柯西不等式的证明及应用（河西学院数学系01（2）班 甘肃张掖 734000）摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。

关键词：柯西不等式 证明 应用中图分类号： O178Identification and application of Cauchy inequalityChen Bo（department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000）Abstract : Cauchy-inequality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle relevant problem, is it worth most to ask, the application which solves such questions as the equation ,etc. provides several examples.Keyword ：inequation prove application柯西（Cauchy ）不等式[][]12()22211n n b a b a b a +++ ()()222221222221n n b b b a a a ++++++≤ ()n i R b a i i 2,1,=∈等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++==()()()22222121122122n n n n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++22120n n a a a +++≥ ()0f x ∴≥恒成立()()()2222211221212440n n n nn n a b a b a b a a a b b b ∆=+++-++++++≤ 即()()()2222211221212n n n n n na b a b a b a a a b b b +++≤++++++ 当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即1212nn a a a b b b === 时等号成立证明（2）数学归纳法 （1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b显然 左式=右式当 2n =时， 右式 ()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式 仅当即 2112a b a b = 即1212a a b b =时等号成立故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立即 ()()()2222211221212k k k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ==== 时等号成立设22212k a a a A ==== 22212k b b b B ====1122k k C a b a b a b =+++则()()2222211111k k k k k a b b a b +++++A +B +=A B +A +()22221111112k k k k k k C C a b a b C a b ++++++≥++=+()()22222222121121k k k k a a a a b b b b ++∴++++++++ ()2112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ==== 时等号成立即 1n k =+时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题：1） 证明相关命题例1． 用柯西不等式推导点到直线的距离公式[]3。

已知点()00,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()220A +B ≠设点p 是直线l 上的任意一点， 则0x x C A +B += （1）12p p = （2）点12p p 两点间的距离12p p 就是点p 到直线l 的距离，求（2）式有最小值，有()()0101x x y y ≥A -+B -()0011x y C x y C A +B +-A +B +由（1）（2）得：1200p p x y C ≥A +B + 即12p p ≥ （3）当且仅当 ()()0101:y y x x B--=A12p p l ⊥ （3）式取等号 即点到直线的距离公式即12p p =2） 证明不等式例2 []4已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 2223333a b ca b c ++++≥ 证明：利用柯西不等式()23131312222222222a b c a a b b c c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭[]222333222a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()2333a b c a b c =++++ ()1a b c ++= 又因为 222a b c a b b c c a ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上222a b c++得：()()2223a b c a b c ++≤++()()()22223332223a b c a b c a b c ++≤++∙++故2223333a b ca b c ++++≥3） 解三角形的相关问题例3 设p 是A B C 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是A B C 外接圆的≤证明：由柯西不等式得，=≤记S为A B C的面积，则2242a b c a b ca xb yc z SR R++===≤=≤故不等式成立。

4）求最值例4[]5已知实数,,a b c,d满足3a b c d+++=，22222365a b c d+++=试求a的最值解：由柯西不等式得，有()()2222111236236b c d b c d⎛⎫++++≥++⎪⎝⎭即()2222236b c d b c d++≥++由条件可得，()2253a a-≥-解得，12a≤≤==时等号成立，代入111,,36b c d===时，m a x2a=211,,33b c d===时m in1a=5）利用柯西不等式解方程[]5例5．在实数集内解方程22294862439x y zx y y⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩解：由柯西不等式，得()()()()222222286248624x y z x y y⎡⎤++-++-≥-+-⎣⎦①()()()2222228624x y z⎡⎤++-++-⎣⎦()2964364144394=⨯++⨯=又()22862439x y y -+-=()()()()222222286248624x y z x y z ⎡⎤++-++-=-+-⎣⎦ 即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得8624xyz==--它与862439x y y -+-=联立，可得613x =- 926y = 1813z =-6）用柯西不等式解释样本线性相关系数[][]67 在《概率论与数理统计》〉一书中，在线性回归中，有样本相关系数()()ni i x x y y --∑r =并指出1r ≤且r 越接近于1，相关程度越大，r 越接近于0，则相关程度越小。

现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。

现记i i a x x =-，i i b y y =-，则，ni i a b ∑r =1r ≤ 当1r =时，()222111nn n i i i i i i i a b a b ====∑∑∑ 此时，()()ii i i y y b k x x a -==-，k 为常数。

点(),i i x y n i 2,1=均在直线()y y k x x-=-上，r 当1r →时，()222111n n ni i i i i i i a b a b ===→∑∑∑ 即()2221110n n n i i i i i i i a b a b ===-→∑∑∑而()()22221111nn n i i ii i j j i i i i i j n a b a b a b a b ===≤≤≤-=--∑∑∑∑ ()210i j j i i j n a b a b ≤≤≤-→∑⇒0i j j i a b a b -→ ⇒,ii b k k a →为常数。

此时，此时，()()ii i i y y b k x x a -==-，k 为常数点(),i i x y 均在直线()y y k x x -=-附近，所以r 越接近于1，相关程度越大 当0r →时，(),i i a b 不具备上述特征，从而，找不到合适的常数k ，使得点(),i i x y 都在直线()y y k x x -=-附近。

所以，r 越接近于0，则相关程度越小。

致谢：在本文的写作过程中，得到了马统一老师的精心指导，在此表示衷心的感谢。

参考文献：[]1 柯西不等式的微小改动 []J 数学通报 2002 第三期[]2柯西不等式与排序不等式[]M 南山 湖南教育出版社[]3普通高中解析几何[]M 高等教育出版社[]41990-年全国统一考试 数学试卷[]J[]5李永新 李德禄 中学数学教材教法[]M 东北师大出版社[]6盛聚，谢式千，潘承毅 概率与数理统计[]M 高等教育出版 []7用用柯西不等式解释样本线性相关系数[]J 数学通讯 2004年第七期2004年6月利用柯西不等式证明问题。