章末复习 学习目标 1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.掌握解三角形的基本类型，并能在几何计算、测量应用中灵活分解组合.3.能解决三角形与三角变换的综合问题．1．正弦定理及其推论设△ABC 的外接圆半径为R ，则(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. (4)在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .2．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝ c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. (3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．3．三角形面积公式(1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c ； (2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B . 4．应用举例(1)测量距离问题；(2)测量高度问题；(3)测量角度问题.题型一 利用正弦、余弦定理解三角形例1 (1)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC ＝ . 答案 7解析 由题意知12×5×8×sin A ＝103，即sin A ＝32， 又△ABC 为锐角三角形，所以A ＝60°，cos A ＝12， 所以BC ＝52＋82－2×5×8×12＝7. (2)已知△ABC 中，若cos B ＝35，C ＝π4，BC ＝2，则△ABC 的面积为 ． 答案 87反思感悟 利用正弦、余弦定理寻求三角形各元素之间的关系来解决三角形及其面积问题． 跟踪训练1 (1)在△ABC 中，∠A ＝45°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( )A.12B.22C.32D ．2 3 答案 B(2)已知锐角△ABC 的面积为3，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°答案 D解析 S ＝12BC ·AC ·sin C ＝12×4×3×sin C ＝3， ∴sin C ＝12，∵三角形为锐角三角形． ∴C ＝30°.题型二 几何计算例2 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，E 在AC 上，若BE ⊥AC ，求ED 的长．解 在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝3，所以∠BAC ＝60°.因为BE ⊥AC ，AB ＝3，所以AE ＝32. 在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，由余弦定理知，ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3×32＝214，故ED ＝212. 反思感悟 正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．跟踪训练2 在△ABC 中，∠B ＝120°，AB ＝2，∠A 的平分线AD ＝3，求AC 的长． 解 如图，在△ABD 中，由正弦定理，得AD sin B ＝AB sin ∠ADB， ∴sin ∠ADB ＝22. 由题意知0°<∠ADB <60°，∴∠ADB ＝45°，∴∠BAD ＝180°－45°－120°＝15°.∴∠BAC ＝30°，∠C ＝30°，BC ＝AB ＝ 2.在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin ∠BAC， ∴AC ＝ 6.题型三 实际应用例3 如图，已知在东西走向上有AM ，BN 两个发射塔，且AM ＝100 m ，BN ＝200 m ，一测量车在塔底M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 3 m 后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B 的仰角为θ，且∠BQA ＝θ，经计算，tan θ＝2，求两发射塔顶A ，B 之间的距离．解 在Rt △AMP 中，∠APM ＝30°，AM ＝100 m ，所以PM＝100 3 m，连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100 3 m，所以△PQM为等边三角形，所以QM＝100 3 m.在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200 m. 在Rt△BNQ中，因为tan θ＝2，BN＝200 m，所以BQ＝100 5 m，cos θ＝5 5.在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQ cos θ，所以BA＝100 5 m.故两发射塔顶A，B之间的距离是100 5 m.反思感悟实际应用问题的解决过程实质上就是抽象成几何计算模型，在此过程中注意术语如“北偏西60°”、“仰角”的准确翻译，并转换为解三角形所需边、角元素．跟踪训练3如图，从无人机A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时无人机的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A．240(3－1)m B．180(2－1)mC．120(3－1)m D．30(3＋1)m答案 C解析如图，在△ADC中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60 m，所以CD＝AD·tan 60°＝603(m)．在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD ＝AD ·tan 15°＝60(2－3)(m)．所以BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m)．故选C.题型四 三角形中的综合问题例4 a ，b ，c 分别是锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，且p ∥q ，已知a ＝7，△ABC 的面积为332，求b ，c 的大小． 解 p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，又p ∥q ，∴(2－2sin A )(1＋sin A )－(cos A ＋sin A )·(sin A －cos A )＝0，即4sin 2A －3＝0，又∠A 为锐角，则sin A ＝32，∠A ＝60°， ∵△ABC 的面积为332，∴12bc sin A ＝332，即bc ＝6，① 又a ＝7，∴7＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴b 2＋c 2＝13，②①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3.反思感悟 解三角形综合问题的方法(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解．(2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解． 跟踪训练4 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72. (1)求A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 和c 的值．解 (1)由4sin 2 B ＋C 2－cos 2A ＝72及A ＋B ＋C ＝180°，得2[1－cos(B ＋C )]－2cos 2 A ＋1＝72， 4(1＋cos A )－4cos 2A ＝5，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0，∴(2cos A －1)2＝0，解得cos A ＝12. ∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc. ∵cos A ＝12，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 化简并整理，得(b ＋c )2－a 2＝3bc ，将a ＝3，b ＋c ＝3代入上式，得bc ＝2.则由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝3，bc ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝1.1．若△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则角A 的对边长为( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 C解析 设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵a ＋b ＋c ＝20，∴b ＋c ＝20－a ，即b 2＋c 2＋2bc ＝400＋a 2－40a ，∴b 2＋c 2－a 2＝400－40a －2bc ，①又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .②又S △ABC ＝12bc sin A ＝103， ∴bc ＝40.③由①②③可知a ＝7.2．在△ABC 中，已知cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝ . 答案 145解析 在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45. ∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213. ∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665. 由正弦定理知b sin B ＝c sin C ，∴c ＝b sin C sin B ＝3×56651213＝145. 3．在△ABC 中，cos A 2＝1＋cos B 2，判断△ABC 的形状． 解 由已知得cos 2A 2＝1＋cos B 2， ∴2cos 2A 2－1＝cos B ，∴cos A ＝cos B ， 又0<A <π，0<B <π，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值． 解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac. 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13. 由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝⎛⎭⎫－13×22＝4－26.。