2020年高等数学基础第一次作业点评1第1章 函数第2章 极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos =C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim=∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A. x x sinB. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=（二）填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是 ．}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ．x x -2⒊=+∞→xx x)211(lim ．21e⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ．e⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 ．0=x⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为 ．无穷小量（三）计算题 ⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．解：2)2(-=-f0)0(=f e e f ==1)1(⒉求函数xx y 12lglg -=的定义域． 解：欲使函数有意义，必使012lg >-xx ， 即：112>-xx 亦即：x x >-12解得函数的定义域是：1>x⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解：设梯形的高CM=x ，则22x R DM -=梯形的上底222x R DC -=，下底R AB 2=则梯形的面积2)22(22xR x R s +-=)0()(22R x x R x R <<+-=⒋求xxx 2sin 3sin lim0→．解：原式=23112322sin lim 33sin lim2300=⨯=⨯→→x x x xx x ⒌求)1sin(1lim 21+--→x x x ．解：原式=2121)1sin(lim )1(lim 1)1sin(1lim 111-=-=++-=++--→-→-→x x x x x x x x x⒍求xxx 3tan lim 0→．解：311133cos 1lim 33sin lim 33cos 133sin lim 33cos 3sin lim 0000=⨯⨯=⨯=⨯=→→→→x x x x x x x x xx x x x⒎求xx x sin 11lim 20-+→．解：原式=010sin 1lim11limsin )11()11)(11(lim202220=⨯=⨯++=++++-+→→→xx x x xx x x x x x ⒏求xx x x )31(lim +-∞→． 解：原式=333131-+→∞⎪⎭⎫⎝⎛+-•⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x lim x x =33343343-+∞→⎪⎭⎫⎝⎛+-+•⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x lim x x=33341341-∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+•⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x lim x lim x x x =3341+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x lim=443341--+∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x lim =443341--+∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x lim =4-e⒐求4586lim 224+-+-→x x x x x ．解：原式=3212lim )1)(4()2)(4(lim44=--=----→→x x x x x x x x ⒑设函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间．点评：讨论分段函数在分段点处的连续性，只要研究函数)(x f 在该点处的左右极限情况，然后再由函数连续性的定义判断。

解：先看函数在分段点1-=x 处的情况，∵011)1()(limlim 11=+-=+=---→-→x x f x x 1)(lim lim 11-==++-→-→x x f x x∴)()(lim lim 11x f x f x x +--→-→≠，故)(lim 1x f x -→不存在。

∴1-=x 为函数)(x f 的间断点。

再看函数在分段点1=x 处的情况，∵1)(limlim11==--→→x x f x x1)2()(211lim lim =-=++→→x x f x x ∴)()(lim lim 11x f x f x x +-→→=，故1)(lim 1=→x f x 。

又因为1)1(1===x x f所以)1()(lim 1f x f x =→故1=x 是函数)(x f 的连续点。

函数)(x f 在连续区间是：),1()1,(+∞-⋃--∞。

高等数学基础第二次作业第3章 导数与微分（一）单项选择题⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim0→存在，则=→xx f x )(lim0（B ）． A. )0(f B. )0(f ' C. )(x f ' D. 0⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim 000（D ）．A. )(20x f '-B. )(0x f 'C. )(20x f 'D. )(0x f '-⒊设xx f e )(=，则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim0（A ）． A. e B. e 2C. e 21D. e 41⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （D ）．A. 99B. 99-C. !99D. !99- ⒌下列结论中正确的是（ C ）．A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续． （二）填空题⒈设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，则=')0(f 0 ． ⒉设xx x f e 5e )e (2+=，则=x x f d )(ln d xx 5ln 2+⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是21． ⒋曲线x x f sin )(=在)1,2π(处的切线方程是1=y ．⒌设xx y 2=，则='y ()2ln 22+x xx．⒍设x x y ln =，则=''y x1． （三）计算题⒈求下列函数的导数y '：点评：这组求函数的导数计算题主要是采用导数的四则运算法则和基本求导公式来解决。

⑴xx x y e )3(+=解：xx x xxe e x e x e e x y 323)3(232123++='+='=)323(2123++x x e x⑵x x x y ln cot 2+=解：)ln 2sin cos cos sin sin ()ln sin cos (222x x x x x x x x x x x x x y ++--='+=' =x x x x ++-ln 2sin 12 ⑶xx y ln 2=解：x x x x x x x y 22ln )1ln 2(ln ln 2-=-='⑷32cos xx y x+= 解：6233)2(cos )2ln 2sin (xx x x x y x x ⋅+-+-=' =423cos 322ln sin x x x x x xx ⋅--⋅+-⑸x x x y sin ln 2-=解：xx x x x x x y 22sin )(ln cos sin )21(---=' =xx x x x x x 222sin )cos(ln sin )21(---⑹x x x y ln sin 4-=解：)sin ln (cos 43x x x x x y +⨯-=' =xx x x x sin ln cos 43-⨯-⑺xx x y 3sin 2+= 解：xx x x x x x y 223)(sin 3ln 33)2(cos +-+='=xx x x x 3)(sin 3ln 2cos 2+-+ ⑻x x y xln tan e +=解：x xe x e y x x1)cos tan (2++=' =x xx x e x 1cos )1cos (sin 2++ ⒉求下列函数的导数y '：这组求函数的导数计算题主要是采用复合函数的求导法则，可用设中间变量的方法，当中间变量不多时，也可直接求。

设中间变量的目的尽可能使函数成为基本初等函数或基本初等函数的四则运算。

⑴xy e=解：xxexe y xx221=⋅='⑵x y cos ln = 解：x xxy tan cos sin -=-='⑶x x x y =解：因为87814121x x x x y =⋅⋅=所以 8187-='x y⑷x y 2sin =解：因为x x x y 2sin cos sin 2=⋅=所以 )211()(313221x x x y ++='-⑸2sin x y =解：22cos 22cos x x x x y =⋅='⑹xy e cos =解：='y xx e e ⋅-sin=xx e e sin - ⑺nx x y ncos sin =解：)(cos sin cos )(sin '⋅+'='nx x nx x y nn=n nx x nx x x n n n ⋅-⋅+⋅⋅-)sin (sin cos cos sin 1=)sin sin cos (cos sin 1nx x nx x x n n --⑻xy sin 5=解：设xu y usin 5==x u u y y '⋅'='=x x xu cos 55ln cos 5ln 5sin ⋅⋅=⋅ 注：因只有一次复合，也可直接计算。