,即垂直于速度方向上的合力为零相对静止：两物体的运动状态相同，即具有相同的加速度和速度简谐运动：机械能守恒，回复力满足F= －kx用轻绳系小球绕固定点在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动；小球在最高点时，做圆周运动的向心力只有重力提供，此时绳中张力为零，最高点速度为V=（R为半径）用皮带传动装置(皮带不打滑)；皮带轮轮圆上各点线速度相等；绕同一固定转轴的各点角速度相等初速度为零的匀变速直线运动；①连续相等的时间内通过的位移之比：SⅠ：SⅡ：SⅢ：SⅣ…=1:3:5:7。