类型一：最值
如图所示，抛物线y=-1
2
x2-
3
2
x+2和直线y=
1
2
x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，在直线AC的上方的抛物线上是否存在点P,使得△PAC 的面积最大，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
再乘以二分之一来求。
1. 如图，二次函数y=x 2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）．
（1）求抛物线的解析式
（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．
（3）在二次函数上有一动点P，过点P作PM⊥x轴交线段BD于点M，判断PM有最大值还是有最小值，如有，求出线段PM长度的最大值或最小值．
2. 如图抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3．（1）求A、B、C的坐标；
（2）若动点D在第一象限的抛物线上，求△BDC面积最大时D点的坐标，并求出△BDC 的最大面积。
类型二轴对称
如图所示，抛物线y=-1
2
x2-
3
2
x+2和直线y=
1
2
x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBC的周长最小，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
个定点距离之和最小的点。
1. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A，过点A 的抛物线y=ax 2+bx与直线y=-x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上一动点，当PB+PO最小时，求出点P坐标，及PB+PO的最小值
类型三直角三角形
如图所示，抛物线y=-1
2
x2-
3
2
x+2和直线y=
1
2
x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBC为直角三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
分三种情况进行讨论，其中要应用勾股定理等知识。
1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+3与x轴交于A（-4，0）、B（-l，0）两点，与y轴交于点C，点D是第三象限的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，△ACD的面积为S求出S与m的函数关系式，并确定m为何值时S有最大值，最大值是多少？
（3）若点P是抛物线对称轴上一点，是否存在点P使得∠APC=90°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型四等腰三角形
如图所示，抛物线y=-1
2
x2-
3
2
x+2和直线y=
1
2
x+2相交于A、C两点，抛物线与
x轴的另一个交点为B，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBC为等
腰三角形，如果存在请求出P点坐标，如果不存在，请说明理由。
其中要应用两点之间的距离公式等知识。
1. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x 2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），与y 轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）经过点D（2，2）直线与抛物线交于M，N两点，若线段MN正好被直线BC平分，求直线MN的解析式；
（3）直线x=a上存在点P，使得△PBC为等腰三角形？若这样的点P有且只有三个，请直接写出符合条件的a值及其取值范围
，抛物线y=-12x 2-32x+2和直线y=12x+2相交于A 、C 两点，抛物线与
x 轴的另一个交点为B ，点P 在抛物线上，在y 轴上有一个动点Q,是否存在点P 、Q,使得以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，如果存在请求出P
点坐标，如果不存在，请说明理由。
此类问题分别以已知的线段为边及对角线进行讨论，其中要应用
线段的中点坐标公式等。
类型五：平行四边形的分类讨论：
如图所示，抛物线y=-12x 2-32x+2和直线y=12
x+2相交于A 、C 两点，抛物线与
x 轴的另一个交点为B ，点
P 在抛物线上，在y 轴上有一个动点Q,是否存在点P 、Q,使得以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，如果存在请求出P 点坐标，如果不存在，请说明理由。
线段的中点坐标公式等。
，抛物线y=-12x 2-3
2x+2和直线y=12x+2相交于A 、C 两点，抛物线与x 轴的另一个交点为B ，点P 是y 轴上一个动点，,是否存在以点P 、O 、A 为顶点的三角形与△OBC 相似，如果存在请求出所有满足条件的P 点坐标，如果不存在，请说明理由。
此类问题首先找出一对相等的角，即对应角，再把夹这个角的两边分两种情况对应，同时还有注意到位置的情况。
类型六：相似三角形的分类讨论：
如图所示，抛物线y=-12x 2-32x+2和直线y=12x+2相交于A 、C 两点，抛物线与
x 轴的另一个交点为B ，点P 是y 轴上一个动点，,是否存在以点P 、O 、A 为顶点的三角形与△OBC 相似，如果存在请求出所有满足条件的P 点坐标，如果不存在，请说明理由。
两边分两种情况对应，同时还有注意到位置的情况。
如图所示，抛物线y=-12x 2-32x+2和直线y=1
2
x+2相交于A 、C 两点，抛物线与
x 轴的另一个交点为B ，将抛物线沿着x 轴平移，使得平移后的抛物线的顶点落在直线AC 上，求平移后的抛物线的表达式。
此类问题要注意到平移抛物线a 值大小不变，对于一般式只是b 、c 值发生改变，对于顶点式只是顶点坐标发生改变。
类型七：抛物线的几何变换（平移）：
如图所示，抛物线y=-12x 2-32x+2和直线y=1
2
x+2相交于A 、C 两点，抛物线与
x 轴的另一个交点为B ，将抛物线绕着x 轴翻折所得新抛物线与直线交于点D ，求三角形ABD 的面积。
此类问题要注意到沿着x 轴翻折抛物线，由于开口大小没变，只是开口方向改变，所以a 值变为原来的相反数。
类型八：抛物线的几何变换（轴对称）：
如图所示，抛物线y=-12x 2-32x+2和直线y=1
2
x+2相交于A 、C 两点，抛物线与
x 轴的另一个交点为B ，点Q 是x 轴上一个动点，将抛物线绕点Q 旋转180°得到新抛物线，设原抛物线顶点为M ，旋转后的抛物线顶点为N ，与x 轴交点中右边的交点为D ，若四边形AMDN 为矩形，求Q 的坐标。
此类问题要注意旋转中心在哪里，旋转之后哪些点可以构成平行四边形。
类型九：抛物线的几何变换（旋转）：。