柯西不等式的证明及其应用赵增林（青海民族大学，数学学院，青海，西宁，810007）摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。

关键词：柯西不等式，证明，应用柯西不等式定理：如果1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为两组实数，则222222211221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… （*）当且仅当12211331110n n a b a b a b a b a b a b -=-==-=……时等号成立。

若120,0,,0n b b b ≠≠≠……，则不等式的等号成立的条件是1212n na a ab b b ===……。

我们称不等式（*）为柯西不等式。

柯西不等式的证明：一）两个实数的柯西不等式的证明：对于实数1212,,,a a b b ，恒有2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++，当且仅当 12210a b a b -=时等号成立。

如果120,0b b ≠≠则等式成立的条件是1212a ab b =。

证明：对于任意实数1212,,,a a b b ，恒有222222121211221221()()()()a a b b a b a b a b a b ++=++-，而21221()0a b a b -≥， 故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++。

当且仅当12210a b a b -=时等号成立。

不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有异于原点O 的两点12(,)P a a ，12(,)Q b b ，由距离公式得：|OP |2212a a =+，|OQ |2212b b =+|PQ|=设OP 与OQ 的夹角为θ，由余弦定理得222||||||cos 2||||OP OQ PQ OP OQ θ+-==因为1cos 1θ-≤≤，所以2cos 1θ≤21≤，即2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++当且仅当2cos 1θ=时等号成立， 即OPQ 共线时等号成立。

这时有1212a ab b =，即12210a b a b -=。

二）柯西不等式的证明：常用的证明柯西不等式的方法有： 1）配方法：作差：因为222111()()()nnniji i i j i a b a b ===-∑∑∑221111()()()()n n n niji i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑221111n n n ni ji i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑22221111111(2)2n n n n n ni j j i i j j i i j i j i j a b a b a b a b =======+-∑∑∑∑∑∑2222111(2)2n n i j i j j i j i i j a b a b a b a b ===-+∑∑2111()02n ni j j i i j a b a b ===-≥∑∑所以222111()()()n n n iji i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即222111()()()n n niji i i j i a b a b ===≥∑∑∑即222222211221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… 当且仅当0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -==……即(1,2,,;1,2,,;0)ji j i ja a i n j nb b b ===≠…………时等号成立。

2）利用恒等式证明：先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式： 对于二组实数1212,,,;,,,n n a a a b b b …………有柯西—拉格朗日恒等式222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++-+++………………2221221133111()()()n n a b a b a b a b a b a b =-+-++-+… 22223322211()()()n n n n n n a b a b a b a b a b a b ---++-++-……由实数性质20()R αα≥∈可得柯西不等式成立。

3）利用判别式证明（构造二次函数法） i)若120n a a a ====……，则不等式显然成立。

ii)若12n a a a ，，……，至少有一个不为0，则22212n a a a +++……>0对于任意的实数x ，总有2()0i i a x b -≥(1,2,,)i n =……, 22220i i i i a x a b x b ++≥。

当1,2,,i n =……时，将以上n 个式子相加，有222222212112212()2()()0n n n n a a a x a b a b a b x b b b +++-+++++++≥……………… 当222120n a a a +++>……时，上面的不等式对于所有的x 均成立。

故有判别式2222222112212124()4()()0n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=+++-++++++≤……………… 即222222211221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++………………。

当1212n n a a a b b b ===……时，因为11221222121n n n a b a b a b ab b b b ====……。

故11221222121n n n a b a b a b a b b b b +++=+++…………。

同理可得11221222121n n n a b a b a b b a a a a +++=+++…………。

两式相乘，得222222211221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++=++++++………………即不等式的等号成立。

不等式的等号成立，即222222211221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++=++++++………………时，有 222222*********[2()]4()()0n n n n a b a b a b a a a b b b -+++-++++++=………………则关于x 的方程222222212112212()2()()0n n n n a a a x a b a b a b x b b b +++-+++++++=………………则有2221122()()()0n n a x b a x b a x b -+-++-=…… 于是0(1,2,)i i a x b i n -==……，即1(1,2,)i i a i n b x==……， 即1212n na a ab b b ===……。

4）用数学归纳法证明i ）当1n =时，有2221112()a b a b =，不等式成立。

当2n =时，22222112212221122()2a b a b a b a b a b a b +=++ 222222222222121211221221()()a a b b a b a b a b a b ++=+++。

因为2222122111222a b a b a b a b +≥，故有2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++ 当且仅当1221a b a b =，即1212a ab b =时等号成立。

ii ）假设n k =时不等式成立。

即222222211221212()()()k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++………………当且仅当1212n na a ab b b ===……时等号成立。

那么当1n k =+时，2112211()k k k k a b a b a b a b ++++++……222112211112211()2()k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b ++++=++++++++…………22222222121211112211()()2()k k k k k k k k a a a b b b a b a b a b a b a b ++++≤+++++++++++………………2222222222222222121211111111()()k k k k k k k k k k a a a b b b a b b a a b b a a b ++++++≤++++++++++++………………222222121121()()k k a a a b b b ++=++++++…………2222221212()()n n a a a b b b =++++++…………当且仅当1111212111,,,k k k k k k k k a b b a a b b a a b b a ++++++===……时等号成立， 即112121k k k k a a a a b b b b ++====……时等号成立。

于是1n k =+时不等式成立。

由i ）ii ）可得对于任意的自然数n ，柯西不等式成立。

5）用向量法证明设n 维空间中有二个向量a 12,,,n a a a =（……），b 12(,,,)n b b b =……，其中 1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为任意两组实数。

由向量的长度定义，有|a|=b|=又由内积的定义，a ⋅b =|a ||b |cos θ,其中θ是a , b 的夹角， 且有a ⋅b 1222n n a b a b a b =+++……。

因|cos θ|1≤，故| a ⋅b | ≤|a ||b |，于是|1122n n a b a b a b +++……|≤即 222222211221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++………………当且仅当|cos θ|1=时，即a 与b 共线时等号成立。