概率统计试题分析 1
一、填空题
1、已知3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，求( )P A B = 0.2 。
2、设X 和Y 相互独立，都在区间[1，3]上服从均匀分布，记事件
}{}{a Y B a X A >=≤=,，且7
()9
P A B = ，则常数
a =
5733
a =或。
3、某机构有一个9人组成的顾问小组，如每个顾问提出正确意见的概率是7.0，现在该机构对某事可行与否征求各位顾问的意见，
并按多数人意见做出决策，做出正确决策的概率=
（写出计算表达式）9
9950.70.3k k k k C -=⨯⨯∑
4、设(0,1)X U :，则2ln Y X =-的概率密度为
21,
0()2
00
y
Y e y f y y -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
5、如果存在常数)0(,≠a b a , 使()1P Y aX b =+=，且
+∞<<DX 0，则=XY
ρ1a
a
=± 6、设10个电子管的寿命i X (10~1=i )独立同分布，且
2()i D X σ=(10~1=i )，则10个电子管的平均寿命Y 的方差
=)(Y D 2
10
σ
7、设12(,,....,)n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本，则
22
1
1(1)~(4)n i
i n X χ=-∑ 8、设∧
θ是θ的无偏估计，()0D θ∧
>，则比较大小2
()E θ∧ > 2
θ
二、（10分）对有100名学生的班级考勤情况进行评估，从课堂上随机点了10位同学的名字，如果班上学生的缺勤人数从0到2是等可能的，并且已知该班考核为全勤，计算该班实际上确实全勤的概率。
解 设i A 表示实际缺勤人数0,1,2i =，所以1
()3
i
P A = 设B 表示点名为全勤（优秀）1010010100
()i
i C P B A C -=，0,1,2i =
0002
()()
110
()0.369298
()()
i
i
i P A P B A P A B P A P B A ==
=
=∑
三、（12分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为：
()201,02
,3
xy
x x y f x y ⎧+
<<<<⎪=⎨⎪⎩其它
，
试求：（1）()()X Y f x f y 与；（2）X Y 与是否独立?（3）求()1<+Y X P 解 （1）
222
0201
()2() 330 X xy x x dy x x f x ⎧<<+=+⎪=⎨⎪⎩⎰其它
120110()() 3360 Y xy
y x dx y f y ⎧<<2
+=+⎪=⎨⎪⎩⎰其它 （2）因()()(,),X Y f x f y f x y ≠,X Y 故与不独立.
（3）
112
7(()372
x
xy P X Y dx x dy -+<1)=+=⎰⎰
四、（14分）设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 均服从参数为λ的指数分布，试求（1）Z
X Y =+的密度函数)(z f Z .（2）()E Z ，
()D Z ，（3）XZ ρ。
解 （1）120
()
()()()00z
x t x Z X X z
f z f t f z t dt dt e e
dt dt λλλλ+∞
+∞
----∞
-∞
=-=++⎰⎰⎰⎰g
2,0
0,0z ze z z λλ-⎧>=⎨≤⎩
（2）20
2
()z E Z z ze dz λλλ
+∞-==
⎰
2222
6
()z
E Z z ze dz λλλ+∞
-==⎰
222
2
()()()D Z E Z E Z λ
=-=
（3） ,X Y Q 独立， (,)0Cov X Y ∴=，2
1
(), ()X Exp D X λλ∴=
Q :
(,)(,)(,)()Cov X Z Cov X X Cov X Y D X ∴=+=
，XZ ρ=
=。
五、（12分）学校东区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p 进行调查。
某天中午随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。
设调查了n 个同学，其中在东区食堂用过餐的学生数为X ，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p 之间的误差上下在10% 以内，问
n 应取多大？附表：(1.96)0.975, (1.645)0.95.Φ=Φ=
解 ~(,)X B n p , ()E X np =, ()(1)D X np p =-,
{||0.1}0.95X
P p n
-<>.
由中心极限定理
{||0.1}210.95
X P p P n -<=<≈Φ->
20.975
19.6(1)
n p p ⇒Φ>⇒>- 记 ()(1)g p p p =-, 令 ()120g p p '=-=, 1/2p =, max 1/4g =
22
1
19.6(1)19.696.044
p p -≤⨯
= 故 96.04]197n >[+=人.
六、（10分）设总体分布密度为：22
() 0(,)0 x x f x θθ
θθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它
(1) 求θ的矩估计量;
(2) 求θ的极大似然估计量,假设样本容量1n =。
并判定是否为无偏估计量。
解 (1)
2
0ˆ2
ˆ(),,3.3
3
EX x
x dx X X θ
θ
θθθ
θ
=-===⎰令
,
112
2()
(2) 1, ()(,)x n L f x θθθθ-=∴==
Q ，
1ln ()12
0d L d x θθθθ
=-=- 11
ˆ 2 2x X θθ⇒=∴=
2021()()3E X x x dx θθθθ=-=⎰，而12ˆ()(2)2()3E E X E X θθθ===≠
所以不是无偏估计量。
七、（10分）某公司声称自己生产的VCD 机平均寿命在1500小时以上，现随机测试10台，平均寿命1480，30s =，假设寿命服从正态分布，问该公司宣传是否可信（0.01α=）？
附表：(1.96)0.975, (1.645)0.95,Φ=Φ=；0.010.005(9) 2.821, (9) 3.250t t ==。
解
01:1500, :1500H H μμ=<
(1)X T t n μ-=-:
{}t ,(1) 2.821, 2.821)
t P T t t n αααααα<-==--=-∞-对给定的，查表求，使查表得 拒绝域为（-
计算样本观测值0 2.108T W =-∉，所以接受原假设。