安徽省江南十校2022髙三3月联考试卷--数学（理）数学（理）本试卷分第I 卷（选择题50分）和第II 卷（非选择题100分）两部分.全卷满分150 分，考试时刻120分钟. 考生注意事项：1.答通前，务必在试趙卷、答題卡规定的地点填写自己的姓名、座位号。

2.选择超每小趙选出答案后，用2B 铅笔把答題卡对应趙目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案；答在试卷上的无效。

3.非选择超必须用O.5毫米的黑色墨水签字笔在等琴卞士作答，要求字体工整、笔迹清 晰。

不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答“答案无效.必须在題号所指示的答 通区域作答，超出答规区城书写的答案无效，在试M 卷、草稿纸上答趙无效。

参考公式：假如事件A 与B 互斥，那么P(A +B) = P(A)+P(B); 假如事件A 与B 相互独立，那么P(AB) = P(A)P(B);第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大題共10小題，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.若a+ bi=i215+ (i 是虚数单位，a ，b ∈R),则ab=（ ） A. -2 B.-i C.i D.22. 一次数学测验后，从甲、乙两班各抽取9名同学的成绩进行统计分析，绘成茎叶图如右图.据此估量两个班成绩的中位数的差的绝对值为（ ）A.8B.5C.4D.23.已知正项等差数列{a n }满足：)2(211≥=+-+n a a a n n n 等比数列{b n }满足：)2(211≥=-+n b b b n n n ， 则log 2(a 2+b 2)=（ ） A. -1或 2B. 0或 2C.2D.14.己知正四棱柱ABCd-A 1B 1C 1D 1底面是边长为1的正方形，若平开始 面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A 1的距离为1,则异面直线AA 1 , BC 1所成的角为（ ） A.6π B.4π C.3πD.125π5.右图是查找“徽数”的程序框图.其中“S mod l0表示自然 数S 被10除所得的余数，“S \ 10”表示自然数S 被10除所 得的商.则依照上述程序框图，输出的“徽数S ”为（ ） A.18B.16C.14D.126.定义在R 上的函数f(x)、g(x)满足：对任意的实数X 都有f (x )=f (|x |)， g(-x)-g(x)=0.当:C>0时，0)(>'x f ，0)(>'x g 则当x<0时，有（ ）A.0)(,0)(<'<'x g x fB.0)(,0)(<'>'x g x fC.0)(,0)(>'>'x g x fD.0)(,0)(>'<'x g x f7.已知直线/过抛物线y 2=4x 的焦点F,交抛物线于A 、B 两点，且点A 、B 到y 轴 的距离分别为m,n 则m+ n+ 2的最小值为（ ）A.24B. 26C. 4D. 68.若9922109)1(...)1()1()2(+++++++=++x a x a x a a m x ，(a 1+a 3+...+a 9)2-(a 0+a 2+...+a 8=39,则实数m 的值为（ ） A. 1或-3B. -1或3C. 1D. -39. 如图，ΔABC 中，A ∠ = 600, A ∠的平分线交BC 于D,若AB = 4,且)则AD 的长为（ ）A. 22B.23C.24D.25 10.已知函数，，，若,且当时，恒成立，则的最大值为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5第II 卷（非选择題 共100分）二、填空题11. 在极坐标系中，直线01sin cos =+-θρθρ与圆θρsin 2=的位置关系是______12. 设动点P(x,y)在区域Ω: ⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥40y x x y x 上（含边界)，过点P 任作直线l,设直线l 与区域Ω的公共部分为线段Ab ，则以 AB 为直径的圆的面积的最大值为______.13. 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形差不多上边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为_______.14. 在一个排列中，假如一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数， 那么就称它们为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称作那个排列的逆序数.如排列 1,3,5,4,2中，3，2 ; 5,4 ; 5,2 ; 4,2为逆序，逆序数是4.现有从1〜101 这101个自然数的排列:1，3，5，7，…,99 ,101 ,100 ,98，…,6,4,2 ,则此排 列的逆序数是______.15. 已知Δ的内角A 、B, C 成等差数列，且A,B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 则下列命题中正确的有______(把所有正确的命题序号都填上).②若a,b 、c 成等比数列，则ΔABC 为等边三角形； ③若a= 2c,则ΔABC 为锐角三角形； ④若CB CA BC BA AC AB AB (2)++=，则3A = C; ⑤若则ΔABC 为钝角三角形；三、解答题：本大颶共6小题，共75分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤再将所得的图像上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原先的4倍，如式；(II)若函数g (x )在区间上的最大值为2,试求θ0的最小值.17. (本小題满分12分）某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了m 位校友(m>8且 *N n ∈),其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机 从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合(I )若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于21，求n 的最大值；(II)当n =12时，设选出的2位校友中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和ξE18. (本小題满分12分）如图,直角梯形ABCD 中，090=∠=∠B A ，A D = A B = 2， B C = 3，E ，F 分别是AD,BC 上的两点，且AE =BF ＝1，G 为AB 中点,将四边形ABFE 五沿EF 折起到(如图2)所示的位置，使得EG 丄GC ，连接 A D 、B C 、AC 得(图2)所示六面体. (I )求证：EG 丄平面CFG;(II)求二面角A —CD-E 的余弦值.19. (本小超满分13分）已知函数x xax x f ln 32)(--=，其中a 为常数.(I )当函数f(x)图象在点))32(,32(f 处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在]3,23[上的最小值；(II)若函数f(x)在区间(0，∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范畴；(III)在（I)的条件下，过点P(1，-4)作函数F(x)=x 2[f(x)+3lnx-3]图象的切线，试问如此的切线有几条？并求出这些切线方程.20. (本小满分13分）己知数列{a n }满足：a 1=1,且成等差数列.又正项数列{b n }满足b 1=e,且是b n 与b n +1的等比中项.(I)求证：{2n-1a n }为等差数列，并求出数列{a n }的通项 (II)求证：都有.线l,设直线l交抛物线:y2=2x于 M、N两点,且OM丄ON.(I) 求双曲线的焦点坐标和椭圆E的方程；(II)设P是椭圆E上第一象限内的点，点P关于原点0的对称点为A、关于x轴的对称点为Q,线段PQ与x轴相交于点C,点D为CQ的中点，若直线AD与椭圆E 的另一个交点为B,试判定直线PA、PB是否相互垂直？并证明你的结论.参考答案一、选择题1.A2.D3.C4.B5.D6.A7.C8.A9.B 10.D二、填空题11.相交 12.π4 13.π34 14.2500 15.①②④三、解答题16.解：（Ⅰ）由题可得)3sin(4)(π-=x x f …………………………………………2分3cos )3sin(4)(+-=∴x x x g π……………………………………………………3分3)cos 3cos (sin 2 3cos )cos 23sin 21(4 2+-=+-=x x x x x x)32sin(2 π-=x ……………………………………………………6分（Ⅱ）方法1：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,12θπx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-∴32,2320πθππx ………………8分要使函数)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,12θπ上的最大值为2，当且仅当2320ππθ≥-， 解得1250πθ≥………………………………………………………11分故0θ的最小值为125π (12)分 方法2：设223222πππππ+≤-≤-k x k ，解得)(12512Z k k x k ∈+≤≤-ππππ 得函数)(x g 的增区间为)](125,12[Z k k k ∈+-ππππ ………………………………8分 取0=k 得)(x f 的一个增区间]125,12[ππ-，现在)(x f 的从2-增加到2 ………10分由题可得0θ的最小值为125π………………………………………12分17.解：（Ⅰ）由题可知，所选两人为“最佳组合”的概率)1()6(1221616--==-n n n C C C n n ……3分 则21)1()6(12≥--n n n (4)分化简得0144252≤+-n n ，解得169≤≤n ，故n 的最大值为16…………… 6分（Ⅱ）由题意得，ξ的可能取值为0，1，2……………………………………7分则,2250(21226===C C P ）ξ,116)1(2121616===C C C P ξ225)2(21226===C C P ξ…………………………………………10分∴1225211612250=⨯+⨯+⨯=ξE …………………………………………12分（18）（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）F 、E 分别是BC AD ,上的两点，1==BF AE∴四边形ABFE为矩形∴折叠后BF EF FC EF ⊥⊥,，即⊥EF 平面BFC连接GF ︒=∠∴===902,1,1EGF AB BF AE 由已知得GC EG ⊥⊥∴EG 平面CFG …………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知EG FC ⊥EF FC ⊥⊥∴FC 平面ABFEBF FC ⊥∴ ………………………………………7分方法一：如图建系xyz F -则A （1,0,2）C （0,2,0）D （0,1,2） 设1n =()z y x ,,为平面ACD 的法向量，)2,1,0(),0,1,1(-=-=CD AD⎩⎨⎧=+-=+-∴020z y y x 得⎩⎨⎧==zy x y 2．则令1=z 得)1,2,2(1=n …………………9分 又)0,0,1(2=n 为平面CDEF 的法向量， 设二面角E CD A --为θ，则321442=++=，即32cos =θ …12分方法二：延长CD 与FE 的延长线交于P 点，过E 作DP EH ⊥垂足为H 点， 连结EH 、AH ，则EHA ∠为二面角E CD A --的平面角， 设二面角E CD A --为θ， 由DE =1，得EP =2，则EH =52，53,1=∴=AH AE =∠∴AHE cos 32即32cos =θ……………12分（19）（本小题满分13分） 解:（Ⅰ）由题可知1)32(='f ，解得1=a ………1分故x x x x f ln 32)(--=，2)2)(1()(x x x x f --='∴，由0)(='x f 得2=x ………2分因此可得下表：……………………………………3分因此可得：2ln 31 )2()(-==f x f 小…………………………………4分 解:（Ⅱ）)0(2332)(222>+-=-+='x x x ax x x a x f ………5分 由题可得方程0232=+-x ax 有两个不等的正实根，不妨设这两个根为21x x 、，并令23)(2+-=x ax x h则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>=+>-=∆02030892121a x x a x x a （也能够⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>⇒>-->-=∆0)0(002389h a a a ） (7)分 解得890<<a ………8分解（Ⅲ）由（Ⅰ）xxx x f ln 32)(--=，故)0(23)(23>--=x x x x x F ，)0(263)(2>--='x x x x F …………9分设切点为T ),(00y x ，由于点P 在函数)(x F 的图像上，（1）当切点T 不与点)4,1(-P 重合，即当10≠x 时． 由于切线过点)4,1(-P ，则2631402000--=-+x x x y因此)263)(1(423020002030---=+--x x x x x x ，化简得013302030=-+-x x x ，即0)1(30=-x ，解得10=x （舍去）……12分（2）当切点T 与点)4,1(-P 重合，即10=x 时．则切线的斜率5)1(-='=F k ，因此切线方程为015=-+y x 综上所述，满足条件的切线只有一条，其方程为015=-+y x ……………13分（注：若没有分“点T 是否与点P 重合”讨论，只要过程合理结论正确，本小题只扣1分） 20.解：（Ⅰ）证明：由题可知11212-++=n n n a a 则nn n a a 21211=-+ ………………………………………………………………2分12211=-∴-+n n n n a a故数列{}nn a 12-是首项和公差都为1的等差数列…………………………4分na n n =∴-1212-=∴n n n a ………………………………………………………6分（Ⅱ）由12-=n n n a 可知，只需证：12ln ln ln 21-≥+++n n b b b (7)分证明：（1）当1=n 时，左边1122=-=a ，右边1ln ==e ，则左边≥右边； （2）当2≥n 时，由题可知n n n b b b +=+21和0>n b ，则nn n n b b b b ln 2ln ,121>∴>++ (10)分 则1112212ln 2ln 2ln 2ln ----=>>>>n n n n n b b b b …………………………………11分1221)21(1221ln ln ln 121-=--=+++>+++∴-nn n n b b b 综上所述，当+∈N n 时，原不等式成立……………………………………13分21. 解:（Ⅰ）（1）由题可知3322=-+=m m c 双，故双曲线的焦点为)0,3()0,3(21F F 、- ……………………………2分（2）设点M ),(11y x 、N ),(22y x ，设直线l ：a x ty -=，代入x y 22=并整理得0222=--a ty y ，因此⎩⎨⎧-==+ay y t y y 222121 ……………………………………3分2 2)2)(1( )()1( ))((222222121221212121=-=++-+=++++=+++=+=⋅a a a at a t a y y at y y t y y a ty a ty y y x x ON OM 故解得2=a …………………………………………………………5分 由（1）得3=c ，因此椭圆E 的方程为1422=+y x …………………6分（Ⅱ）判定结果：PB PA ⊥恒成立…………………7分 证明：设P ),(00y x ，则A ),(00y x --，D )21,(00y x -，442020=+y x …………8分将直线AD 的方程00)(4y x x x y y -+=代入椭圆方程并整理得 01696)4(20202020022020=-+-+x y x x y x x y x …………………9分由题可知此方程必有一根为0x -．因此解得02202046x y x y x x B ++=， 因此220020300020202000042)246(4y x y x y y x y x y x x y y B +-=-++=………………………11分 因此002000202020200022002030664642y x y x y x y x y x y y x y x y k PB-=-=+-+-=………………………………12分 故1000-=⨯-=x yy x k k PBPA ，即PB PA ⊥………………………………………13分解法2：判定结果：PB PA ⊥恒成立……………………………7分 证明：过点P 作直线AP 的垂线，得与椭圆的另一个交点为B '，因此，要证PB PA ⊥，只要证A 、D 、B '三点共线． 设P ),(00y x ，则A ),(00y x --， D )21,(00y x -，442020=+y x …………………8分将直线B P '的方程00)(y x x y x y +--=代入椭圆方程并整理得 04)(4)(8)4(20220202020022020=-+++-+y y x x y x x x y x …………………10分由题可知此方程的一根为0x ，解得2202003002020202004744)(8y x y x x x y x y x x x B ++=-++='， 因此22002030020202003000042)474(y x y x y x y x y x x y x y y B +-=-++⨯-=' …………………………11分则020200020300020202020002020020304)(822)4)(8()42(x y y x x y x y x x y x y x x y y x y x y k B A =++=+-++÷++-='…………12分 又0000421x y x x y y k AD =++-=，因此B A AD k k '=，故B D A '、、三点共线． ∴PB PA ⊥………………………………………13分 解法3：判定结果：PB PA ⊥恒成立…………………7分 证明：设),(),(0011y x P y x B 、，则),(00y x A --，14,1420202121=+=+y x y x ，两式相减得4120212021-=--x x y y ，故4120212021********-=--=--⋅++=⋅x x y y x x y y x x y y k k BPBA ……………………10分又00000421x y x x y y k k AD AB =++-==，代入上式可得0000441y x x y k PB -=÷-= …12分 因此1)(0000-=-=y xx y k k PBPA ，即PB PA ⊥ (13)分。