2021届高考数学一轮复习 专题08 平面向量 教案一、平面向量的概念1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.例如：力，速度。

2．表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用小写字母a ，b…或用，，…表示.注意：我们用有向线段表示向量，而不能认为向量就是一个有向线段.3．模：向量的长度叫向量的模，记作a.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.4．零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. 注意：0和0 是不同，0是一个数字，0代表一个向量，不要弄混.5．单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.aaa =0注意：单位向量不是只有一个，有无数多个，如果把它们的起始点重合，终止点刚好可以构成一个单位圆。

6．共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. 注意：由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量平行向量和共线向量是一个意思，对于两个非零向量b a,，若存在非零常数λ使b aλ=是b a ∥的充要条件.7．相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 例1下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若||||a b =，则a b =；③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =； ⑤若m n =，n k =，则m k =；⑥若b c b a∥∥,，则.c a ∥正确的是_________ 【答案】④⑤【解析】①把一个向量平移后向量是不变的，③A,B,C,D 有可能在一条直线上，⑥b可能是零向量二、平面向量的数量积及坐标表1、向量的夹角：已知两个非零向量,a b ，如果以O 为起点作,OA a OB b ==，那么射线,OA OB 的夹角θ叫做向量a 与b 的夹角．θ的取值范围是0θπ≤≤（1） 当0θ=时，表示向量a 与b 方向相同；（2） 当θπ=时，表示向量a 与b 方向相反；（3） 当2πθ=时，表示向量a 与b 相互垂直。

【注意：一定牢记夹角的取值范围，特别是0和π的实际意义。

】例题2已知||2,||3,a b ==a 与b 的夹角为4π，当向量a b +与a b λ+夹角为锐角时，求实数λ的取值范围。

【答案】），（），（∞+⋃11512-【解析】提示：当两个向量的数量积大于0时，它们的夹角取值范围是[0,90°）；锐角时，数量积大于0且不等于1.2、 向量的数量积已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ（0θπ≤≤），则把cos a b θ叫做a 与b 的数量积，记作a b ⋅．即||||cos a b a b θ⋅= （1）两个向量的数量积是一个实数；（2）20a a a ⋅=≥，当且仅当0a a ⋅=时，0a =（3）已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影．显然b 在a 方向上的投影等于||a ba ⋅． （4）ab ⋅的几何意义： a b ⋅等于其中一个向量a 的模a 与另一个向量b 在向量a 的方向上的投影cos b θ的乘积．例题3已知向量a 与b 的夹角为θ，且3sin ,||55a θ==，则a 在b 的方向上的投影是 ； 【答案】±4【解析】提示：投影是数值，可能是正的也可能是负的。

3、向量数量积的运算律 ①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()R ∈⋅=⋅=⋅λλλλ③分配律成立：()⋅±⋅=⋅±()±⋅= 特别注意：（1）结合律不成立：()()⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立⋅=⋅不能得到⋅=（3）b a ⋅=0不能得到a =0或b =0④但是乘法公式成立： ()()22-=-=-⋅+；()2222+⋅±=±2+⋅±=；等等。

⑤两个向量垂直的充要条件是：0a b ⋅= 4、向量数量积的坐标表示设1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=+，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。

a 与b 夹角为θ，则cos θ=a 与b 的夹角为锐角等价于12120x x y y +>且1221x y x y ≠a 与b 的夹角为钝角等价于12120x x y y +<且1221x y x y ≠例题4（2020·上海高三专题练习）已知点A 、B 、C 的坐标分别为()3,0A 、()0,3B 、()cos ,sin C αα，3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若AC BC =，求角α的值；（2）若1AC BC ⋅=-，求22sin sin21tan ααα++的值.【答案】（1）54π；（2）95- 【解析】（1）∵AC BC =，化简得tan 1α=，∵3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴54πα=． （2）∵ 1AC BC ⋅=-，∴()()cos 3,sin cos ,sin 31αααα-⋅-=-，∴2sin cos 3αα+=，∴52sin cos 9αα=-， ∴()22sin cos sin cos 2sin sin 252sin cos 1tan sin cos 9ααααααααααα++==-++＝．三、平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．例题5（2019·上海浦东新高三期末）已知点()1,2A -，()2,0B ，P 为曲线y =上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（ ）A ．[]1,7B ．[]1,7-C ．1,3⎡+⎣D ．1,3⎡-+⎣【答案】A【解析】解：设(),P x y 则由y =()221043x y y +=≥，令2cos ,x y θθ==，[](0,θπ∈，()1,2AP x y ∴=-+，()1,2AB =，124232cos 34sin 36AP AB x y x y πθθθ⎛⎫∴⋅=-++=++=++=++ ⎪⎝⎭，0θπ≤≤，7666πππθ∴≤+≤， 1sin 126πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 14sin 376πθ⎛⎫∴≤++≤ ⎪⎝⎭，专项训练1．（2019·上海市嘉定区安亭高级中学高二月考）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC 【答案】A 【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A. 2．（2018·上海高三期中）已知点A （﹣2，0）、B （3，0），动点P （x ，y ）满足2PA PB x ⋅=，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】D 【解析】∵动点P （x ，y ）满足2PA PB x ⋅=， ∴（﹣2﹣x ，﹣y ）•（3﹣x ，﹣y ）=x 2， ∴（﹣2﹣x ）（3﹣x ）+y 2=x 2，解得y 2=x+6， ∴点P 的轨迹是抛物线． 故选D ．3．（2020·上海高三专题练习）若平面向量(1,2)a =-与b 的夹角是180°，且35b =，则b 等于( )A ．(3,6)-B ．(3,6)-C ．(6,3)-D ．(6,3)-【答案】A 【解析】设(,)b x y =，则cos1802,a b x y =-(1)2x y -=-（1）=2）， 由（1）（2）可解得x=-3,y=6故选A ；4．（2016·上海宝山高三一模）P 是ABC 所在平面内一点，若CB PA PB λ=+，其中R λ∈，则P 点一定在（ ） A ．ABC 内部 B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上 D ．BC 边所在直线上【答案】B 【解析】根据题意，CB PA PB CB PB PA CP PA λλλ=+⇔-=⇔=，∴点P 在AC 边所在直线上，故选B.5．（2020·上海市七宝中学高三三模）已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，当0FA FB FC ++=时，则存在横坐标2x >的点A 、B 、C 有（ ） A ．0个 B ．2个C ．有限个，但多于2个D ．无限多个【答案】A 【解析】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，先证12x ≤，由0FA FB FC ++=知，F 为ABC 的重心，又131132(1,0),1,033x x x y y yF ++++∴==，2312313,x x x y y y ∴+=-+=-， ()()222222323232322y y y y y y y y ∴+=++≤+，()2221232y y y ∴≤+，2223122444y y y ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，()1232x x x ∴≤+，()1123x x ∴≤-12x ∴≤， 同理232,2x x ≤≤， 故选：A.6．（2020·上海闵行高三二模）已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于M ．N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=，2EN NF λ=，则12λλ+=（ ） A ．2- B ．12-C ．1D ．1-【答案】D 【解析】解：根据条件可得F （1，0），则设直线MN 的方程为y ＝k （x ﹣1），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），所以E （0，﹣k ），联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理可得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0， 则x 1+x 2＝2224k k +，x 1x 2＝1，因为1EM MF λ=，2EN NF λ=， 所以λ1（1﹣x 1）＝x 1，λ2（1﹣x 2）＝x 2，即有λ1＝111x x -，λ2＝221x x -，所以()221212122122112221242212411111k x x x x x x k x x x x x x k k λλ+-+-=+===-+---++-++. 故选：D.7．（2016·上海奉贤高三一模）已知点(1,5)A -和向量(2,3)a =，若3AB a =，则点B 的坐标为_________．【答案】【解析】设点，，因此，得，得点．8．（2020·上海长宁高三一模）已知非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()a b c //+，()//b a c +，设c xa yb =+，,x y ∈R ，则2x y +=______.【答案】－3 【解析】因为非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()//a b c +，()//b a c +，(),0a m b c m ∴=+≠， 1c a b m∴=- (),0b n a c n ∴=+≠ 1c b a n∴=-1111m n ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩c xa yb =+1x y ∴==- 23x y ∴+=-故答案为：3-．9．（2018·上海市七宝中学高三三模）设点O 在ABC ∆的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且21OD OE +=，则23OA OB OC ++=___________【答案】2 【解析】∵点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，∴2OA OC OD +=，2OB OC OE +=， ∴23OA OB OC ++=2()OA OC OB OC +++24222OD OE OD OE =+=+=．故答案为：2．10．（2020·上海高三专题练习）平面直角坐标系中,O 为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C 满足OC OA OB αβ=+,其中α,β，R,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为【答案】250x y +-=【解析】因为OC OA OB αβ=+,且α+β=1，所以A,B,C 三点共线，因此点C 的轨迹为直线AB:131(3)250.31y x x y --=-∴+-=+11．（2020·上海高三专题练习）如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是______________.【答案】22 【解析】13()()()()44AP BP AD DP BC CP AD AB AD AB ⋅=+⋅+=+⋅- 2231162AD AB AB AD =--⋅311256413222.1622AB AD AB AD AB AD =-⨯-⋅=-⋅=∴⋅=12．（2020·上海高三专题练习）设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为 . 【答案】3 【解析】分别取AC 、BC 的中点D 、E,230OA OB OC ++=,2()OA OC OB OC ∴+=-+,即24OD OE =-,O ∴是DE 的一个三等分点,3ABCAOCS S ∆∴=, 故答案为:3.13．（2020·上海高三其他）已知()1212*,,,,,k a a b b k N b ∈是平面内两两不同的向量，满足12||1a a -=，且||{1,2}i j a b -∈ (其中1,2,1,2,,i j k ==)，则k 的最大值为______【答案】6 【解析】根据条件不妨设()10,0a =，()20,1a =，(),j b x y =，{}1,2i j a b -∈，当22111j a b x y -=⇒+=，表示圆心为原点，半径为1的圆，22124j a b x y -=⇒+=，表示圆心为原点，半径为2的圆，如图这两个圆用红色线表示，当()222111j a b x y -=⇒+-=，表示圆心为()1,0，半径为1的圆，()222214j a b x y -=⇒+-=，表示圆心为()1,0，半径为1的圆，如图这两个圆用蓝色线表示，由条件可知点(),x y 既要在红色曲线上，又要在蓝色曲线上，由图象可知，共有6个交点，即k 是最大值是6. 故答案为：614．（2020·上海高三专题练习）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量2(,m =，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈．（1）若m n ⊥，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 【答案】（1）tan 1x =（2）512π． 【解析】（1），m n ⊥，，0m n ⋅=，故cos 022x x -=， ，tan 1x =．（2），m 与n 的夹角为3π，，2122cos ,112x xm n m n m n ⋅<>===⨯||||，故1sin()42x π-=， 又(0,)2x π∈，，(,)444x πππ-∈-， 46x ππ∴-=，即512x π=． 故x 的值为512π．15．（2020·上海闵行高三二模）在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆22:12x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l 过点()()0,1P b b >，且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q ．（1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值;（2）若3b =，且32PD PC =，求点Q 的横坐标； （3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2π（2）23Q x =；（3）(0,3)P 【解析】（1）由椭圆Γ的方程知，F 1（﹣1，0），F 2（1，0），A （0，1）， 则∠OAF 2＝45°， ∴∠F 1AF 2＝90°；（2）若b ＝3，设C 、D 的两点坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），∵32PD PC =， ∴()()22113,3,32x y x y -=-，即2121333,222x x y y ==-， 而C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）均在2212x y +=上，代入得()2211221122991242x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得179y =， ∴213y =-，分别代入Γ解得，1284,93x x ==， ∴直线BC 的方程为y ＝2x ﹣1，直线AD 的方程为y ＝﹣x +1，联立211y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得23x =，∴Q 点的横坐标为23； （3）假设存在这样的点P ，设直线l 的方程为y ＝kx +b （k ＜0，b ＞1）， 点C ，D 的坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），联立2222y kx b x y =+⎧⎨+=⎩，得（2k 2+1）x 2+4kbx +2b 2﹣2＝0， 由△＝16k 2b 2﹣8（2k 2+1）（b 2﹣1）＞0，得2212b k ->，由12221224212221kb x x k b x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得()2121212b kx x x x b -=+， 直线BC 的方程为1111y y x x +=-，直线AD 的方程为2211y y x x -=+，而x 1y 2＝kx 1x 2+bx 1，x 2y 1＝kx 1x 2+bx 2，联立11221111y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，得()()()()()()()()12212112122121121221122x y x y x x kx x b x x x x y x y x y x x b x x x x ++-+++-==-++-++＝()()()()122122112113x x b x x b x x b x x b ++-==-++， 则b ＝3＞1，因此，存在点P （0，3），使得点Q 的纵坐标恒为13. 16．（2020·江苏镇江高三三模）已知动点P （x ，y ）满足|x ﹣1|+|y ﹣a |＝1，O 为坐标原点，若PO的最大值的取值范围为2⎣，则实数a 的取值范围是多少？ 【答案】][113322⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦，，． 【解析】考虑|x ﹣1|+|y ﹣a |＝1的图象，如图，x 必然是在0到2之间 x 取到0或2那么y 只能取ax 在两者之间y 可以取两个值 x 取到1则y 可以取a +1或a ﹣1，图象是（0，a ），（1，a ﹣1），（1，a +1），（2，a ）为端点的正方形，那么和O 最远的应该是最远的两个端点之一，如果a ＞0就是（1，a +1）或（2，a ） 如果a ＜0就是（1，a ﹣1）或（2，a ） 这样一来，|PO |平方的最大值就是： 当a ＞0，（a +1）2+1或 a 2+4 当a ＜0，（a ﹣1）2+1或 a 2+4 比较它们的大小：当a ≥1时，（a +1）2+1()24220a a -+=-≥，则（a +1）2+1更大； 当0＜a ＜1时，（a +1）2+1-(a 2+4)220a =-<且当﹣1＜a ＜0时，()()22114220a a a -+-+=--<，则当﹣1＜a ＜1时，a 2+4更大；当a ≤﹣1时，()()22114220a a a -+-+=--≥，则（a -1）2+1更大；作以上函数图象，再读出|PO |2取值范围为[174，17]，即有()()222171117,1134171417,1114217311117,14a a a a a a a a a ⎧≤++≤≥⎪≤≤⎧⎪⎪⎪⎪≤+≤-<<⇒-<≤-⎨⎨⎪⎪-≤≤-⎪⎪⎩≤-+≤≤-⎪⎩或112a ≤< 所以a 取值范围是][113322⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦，，． 故答案为：][113322⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦，，．。