7.4 数学归纳法上海市建平中学李坚一、教学内容分析数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机.数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束.理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k 时命题成立这个条件.二、教学目标设计1. 从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，再到数学归纳法的科学性的认识；2．对数学归纳法的叙述数学步骤地掌握；3．形成观察、归纳、推广的意识,提高运用知识解决问题的能力,渗透分类讨论、方程等数学思想方法．三、教学重点及难点重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析;难点：数学归纳法中递推思想的理解．四、教学用具准备实物投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计一、复习引入问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？ 方法一：把它倒出来看一看就可以了．特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．方法二：一个一个拿，拿一个看一个．比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点：有顺序，有过程．问题2：在数列{}n a 中，*111,,()1n n na a a n N a +==∈+，先算出234,,a a a 的值，再推测通项n a 的公式．过程：212a =，313a =，414a =，由此得到：*1,()n a n N n=∈， 解决以上两个问题用的都是归纳法.二、讲解新课：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：由特殊→一般.2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.如我们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时，在考察了n=1，2，3，4几种特殊情形后得出的一般公式，就是作的一种不完全归纳.我们已经知道，不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法；同时也应看到，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想.因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高我们的数学能力十分重要.3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法：对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N *，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.5. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n= n 0时，命题成立，再假设当n=k(k ≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；(2)假设当n=k(k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确.三、例题分析例1 用数学归纳法证明：如果{a n }是一个等差数列，那么a n =a 1+(n －1)d 对一切n ∈N *都成立.证明：(1)当n=1时，左边=a 1，右边=a 1+0·d=a 1，等式成立.(2)假设当n=k 时等式成立，就是a k =a 1+(k －1)d.那么a k +1=a k +d=［a 1+(k －1)d ］+d=a 1+［(k+1)－1］d ，这就是说，当n=k+1时，等式也成立.由(1)和(2)可以判定，等式对任何n ∈N *都成立.例2 用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n －1)=n 2.证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.(2)假设当n=k 时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k －1)=k2，那么1+3+5+…+(2k －1)+［2(k+1)－1］=k 2+［2(k+1)－1］=k 2+2k+1=(k+1)2.∴n=k+1时也成立.由(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立.四、课堂练习： 1.用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=(1)2n n +. 证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1(11)2⨯+=1.∴等式成立. (2)假设当n=k 时，等式成立，即1+2+3+…+k=(1)2k k +. 那么当n=k+1时，11123(1)(1)(1)(1)(11)22k k k k k k k +++⋅⋅⋅+++=+++=+++ ∴n=k+1时，等式也成立. 由(1)(2)可知等式对一切n ∈N *都成立.2.首项为a 1，公比为q 的等比数列的通项公式是：a n =a 1q n-1.证明：(1)n=1时，左边=a 1，右边=a 1·q 1－1=a 1q 0=a 1.∴左边=右边.(2)假设当n=k 时等式成立.即a k =a 1q k －1.那么当n=k+1时.a k +1=a k q=a 1q k －1·q=a 1q (k+1)－1.∴n=k+1时等式也成立.由(1)、(2)可知等式对一切n∈N*都成立.五、课堂小结 (引导学生归纳,教师提炼)(1)中心内容是归纳法和数学归纳法；(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；(3)数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必须是两步，最后还要总结；(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想.六、作业七、教学设计说明数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用，不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．所以要强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．相关数学史资料介绍资料1: 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但n 一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别是，费马曾认为，当n∈N时，221为3,5,17,257,65537作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了当n=5时，52=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．21有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！资料2：f（n）=n2+n+41，当n∈N时，f（n）是否都为质数？f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151，… f（39）=1 601．但是f（40）=1 681=412是合数.算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，说明用不完全归纳法得出的结论可能是错误的．对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明.。