第二章 行列式练习题（1）一、判断题：（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分） 1．排列217986354必定经过奇数次对换变为123456789．2．任一排列施行一次对换后，其逆序数必增加1或减少1． （×） 3．排列121n n j j j j -与排列121n n j j j j -的奇偶性相反 （ ）4．1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++ （×）5．若行列式中所有元素都是整数，则行列式的值一定是整数． （√） 6．若矩阵A 经过初等变换化为矩阵B ，则A B=． （×）7．把三级行列式的第一行减去第二行的2倍，同时把第一行的3倍加到第二行上去，所得的行列式与原行列式相等即：111121212222212121333333222333a b c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a b c ---=+++ （ ）8．设A 是n 级矩阵，k 是任意常数，则kA k A =或kA k A=-； （×）9．设abcd 是一个4级排列，则abcd 与badc 的奇偶性相同； （√ ）10．设方程个数与未知量的个数相等的非齐次线性方程组的系数行列式等于0，则该线性方程组无解； （×）11． 设D= 111212122212nn n n nna a a a a a a a a ,D 1=121212111222nnnk k k k k k nk nk nk a a a a a a a a a ,其中12n k kk 是1、2、3、……、n 的一个排列，则 ()()1211n k k k D D τ=- （ ）二、填空题（每小题2分，共20分） 1．排列(1)321n n -的逆序数为(1)2n n -，当n 是 时为奇排列；当n 是 时为偶排列． 2．12345i i i i i 的逆序数为6，则54321i i i 的逆序数是 。

3．排列135…（2n-1）246…(2n)的逆序数为 ，排列 (2k)1(2k-1)2…(k+1)k 的逆序数为 ； 4．排列12435作三个对换 、 、 变为排列25341，这些对换并不唯一，但所作的对换的次数与逆序数τ（12435）具有相同的奇偶性。

5．五级行列式D 中的一项2113324554a a a a a 在D 中的符号为 负 ．6．① 3000003000______;003000007311194=②000_______;000a ebf g c h d=③123123123a a a b b b c c c ++++++=+++ ；④222111ωωωωωω= ；7．计算行列式12341123211232143200_________;00a a a a ab b b a bc c a b cd a b c d---=-------8．D=0205011341023857----利用拉普拉斯定理按前两行展开D= ； 求11121314________;A A A A +++=9．多项式xx x x x x g 43214321432432)(=中3x 的系数是 ； 10．如果线性方程组123123123000ax x x x ax xx x ax++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，那么a = ； 11．方程（1）1234123412341234x x x x ++=++ 与方程 （2）22231227120538653815x x -=- 的全部根分别为和 （重根按重数计算）；12．（1）11112345_______;49162582764125=（2）222233331111586258625862= ；（3）2300014000________;180791208743034968508102-= 三．选择题1．多项式1111234()131143x x p x x x x=-中，x 4，x 3的系数项和常数项分别为 （ ） （A ）-6，2，-6；（B ）-6，-2，6；（C ）-6，2，6；（D ）-6，-2，-62．一个n 阶方阵A 的行列式，其值不为零，A 经若干次初等变换后，其行列式值 （ ） （Ａ）保持不变； （Ｂ）保持不为零； （Ｃ）可变为任何值； （Ｄ）保持相同符号。

3．设D 是一个n 阶行列式，那么 （ ） （A ）列式与它的转置行列式相等； （Ｂ） D 中两行互换，则行列式不变符号； （Ｃ）若0=D，则D 中必有一行全是零； （Ｄ） 若0=D ，则D 中必有两行成比例。

4．行列式 112233440000000a b a b b a b a 的值为 （ ）A ． 12341234a a a a b b b b -；B ．12341234a a a a b b b b +；C ．12123434()()a a bb a a b b --；D ．14142323()()a a bb a a b b --5．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0200321321321x x x x kx x x x kx 仅有零解则 （ ）A ．4=k或1-=k ； B ．4-=k 或1-=k ； C ．4≠k 且1-≠k ； D ．4≠k 且1≠k6．用克莱姆法则得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-+20142332321x x x x x x 的解为 （ ）（A ）. 123(,,)(1,0,2)x x x =- （B ）. 123(,,)(7,2,2)x x x =-- （C ）. 123(,,)(11,2,2)x x x =-- （D ）. 123(,,)(11,2,2)x x x =---7．行列式00410011>-a a 的充要条件是 （ ） A ．2<a B ．2->a C ．2<a D ．2>a8．设,,αβγ均为方程310x-=的根，则行列式αβγγαββγα的值为 （ ）（A ）1；（B ）-1；（C ）3；（D ）0四、计算行列式1、用定义计算（1）00102001000n n-；（2）0100002000010n n-；3）0000000000x y x y x y yx（4）13122325212224313233343543425253000000aaa a a a a aa a aaa a aa（5）由0111111111= 说明：奇偶排列各半 2、用行列式的性质（1）1111222ab c bc a c a b b c c a a b +++ （2）()()()()()()()()()()()()2222222222222222321321321321++++++++++++d d d dc c c c b b b b a a a a （3）证明：2221112222221111112c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c cb =+++++++++（4）nn n n nnb a b a b a b a b a b a b a b a b a --------- 2122212121113、利用性质化上三角或按行（列）展开（降级）（1）1234522131121111- （2）．n222232222222221 （3）．xyx y x y x 00000000000000004）nn n αααααααα--------1110000001100001100001132211逐步下加（4）mx x x x m x x x x mx n n n ---212121（5）121212n n n a x a a a a x a a a a x+++（6）．nn nn n ------110200000220000111321（7）12312341345121221n n nn D n n n -=--（循环行列式，后列减前列） 4、各行（列）元素之和相等（1）na b bb a b Dbba=（2）1111111111111111a a aa ++++（n 级）3、（4） （5）5、将一行各元素拆成两项的和（1）12n a xx x x a x x xxa x+++（2）12233110001100011000001011n n naaa aa a a a ---------6、爪型行列式（1）证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=ni i n naa a a a a a a a 10212101010010011117、加边法（1）n222232222222221 （2）n a b bb a bD bba=（3）1111111111111111aa a a ++++（4）121212n n n a xa a a a x a aa a x+++（5）证明⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+++++∑=-ni i n nn a a a a a a a a a 12113211111111111111111111111111118、递推法、数学归纳法（三对角）（1）2212221212121111nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x +++（2）1111221010000010001000a x a xa x a x a xa x a x a x n n nn n +++=+-------（3）110000000()(1)()00000n n n n αββααββαβααβαβαβααβαββααβ++++⎧-+≠⎪=-⎨⎪+=⎩++ （4）53000253002500025n D = （5）11000100010()(1)()00001n n n n αβαβαβαβαβαβαβαβααβαβαβαβ++++⎧-+≠⎪=-⎨⎪+=⎩++ （6）81500018150001800018n D = （7）cos 100012cos 100012cos 00cos 0002cos 112cos n αααααα=9、利用范德蒙行列式1232222123111111231111()nn i j j i nn n n n nx x x x x x x x x x x x x x ≤<≤----=-∏还可用因式法证明范德蒙行列式（1）1827641491612341111解 原式33322222233311111234123412341234123412341111==12=．（2）D=222244441111a b c d a b c d a b c d 增加一行一列，设f(x)=22222333334444411111ab c d xa b c d x a b c d x a b c d x ,可以看出D 正好是f(x)中3x 的余子式454545(1)M A +=-，f(x)按最后一列展开，45A 的值就是f(x)的3x 的系数的相反数（3） （4） 计算 D a a a n a a a n a a a n n n nnn n n +---=------1111111111()()()()解（4）: 此式不是范德蒙行列式. 将第n +1行，第n 行，…，第2行分别向上与相邻行交换n 次，n -1次，…，1次，共交换了2)1(+n n 次；将列也作同样的变换。