第二章 函数第一节 函数的概念及其表示题型10 映射与函数的概念1.（2015浙江理7） 存在函数()f x 满足：对任意x ∈R 都有（ ）． A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+1. 解析 本题考查函数的定义，即一个自变量只能对应一个函数值. 对A ，取sin 20x =，则当0x =时，()00f =；当π2x =时，()01f =.所以A 错； 同理B 错；对C ，取1x =±，()22f =且()20f =，所以C 错.故选D. 题型11 同一函数的判断——暂无 题型12 函数解析式的求法1. (2013陕西理10）设[]x 表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x y ，，有（ ）. A. [][]x x -=- B. [][]22x x =4 C. [][][]x y x y ++≤ D. [][][]x y x y --≤2. （2014 湖北理14）设()f x 是定义在()0,+∞上的函数，且()0f x >，对任意0,0a b >>，若经过点()()()(),,,a f a b f b 的直线与x 轴的交点(),0c ，则称c 为,a b 关于函数()f x 的平均数，记为(),f M a b ，例如，当()()10f x x =>时，可得(),2f a bM a b c +==，即(),f M a b 为b a ,的算术平均数.当()()_____0f x x =>时，(),f M a b 为b a ,的几何平均数； 当()()_____0f x x =>时，(),f M a b 为b a ,的调和平均数ba ab+2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）3. （2014 陕西理 10）如图所示，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）.A.3131255y x x =- B. 3241255y x x =-C. 33125y x x =-D. 3311255y x x =-+ 4.（2015全国II 理5）设函数()()2111log 2,12,x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨⎪⎩，则()()22log 12f f -+=（ ）．A.3B.6C.9D.12 4. 解析 由题意可得，2(2)1log 4123f -=+=+=.又由22log 12log 21>=， 故有2222212log log 121log 12log 2log 622(log 12)22226f --=====，所以有2(2)(log 12)369f f -+=+=.故选C.5.（2016上海理5）已知点()3,9在函数()1xf x a =+的图像上，则()f x 的反函数()1f x -= .5. ()2log 1x - 解析 由题意319a +=.故2a =，从而()12xf x =+， 所以()2log 1x y =-.故()()12log 1f x x -=-.题型13 函数定义域的求解 1. （2013江西理2）函数y=ln(1)x -的定义域为（ ）.A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]2.（2013江苏理11）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 .3. (2013安徽理17）设函数()()221f x ax a x =-+，其中>0a ，区间(){}>0I x f x =. （1）求I 的长度（注：区间()αβ，的长度定义为βα-）； （2）给定常数()01k ∈，，当11k a -≤≤时，求I 长度的最小值； 4.（2014 江西理 2） 函数()()2ln f x x x =-的定义域为（ ）. A.()0,1 B.[]0,1 C.()(),01,-∞+∞ D. (][),01,-∞+∞5.（2014 江西理 3）已知函数()5xf x =，()2g x ax x =-()a ∈R ，若()11f g =⎡⎤⎣⎦，则a =（ ）. A.1 B. 2 C.3 D. 1- 6.（2014 山东理3）函数()f x =的定义域为( ).A.102⎛⎫ ⎪⎝⎭， B.()2+∞， C.()102,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， D.[)1022⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，，7.（2016江苏5）函数y =的定义域是 . 7.[]3,1- 解析 由题意得2320x x --，解得31x -，因此定义域为[]3,1-.题型14 函数值域的求解1.（2014 重庆理 12）函数())2log 2f x x =的最小值为_________.2. (2013重庆理3)63a -≤≤的最大值为（ ）.A. 9B.92C. 3D. 23.（2015福建理14）若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+⎧=⎨+>⎩（0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是 ． 3. 解析 当2x时，64x -+，要使得函数()f x 的值域为[)4,+∞，只需()()13log 2a f x x x =+>的值域包含于[)4,+∞，故1a >，所以()13log 2a f x >+，所以3log 24a +，解得12a<，所以实数a 的取值范围是(]1,2．4.（2015浙江理10）已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ．4.解析 利用分段函数表达式，逐步求值.2((3))(lg10)(1)1301f f f f -===+-=.当1x 时，min ()30f x =<；当1x <时，()min ()00f x f ==.综上，min ()3f x =，所以((3))0f f -=，min ()3f x =.5.（2015重庆理16）若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______. 5.解析 当1a >-时，端点值为a ，1-． （1）当1x-时，()()12321f x x a x x a =--+-=-+-；（2）当1x a -<<时，()()1221f x x a x x a =++-=-++；（3）当x a 时，()()12321f x x x a x a =++-=-+；如图所示：-1a由图易知：()min 15f a a =+=，解得6a =-（舍）或4=a ，所以4a =．当1a <- 时，端点值为,1a - . （1）当xa 时，()()12321f x x a x x a =--+-=-+-；（2）当1a x <<-时，()12()21f x x x a x a =--+-=--； （3）当1x - 时，()()12321f x x x a x a =++-=-+；如图所示：a-1由图易知：()min 15f a a =+= ，解得4=a （舍）或6a =-，即6a =-.当1a =-时，()31f x x =+，()()min 10f x f =-=，与题意不符，舍.综上所述：6a =-或4.6.（2016北京理14）设函数()33,2,x x x af x x x a⎧-=⎨->⎩.（1）若0a =，则()f x 的最大值为____________________；（2）若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________. 6.2；(),1-∞- 解析 设函数33(y x x x =-∈R )，得3(1)(1)y x x '=+-，所以函数y 在(,1),(1,)-∞-+∞上均是增函数，在(1,1)-上是减函数， 当且仅当1x =-时，=2y 极大值，当且仅当1x =时2y =-极小值. 从而可作出函数33(y x x x =-∈R )及2(y x x =-∈R )的图像如图所示.由图可知：（1）若0a =， ()()max 12f x f =-=； （2）当1a-时，()f x 有最大值()12f -=；当1a <-时， 2x -在x a >时无最大值，且()3max23a x x->-，所以1a <-，即a 的取值范围是(),1-∞-.7.（2016浙江理18）已知3a，函数{}2()min 21,242F x x x ax a =--+-，其中{}min ,>p,p q,p q q,p q.⎧=⎨⎩（1）求使得等式2()242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（2）（i ）求()F x 的最小值()m a ；（ii ）求()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a . 7. 解析 （1）由3a，所以当1x 时，()22242212(1)(2)0x ax a x x a x -+---=+-->，所以此时()21F x x =-； 当1x >时，()2242212(2)xax a x x x a -+---=--（）①.要使①式小于等于0，即22x a ≤≤，所以此时2()242F x x ax a =-+-.由上所述使得等式2()242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a . （2）（i ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-， 则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-， 所以由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，当()()1f g a ≤时，解得32a ≤≤；当()()1f g a >时，解得2a >即()20,32242,2a m a a a a ⎧+⎪=⎨-+->⎪⎩（ii ）当02x 时，()()21F x f x x ==-，所以()F x 在0x =或2x =时取得最大值为()()022F F ==；当26x 时，()()()22224242F x g x x ax a x a a a ==-+-=--+-，所以()F x 在两端点2x =或6x =时取得最大值. ()22F =，()6348F a =-， 所以当34a <≤时，有()()26F F <； 当4a ≥时，有()()26F F ≥，所以()348,342,4a a a a M -<⎧=⎨⎩.。