柯西不等式各种形式的证明及其应用Prepared on 22 November 2020柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 等号成立条件：()d c b a bc ad //==扩展：()()()222222222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明： 三角形式 三角形式的证明： 向量形式 向量形式的证明： 一般形式 一般形式的证明：222111n nn k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑证明：推广形式(卡尔松不等式)：卡尔松不等式表述为：在m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素之积的几何平均之和。

或者： 或者推广形式的证明： 推广形式证法一： 或者推广形式证法二：事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证， 这个不等式并不难，可以简单证明如下： 付：柯西（Cauchy ）不等式相关证明方法：等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++==()()()22222121122122nnn n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++()0f x ∴≥恒成立 即()()()2222211221212nnn n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即1212nna a ab b b ===时等号成立 证明（2）数学归纳法（1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式当 2n =时， 右式 ()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式 仅当即 2112a b a b = 即1212a ab b =时等号成立 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()()2222211221212kk k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ====时等号成立设22212k a a a A ==== 22212k b b b B ====则()()2222211111k k k k k a b b a b +++++A +B +=AB +A +当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ====时等号成立即 1n k =+时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立 二、柯西不等式的应用 1、巧拆常数证不等式例1：设a 、b 、c 为正数且互不相等。

求证：2222a b b c a c a b c++++++. a b c 、、均为正数()()()()()111292=a b c a b b c a c a b c a b b c a c ∴⎛⎫++++ ⎪+++⎝⎭+++++++为证结论正确，只需证:而为证结论正确，只需证： 又29(111)=++∴只需证:又a b c 、、互不相等，所以不能取等∴原不等式成立，证毕。

2、求某些特殊函数最值例2：y =求函数 函数的定义域为[5，9],0y3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式。

已知点()00,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()220A +B ≠ 设点p 是直线l 上的任意一点， 则0x x C A +B += （1）12p p =（2）点12p p 两点间的距离12p p 就是点p 到直线l 的距离，求（2）式有最小值，有 由（1）（2）得：1200p p x y C ≥A +B + 即12p p ≥（3）当且仅当 ()()0101:y y x x B--=A12p p l ⊥ （3）式取等号 即点到直线的距离公式即4、证明不等式例 3已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 2223333a b c a b c ++++≥证明：利用柯西不等式又因为 222a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上222a b c ++得：()()2223a b c a b c ++≤++ 故2223333a b c a b c ++++≥5、解三角形的相关问题例 4设p 是ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外≤证明：由柯西不等式得， 记S 为ABC 的面积，则 故不等式成立。

6、求最值例5已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=试求a 的最值解：由柯西不等式得，有 即()2222236b c d b c d ++≥++ 由条件可得， ()2253a a -≥-解得，12a ≤≤==时等号成立， 代入111,,36b c d ===时， max 2a =211,,33b c d ===时 min 1a =7、利用柯西不等式解方程 例6在实数集内解方程 解：由柯西不等式，得()()()()222222286248624xy z x y y ⎡⎤++-++-≥-+-⎣⎦①又()22862439x y y -+-= 即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 它与862439x y y -+-=联立，可得 8、用柯西不等式解释样本线性相关系数在线性回归中，有样本相关系数()()niix x y y --∑1r ≤且r越接近于1，相关程度越大，r 越接近于0，则相关程度越小。

现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。

现记i i a x x =-，i i b y y =-，则，ni ia b∑1r ≤当1r =时，()222111nnni i iii i i a b ab====∑∑∑此时，()()i i i iy y b k x x a -==-，k 为常数。

点(),i i x y n i 2,1=均在直线()y y k x x -=-上，r 当1r →时，()222111nnni i iii i i a b ab===→∑∑∑即()2221110nnni i iii i i a b ab===-→∑∑∑而()()22221111nnni i ii i j j i i i i i j na b ab a ba b ===≤≤≤-=--∑∑∑∑⇒,iib k k a →为常数。

此时，此时，()()i i i iy y b k x x a -==-，k 为常数点(),i i x y 均在直线()y y k x x -=-附近，所以r 越接近于1，相关程度越大 当0r →时，(),i i a b 不具备上述特征，从而，找不到合适的常数k ，使得点(),i i x y 都在直线()y y k x x -=-附近。

所以，r 越接近于0，则相关程度越小。

9、关于不等式22222)())((bd ac d c b a +≥++的几何背景 几何背景：如图，在三角形OPQ 中，c Q b a P ,(),,(则 ,,2222d c OQ b a OP +=+=d ）.)()(22d b c a PQ -+-=（a ，b ）将以上三式代入余弦定理θcos 2222⋅⋅-+=OQ OP OQ OP PQ ，并化简，可得2222cos dc b a bdac +⋅++=θ或.))(()(cos 222222d c b a bd ac +++=θ 因为1cos 02≤≤θ，所以，1))(()(22222≤+++d c b a bd ac ， 于是22222)())((bd ac d c b a +≥++. 柯西不等式的相关内容简介 （1） 赫尔德(Holder)不等式当2==q p 时，即为柯西不等式。

因此，赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形式，在分析学中有着较为广泛的应用。

（2） 平面三角不等式（柯西不等式的等价形式）22222112222122221)()()(n n n n b a b a b a b b b a a a ++++++≥+++++++ 可以借助其二维形式22221122212221)()(b a b a b b a a +++≥+++来理解，根据三角形的两边之和大于第三边，很容易验证这一不等式的正确性。

该不等式的一般形式ppn n p p ppn p p ppn p p b a b a b a b b b a a a 12211121121])()()[()()(++++++≥+++++++ 称为闵可夫斯基（Minkowski ）不等式。

它是由闵可夫斯基在对n 维空间中的对称凸几何体定义了一种“距离”的基础上得到的，即对于点),,,(),,,,(2121n n y y y y x x x x ==，定义其距离为pnipi i y x y x 1)(),(∑-=ρ.闵可夫斯基立足于这一不等式确立了相应的几何，建立了一种类似于现代度量空间的理论，即实变函数中的赋范空间基础。

这从另一个侧面体现了柯西不等式的丰富数学背景。