定义2.2.2 设 A 是一个关于数集 E 的命题,若 A 在 E 上每点均成立,则称 A 在上 E 成立;若E0 L,E0 E , 且有 m E0 0 ,使 A 在 E E0 上成立,则称 A 在 E 上 几乎处处成立,记为 A a.e. 于 E (或 A P.P 于 E ).
G2 时,等号成立.
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定义2.1.2 设 F ,F CB , 任取 A,B F , 定义
m F B A m A,B F .

根据此定义可以得出以下结论:
G为有界开集 F 为有界闭集
OB G
CB F

定义2.1.1 定义 m 0 ;设G ,G OB , G 的构 数的指标集,定义 m G nT n n .
成区间列为 n , n n T ,这里 T 为一个至多为可
2.2 可测函数

讨论可测集上的实函数,引进简单函数的概念 设E L,E
n i 1

Ei , Ei 可测且互不相交, i 为实常
n
数, i 1,2, ,n ,称 f i 1i X Ei 为 E 上的一个简单 函数.这里 X Ei 为集 Ei 的特征函数.

易见, f x i ,x Ei ,i 1,2, ,n .

1°有限集的测度为 0 ; 2°若 F1 ,F2 CB且 F1 F2 ,则 m F1 m F2 ; 3°若 F CB , G OB且 F G , 则 m F m G .


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定理2.2.2说明,可测函数类对四则运算封闭. 定理2.2.3 设 f n M E ,n 1,2, 有 f n x f x ,则 f M E .

,且对 x E ,

由该定理可知,可测函数类对极限运算也封闭.
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2.1.2 一般可测集与可测集类

考虑无界集的测度.

定义2.1.4 设E
,若对x 0 ,均有 x,x
x
E LB
则称 E 为L-可测集, m E lim m x,x
En
,且
定理2.1.5 (从上连续性) 设 E1 E2
En L,n 1,2, ,m E1 , 则
n 1
E

lim En
n
En L,m En m E
条件 m E1 是不可少的
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n 1
En LB .

定理2.1.2对有限并成立,只要取 En1 En2 即可 ;


定理2.1.3对有限交成立,只要取 En1 En2

A,B Ei i 1,2,
,n 即可.
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根据上述定义,显然有以下结论:

1°若G1 ,G2 OB , 且G1 G2 ,则 m G1 m G2 ; 2°若G1 ,G2 OB , 则 m G1 特别当 G1

G2 m G1 m G2 .
为Lebesgue可测集,简称为L-可测集或可测集,并
* m E m E m 称 E 为 E的Lebesgue测度. *

将 论.
上全体有界可测集记为 LB ,不难得出下面的结
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1°空集,有界开集,有界闭集均为可测集,且测度与 原定义一致. 2°单调性: 若 E1 ,E2 LB ,E1 E2 ,则m E1 m E2 . 3°完全性: 若 m E 0 (一般称为 m 零集或L-零测 集),则对 E E ,有m E 0 .
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2.1 Lebesgue测度

Riemann积分把区间分成有限个小区间,并要求函 数在每一个小区间上的“变化不大”(连续函数)

当“很不连续”时,上述要求就得不到满足,从而使 很多常用的函数Riemann不可积.


由上可知,空集,有界开集,有界闭集的测度都为一个 非负实数.

下面给出任意有界集测度的定义.首先,对每一个有 界集,显然存在 G OB 及 F CB ,使 F E G ,故可 借助于开闭集的测度来定义任意有界集的测度.
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定义2.1.5 凡从开集出发,通过取余集,取有限或可 数并或交等手续得到的集合,统称为Borel集,或BL B ,称为 可测集.所有Borel集合组成的集类记为 Borel集类.

B L , B 是 L 的真子集

不可测集是存在的,但是列举反例困难
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测度连续性的两个定理

定理2.1.4 (从下连续性) 设 E1 E2
En
,且
En L,n 1,2,
,则
n 1
E

lim En
n
En L,m En m E

定义2.1.3a 设 E 为有界集,记 m* E inf m G


G E,G OB
* m ,称 E 为 E 的外测度.
. OB m* G m G ,E1 E2 m* E1 m* E2 G

定义2.1.3b 设E 为有界集,记 m* E sup m F

F E,F CB ,称 m* E 为E 的内测度.
F CB m* F m F

* 对任意有界集 E , m* E m E .
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* 定义2.1.3 设 E 为有界集,若 m* E m E ,则称E
L 对有限交、并,可列交、并,及有限差运算封闭


构成 -环以及 -代数

1°若 E L ,则 E ð L ; 2°若A,B L,A B ,则 m A B m A m B ; 3°若 A B,B L,B A L ,则 A L .
E f L .

定理2.2.2 设 f ,g M E ,k , , 0 ,则 f kf , f g, f , f g, g x 0 M E . g
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n 1
En n1 m En


En 有界,则
特别有可列可加性: 当 Ei
m

n 1
En n1 m En


E j i j 时,有
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定理2.1.3 若En LB ,n 1,2, , 则E
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定理2.2.1 设 f M E ,则对 ,a,b ,有E f , E f ,E f , E a b ,E f ,
A在 E 上成立 A a.e. 于E .


如著名的Dirichlet函数 X Q x 0 ( a.e. 于
).
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定理2.2.4 设 f M E ,若f g ( a.e.于E),则g M E 定义2.2.3 设 f n M E ,n 1,2, , f 为 E 上的一个 ,
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以下为方便起见,对 及 E上的实函数 f ,记
E f x|f x ,x E

类似有 E f ,E f ,E f 若 x1 x2 ,则E f x1 E f x2 定义2.2.1 设E L, f 为 E 上的实函数,若对 均有 E f L ,则称 f 为 E 上的一个可测函数. ,